2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学真题及答案 .pdf

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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 ,共 24 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准

2、使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A）)1 ,3(（B）)3, 1(（C）), 1 (（D）（2）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，且，则 m=（A） 8 （B） 6 （ C） 6 （D）8（4）圆的圆心到直线的距离为1，则 a=（A）34（B）43（C）3（D）2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

3、 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - （5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20（B） 24（C）28（D）32（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）x=62k(kZ) （ B）x=62k(kZ) （C）x=122k(kZ) （D）x=122k(kZ)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是

4、实现该算法的程序框图, 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为 2，2，5，则输出的s=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - （A）7 （B）12 （C）17 （ D）34（9）若 cos(4 )= 53，则 sin 2=（A）257（B）51（ C）51（D）257（10） 从区间随机抽取 2n 个数,， ， ， 构成 n 个数对， ，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得

5、到的圆周率的近似值为（A）（B）（C）（D）（11）已知 F1，F2是双曲线E的左，右焦点， 点 M 在 E 上，M F1与轴垂直，sin,则 E 的离心率为（A）（B）（C）（D）2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - （12）已知函数)(Rxxf满足)(2)(xfxf,若函数xxy1与)(xfy图像的交点为)(1, 1yx,),(22yx ， （mmyx ,） ，则miiiyx1)(（A）0 （B）m（C）2m（

6、D）4m第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第( 13) 题第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第( 22) 题第( 24) 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分。（ 13 ） ABC 的 内 角A 、 B 、 C的 对 边 分 别 为a 、 b 、 c ， 若cos A=，cos C=，a=1，则 b= .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - （14）

7、、是两个平面， m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn， m ，n ，那么 .（2）如果 m ， n ，那么 mn.（3）如果 ，m ，那么 m .（4）如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有。(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是2” ，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1” ，丙说： “我的卡片上的数字之和不是5” ，则甲的卡片上的数字是。（16） 若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln

8、x+2 的切线，也是曲线 y=ln （x+1） 的切线，则 b= 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本题满分12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - Sn为等差数列的前 n 项和，且1a=1 ，7S=28 记，其中表示不超过x 的最大整数，如0.9 = 0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

9、整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - lg99=1 。（I）求1b，11b，101b；II）求数列的前 1 000 项和 .（18） （本题满分12 分）某险种的基本保费为a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上 年 度 出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一 年 内 出险次数012345概率0.300.150.200.200.100. 05（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II

10、）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（19） （本小题满分12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 如图，菱形 ABCD的对角线AC与 BD交于点 O，AB=5，AC=6，点 E ,F分别在 AD,CD上，AE =CF =， EF交 BD 于点 H.将 DEF沿 EF折到的位置，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - .（I）证明：平面 ABCD ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - （II）求二面角的正弦值 .（20） （本小题满分12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

12、师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - 已知椭圆E:的焦点在轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交 E于 A,M 两点，点N 在 E上， MA NA.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - （I）当 t=4，时，求 AMN 的面积；（II）当时，求 k 的取值范围 .（21） （本小题满分12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

13、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - (I)讨 论 函 数的 单 调 性 ， 并 证 明 当0时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - (II)证明：当时，函数有 最 小 值 . 设g （ x ） 的 最 小 值 为，求函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

14、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - 的值域 .请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22） （本小题满分10 分）选修4-1：集合证明选讲如图，在正方形ABCD，E,G分别在边 DA,DC上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DFCE ，垂足为F.(I) 证明： B,C,G,F四点共圆；(II)若 AB=1， E为 DA的中点，求四边形BCGF的面积 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

15、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - （23） （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，圆 C的方程为（ x+6）2+y2=25. （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；costx（II）直线 l 的参数方程是sinty（t 为参数） ,l 与 C交于 A、B 两点，AB=10，求 l 的斜率。（24） （本小题满分10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数f(x)= x-21+x+

16、21， M 为不等式 f(x) 2 的解集 .（I）求 M；（II）证明：当a,bM 时， a+b 1+ab。2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案第卷一. 选择题：（1） 【答案】 A （2） 【答案】 C （3） 【答案】 D （4） 【答案】 A （5） 【答案】 B （6） 【答案】 C （7） 【答案】 B （8） 【答案】 C （9） 【答案】 D （10） 【答案】 C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - -

17、- - - - - （11） 【答案】 A （12） 【答案】 C 第卷二、填空题(13)【答案】(14) 【答案】（15） 【答案】 1 和 3（16） 【答案】三. 解答题17.（本题满分12 分）【答案】（），； （） 1893.【解析】试题分析：（）先求公差、通项，再根据已知条件求； （）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前 1 000 项和试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.【结束】18.（本题满分12 分）【答案】（）根据互斥事件的概率公式求解；（）由条件概率公式求解；（）记

18、续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 【解析】试题分析：试题解析：（）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出” ，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为（）记续保人本年度的保费为，则的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比

19、值为考点：条件概率，随机变量的分布列、期望. 【结束】19.（本小题满分12 分）【答案】（）详见解析； （）.【解析】试题分析：（）证，再证，最后证； （）用向量法求解 .试题解析： （ I ）由已知得，又由得，故. 因此，从而. 由,得. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 由得. 所以，. 于是，故. 又，而，所以. 建立空间直角坐标系，则，. 设是平面的法向量，则，即，所以可以取. 设是平面的法向量 ，

20、则， 即， 所 以 可 以 取. 于 是，. 因 此 二 面 角的正弦值是. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 20.（本小题满分12 分）【答案】（）； （）.【解析】试题分析： （）先求直线的方程， 再求点的纵坐标， 最后求的面积； （）设， ，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程

21、为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为. 因此直线的方程为. 将代入得. 解得或，所以. 因此的面积. （II ）由题意，. 将直线的方程代入得. 由得，故. 由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即. 当时上式不成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 因此.等价于，即. 由此得，或，解得. 因此的取值范围是. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】（21） （本小题满分12 分）【答案】

22、（）详见解析； （）.【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解 .试题解析：（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（ I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - 当时，单调递增 .因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增

23、，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点：函数的单调性、极值与最值. 【结束】请考生在22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号（22） （本小题满分10 分） 选修 4-1：几何证明选讲【答案】（）详见解析； （）.【解析】试 题 分 析 ：（ ） 证再 证四 点 共 圆 ；（ ） 证 明四边形的面积是面积的 2 倍.试题解析：（ I）因为,所以则有所以由此可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2

24、2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 由此所以四点共圆 .（II）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的 2 倍，即考点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】（23） （本小题满分10 分） 选修 44：坐标系与参数方程【答案】（）； （）.【解析】试题分析：（ I）利用，可得 C的极坐标方程； （II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率试题解析：（ I）由可得的极坐标方程（II）在（ I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

25、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - 由得，所以的斜率为或.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】（24） （本小题满分10 分） 选修 45：不等式选讲【答案】（）； （）详见解析.【解析】试题分析：（ I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II ） 采用平方作差法， 再进行因式分解， 进而可证当，时，试题解析：（ I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（ I）知，当时，从而，因此考点：绝对值不等式，不等式的证明. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - 【结束】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -