复变函数与积分变换ppt课件.ppt

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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 绪论绪论 一、引言一、引言 复数的产生和复变复数的产生和复变 函数理论的建立函数理论的建立 先从二次方程谈起解方程20,0axbxca21,242bbacxa 此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。 在中国的古籍九章算术中，亦有提及与二次方程有关的问题。由二次方程到三次方程 由由于实际应于实际应用上的需要，亦由用上的需要，亦由于于人人类类求知求知欲欲的的驱使驱使，很自，很自然地，人然地，人类类就就开始寻找开始寻找三次方程的解法。三次方程的解法。 即即寻找寻找方程方程 一般根式解。一般根式解。很可惜，很可惜，经过经过了差不多二千年的了差不多二千年

2、的时间时间，依然沒有很大，依然沒有很大的的进展进展！320axbxcxd怪怪杰杰卡丹卡丹诺诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)一一个个多才多多才多艺艺的的学学者者, 一一个放荡不羁的无赖个放荡不羁的无赖 他精通他精通数学数学、医学医学、语言学语言学、天文、天文学学、占星、占星学学 一生充一生充满传奇满传奇，人，人们称们称他为他为怪怪杰杰。 1545 年，年，卡丹卡丹诺诺在他的著作在他的著作大术大术（Ars Magna）中，介）中，介绍绍了解三次方程的方法。了解三次方程的方法。从此从此，解三次方程的方法，就被，解三次方程的方法，就被称为称为卡丹卡丹诺诺公式公式。 解方程

3、解方程 公式：公式： 232333223223nnmnnmx例例解解 x3 + 6x = 20 注意注意：m = 6、n = 20 x = 331010810108 = 2 3xmxn1、1545年，意大利数学家年，意大利数学家Cardan在解三次方在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。了虚数的几何解析而逐渐好转。 2、1777年，瑞士数学家年，瑞士数学家Eu

4、ler建立了建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，表示虚数单位，也是也是Euler首创的。首创的。 3、19世纪，法国数学家世纪，法国数学家Cauchy、德、德国数学家国数学家 Riemann 和和Weierstrass经过努经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知识直到今天都是比较完善的。论知识直到今天都是

5、比较完善的。 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。力学、电学等领域。 积分变换就是通过积分运算把一个函数积分变换就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数，同时，将函数的微积分变成另一个函数，同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算运算转化为代数运算

6、，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。简单、快速完成。 但变换不同于化简，它必须是可逆的，但变换不同于化简，它必须是可逆的，即必须有与之匹配的逆变换。即必须有与之匹配的逆变换。 复变函数与积分变换在应用方面，涉及的复变函数与积分变换在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。的计算就是通过复变函数来解决的。 再再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的比如俄

7、国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数不但在其他学科得到了广泛的应复变函数不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 从柯西算起，复变函数已有从柯西算起

8、，复变函数已有170170多年的历史多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数中仍然有多专业的必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应用更加广泛。并使它的应用更加广泛。 对对 象象复变函数（自变

9、量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换和拉普共形映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换等。拉斯变换等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、学习方法学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，复变函数有本多相似

10、之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的深化，尤其是在方法和技巧上，更有着质上的深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不同。在学习中要善于比较、区别、特显著的不同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它们之间的联系、发展和变化，理解别要注意它们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方法、熟悉技巧。对复数域上特有概念、掌握方法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有足够理解。性质与结果要有足够理解。第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数（Complex number and function of the complex variable） 1.1 1.1 复数复数 1.2 1.2 复数的

11、三角表示复数的三角表示 1.3 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 1.4 1.4 无穷大与无穷大与复球面复球面 1. 5 复变函数复变函数 一、复数的概念一、复数的概念1.1 1.1 二、复数的四则运算二、复数的四则运算三、复平面三、复平面一、一、 复数的概念复数的概念 （1）对任意两实数）对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy为复数。为复数。称为虚单位。或其中iii, 1,1 2复数复数z 的实部（的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部虚部（imaginary part ）Im(z) = y .（2）当当0y 时，时，zx （实数）；（实数）；当当0 x 时

12、，时，ziy （纯虚数）；（纯虚数）；当当00,xy时，时，0z （实数）；（实数）；.,212121yyxxzz则（3）设复数设复数,111iyxz.222iyxz (4) 设设 , 称称 为为 z 的共轭复数的共轭复数.iyxziyxz 注意：任意两个虚数不能比较大小！注意：任意两个虚数不能比较大小！ 例如，设例如，设 ,则则 ,即即 ,矛盾。矛盾。 0iiii0010)Im()Re(0zzz 设设 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2，则则 （1）z1z2=(x1x2)+i(y1y2) （2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

13、112121221122222222230( )()|zz zx xy yx yx yzizzzzz z.,23,5212121虚部的实部求设例zziziz,13111316131116235221iiiizz解解.1311Im,1316Re2121zzzz所以所以20例例2 2的形式将下列复数表示为 iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 复数的运算满足如下交换律、结合律、复数的运算满足如下交换

14、律、结合律、分配律。分配律。 全体复数并引进上述运算后称为复数域，全体复数并引进上述运算后称为复数域， 用用C C表示。表示。1221122 11231231231231231213(1);(2)()()()();(3)(); zzzz z zz z zzzzzz z z zz zz z zzz zz z 在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如223322()(),()()abab ababab aabb仍成立;)(21211zzzz;)(2121zzzz2121)(zzzz zz )(2)Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 22223zzyxzzI

15、mRe23例例1.1 证证, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz或三、复平面三、复平面 则在复数集与平面之间建立了一个则在复数集与平面之间建立了一个1-11-1对对应。应。x x轴上的点表示实数，轴上的点表示实数，x x轴称为实轴，轴称为实轴，y y轴上的点表示纯虚数，轴上的

16、点表示纯虚数，y y轴称为虚轴；整轴称为虚轴；整个坐标平面称为复平面或个坐标平面称为复平面或z z平面。平面。),(:2yxiyxzRC作映射Z平面1.2 1.2 复数的三角表示复数的三角表示 (The representation of complex number)一、复数的模和辐角一、复数的模和辐角二、复数的三角不等式二、复数的三角不等式三、复数的表示方法三、复数的表示方法四、用复数的三角表示作乘除法四、用复数的三角表示作乘除法五、复数的乘方与开方五、复数的乘方与开方一、复数的模和辐角一、复数的模和辐角oxyz z平面平面P(x,y)rz xy .,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz

17、表示因此可用向量，点如图复数向量的长度称为复数的模，向量的长度称为复数的模，记作：记作：.|22yxz 向量与正实轴之间的夹角称为复数向量与正实轴之间的夹角称为复数 的辐角的辐角(Argument)(Argument)，记作：，记作： 由于任意非零复数有无限多个辐角，由于任意非零复数有无限多个辐角，用用 表示符合表示符合 条条 件的一个角，称为复数主辐角。于是件的一个角，称为复数主辐角。于是.ArgzargzzArg, 2, 1, 02argArgkkzz注意：注意： 时，辐角不确定。时，辐角不确定。 0 0 zz之间的关系与下面给出xyzarctanarg2arctan2 xy其其中中; 0

18、, 0,arctan; 0, 0,2; 0, 0,arctan; 0, 0,arctan; 0, 0,2; 0, 0,arctanarg0yxxyyxyxxyyxxyyxyxxyzz当当当当当当 k222arctan), 2, 1, 0(24kkkii2)43arg()43Arg(k234arctan), 2, 1, 0(34arctan) 12(kk例例3 求求22Arg() i 34Arg() i 及及kii2)22arg()22Arg(解解二、复数模的三角不等式二、复数模的三角不等式关于两个复数关于两个复数21, zz的和与差的模，有下列不等式：的和与差的模，有下列不等式：| )1(21

19、21zzzz | )2(2121zzzz | )3(2121zzzz | )4(2121zzzz |Im| |,|Re| )5(zzzz z zz 2| )6(2121221zzzzzz证明： 例例3 证明证明 )Re(2212221221zzzzzz )Re(21222111212221122122212zzzzzzzzzzzzzzzz1. 点的表示法2. 向量表示法3. 三角表示法4. 指数表示法三、复数的表示方法三、复数的表示方法1. 1. 点的表示法点的表示法, yxiyxz一对有序实数复数。平面上的点因此复数，一对有序实数任意点在平面直角坐标系中，yxPiyxzyxyxP, 的的点点

20、不不加加区区分分。今今后后将将复复数数与与复复平平面面上上复复平平面面上上的的点点这这样样，复复数数.y,xPiyxz .,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示复复数数因因此此可可用用向向量量，点点复复数数2. 2. 向量表示法向量表示法oxyz z平面平面P(x,y)rz xy 0 00 0 OPz3. 3. 三角表示法三角表示法)sin(cosirz 设复数设复数 的模为的模为 ， 是复数是复数 的的任意一个辐角任意一个辐角, ,则则z, 0zzroxyz z平面平面P(x,y)rz xy 此式称为复数此式称为复数 的三角表示式。的三角表示式。注注：一个复数一个复数 的三角表示

21、不是唯一的。的三角表示不是唯一的。zz ，所所以以解解：因因为为4 41 12 21 1 iargi 4 44 42 21 1 sincosii也可以表示为也可以表示为 4 49 94 49 92 21 1 sincosii 1cossinzriz 例例5 5，求求的的三三角角表表示示式式解：因为解：因为.14的三角表示式写出复数例i sincos,irzrzzzz 2 21 1.sincossincosirirz111所以 4. 指数表示法指数表示法由欧拉公式由欧拉公式 sincosiei 可得可得: : 复数复数)sin(cosirz的指数表示的指数表示.irez 例例6 将复数将复数 1

22、0cossini 化为指数形式化为指数形式解解 222122222222222222222cossinsinsincossinsincossincossinsiniiiiie 四、用复数的三角表示作乘除法四、用复数的三角表示作乘除法),sin(cos|1111 izz )sin(cos|2222 izz )sin()cos(|21212121 izzzz则则有有|2 21 12 21 1zzzz 于于是是得得到到： 取取任任意意整整数数kzzkzz212121ArgArg2)(Arg 后一个式子应理解为集合相等后一个式子应理解为集合相等。设设 是两个非零复数，是两个非零复数，,1z2z注意：注

23、意：可推广到可推广到n 个复数的乘积。个复数的乘积。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2 几何意义几何意义 ：将复数将复数 按逆时针方向旋转一个按逆时针方向旋转一个角度角度 ，再将其伸缩再将其伸缩 倍。倍。2 1 1z2 2z同理，对除法有同理，对除法有)sin()cos(2 21 12 21 12 21 12 21 1 izzzz于是得于是得2121zzzz2121)(ArgzArgzzzArg 后一个式子也应理解为集合相等。后一个式子也应理解为集合相等。1.1.复数的乘方复数的乘方设设 则则 sincosirz cossinnnnnnzzzrninArgznArgz 个相同的复数个相同

24、的复数 的乘积，称为的乘积，称为 的的 次幂，次幂，记作记作 ，即，即 )( 个个nzzzzzn nznzzn特别：当特别：当 时，则有时，则有此式称为此式称为棣莫佛棣莫佛(De Moivre)(De Moivre)公式。公式。 nininsincossincos 1 1 r五、复数的乘方与开方五、复数的乘方与开方2.2.复数的开方复数的开方zw,rez ,ewnii 它它们们满满足足设设则称复数则称复数w为复数为复数记记作作次次方方根根的的.nznzw 容易得容易得nArgzzArg;zznnn )sin()cos(| kniknzzwnn2 21 12 21 11 1 , 2, 1, 0

25、k时，当1, 2 , 1 , 0nk互互不不相相同同的的值值个有nw )sin()cos(| kniknzzwnn2 21 12 21 11 1 1, 2, 1, 0 nk例例7 7 求求4)1(i 的所有值的所有值 解：由于解：由于)4sin4(cos21 ii )216sin()216cos(2)1(84 kiki 所所以以.,3 32 21 10 0 k（见下图）例如),()sin(cos32104244242184kkikiwk几何上，几何上， 的的 个值是以原点为中心，个值是以原点为中心， 为半径的圆周上为半径的圆周上 个等分点，即它们是个等分点，即它们是内接于该圆周的正内接于该圆周

26、的正 边形的边形的 个顶点。个顶点。nznrnnnnxyo0w1w2w3w822i 1例例8 8 求解方程求解方程0 02 23 3 z解解：3 31 12 2 z故得故得)sin(cos)sin(cos3 32 23 32 22 20 00 02 23 33 31 1 kikiz ., 2 21 10 0 k所以方程所以方程 有有3 3个解，它们是个解，它们是023z.i,i, 23212232122333内容小结内容小结 1、复数的概念、复数的概念z=x+iy 2、复数的四则运算、复数的四则运算 3、复平面、复平面 4、复数的模和辐角、复数的模和辐角 5、复数的三角不等式、复数的三角不等式

27、 6、复数的表示、复数的表示 7、复数的乘方与开方、复数的乘方与开方 22|yxz , 2, 1, 02argArgkkzz指数表示指数表示 irez )sin(cosirz三角表示法三角表示法 )sin()cos(| kniknzzwnn2 21 12 21 11 1 , 2, 1, 0 k cossinnnnnnzzzrninArgznArgz 课后作业课后作业27P一、一、 思考题：思考题：1 1、2 2、3.3.二、二、习题一习题一 1-101-10第二讲1.3 1.3 平面上点集的一般概念平面上点集的一般概念1.4 1.4 复球面与无穷大复球面与无穷大1.5 1.5 复变函数复变函数

28、 1.31.3 平面点集平面点集的一般概念的一般概念 (The general conception of point set on the plane)一、开集与闭集一、开集与闭集二、区域二、区域三、平面曲线三、平面曲线一、开集与闭集一、开集与闭集邻域邻域 平面上以平面上以 为心，为心， 为半径的圆的内为半径的圆的内部所有点的集合称为点部所有点的集合称为点 的的 - -邻域。即邻域。即00zzz 00zzz 集集合合0 0z0 0z 称称为为 的的 去心邻域去心邻域, ,0 0z开集开集 如果点集如果点集 的每一个点都是的每一个点都是 的内点的内点 则称则称 为开集为开集. .GGG内点内点

29、 为为 中任意一点，如果存在中任意一点，如果存在 的一个的一个 邻域，该邻域内的所有点都属于邻域，该邻域内的所有点都属于 ，那么，那么 称称 为为 的内点。的内点。 0 0zGGG0 0z0 0z设设 是一个平面点集是一个平面点集G闭集闭集如果点集如果点集 的余集的余集 为开集，为开集， 则称则称 为闭集为闭集GG)(CG记记作作连通集连通集 设设 是开集，如果对于是开集，如果对于 内任意内任意 两点，都可用两点，都可用 内折线连接起来，内折线连接起来， 则称开集则称开集 是连通集是连通集GGGG孤立点孤立点 ，若在，若在 的某一邻域内除的某一邻域内除 外不含外不含 的点，则称的点，则称 是是

30、 的的一个孤立点，的的一个孤立点， 的孤立点一的孤立点一 定是定是 的边界点。的边界点。 Gz 0 00 0z0 0zG0 0zGGG有界集有界集 无界集无界集 如果存在一个以点如果存在一个以点 为中为中 心的圆盘包含心的圆盘包含 ，称，称 为有为有 界集，否则称界集，否则称 为无界集。为无界集。0 0 zGGG 边界点边界点 边界边界 若在点若在点 的任意邻域内既有的任意邻域内既有 的点又有的点又有 的点的点, 则称则称 是是 的一个边界点。的一个边界点。 的边界的边界 点全体称为点全体称为 的边界。的边界。0 0zG0 0zGCGGG 有界集和无界集有界集和无界集:. , , 0, , 否

31、否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个EMzME 点集z zxy有界！有界！o例如圆盘例如圆盘N (z0) 是有界开集是有界开集复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。复平面是无界开集。二、区域二、区域区域区域 连通的开集称为区域连通的开集称为区域. .闭区域闭区域 区域区域 连同它的边界一起，连同它的边界一起， 称为闭区域，记为称为闭区域，记为G.G(1) 区域是开集，闭区域是闭集区域是开集，闭区域是

32、闭集.(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的.注意：例：试说出下列各式所表示点集是怎样图形，例：试说出下列各式所表示点集是怎样图形，并指出哪些是区域？并指出哪些是区域？(1)0,(2)21,(3) 0arg3zzziz(1)0,x 表示右半平面，是区域；解：解：2( 2)1,zi （ ）表以2i 为心，1为半径圆外部包括圆周，不是区域。（3）介于两射线arg0,arg3zz之间的一个角形区域。例：1,1,zz单位圆；单位圆周。三、平面曲线三、平面曲线平面曲线的参数方程 ttyytxx,用复值函数表示为 ttiytxtz曲线实参数

33、方程曲线复参数方程若存在满足若存在满足1t2t且且21tt 的的21tt 与, ,使使 , ,则称此曲线则称此曲线C C有重点，有重点，)()(21tztz无重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当无重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当（JordanJordan）曲线）曲线；除；除 外无其它外无其它重点的连续曲线称为的连续曲线称为简单闭曲线简单闭曲线)()(zz简单闭曲线简单闭曲线简单曲线简单曲线非简单曲线非简单曲线非简单闭曲线非简单闭曲线1. 1. 简单曲线、简单闭曲线简单曲线、简单闭曲线2. 2. 光滑曲线、分段光滑曲线光滑曲线、分段光滑曲线设曲线设曲线 的方程为的方程为C)()()(tiytxt

34、z)( t 若若 ， 在在 上可导上可导, ,且且 , , 连续不连续不全为零，则称曲线全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. .)(tx)(ty,)(tx)(tyC 显然圆是一条简单连续闭曲线，它把平面分成两个没有公共点的区域，其中一个有界，一个无界，都已给定圆的圆周为边界。一般闭曲线由此性质吗？简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质若尔当曲线定理若尔当曲线定理 定理定理 任意一条简单闭任意一条简单闭曲线曲线 C C 将复平面唯一地将复平面唯一地分成分成C C, ,I I( (C C), ),E E(

35、 (C C) ) 三个互不三个互不相交的点集相交的点集. .满足：满足：xyoI(C)E(C)边界边界（1）I I( (C C) ) 是一个有界区域是一个有界区域（称为（称为C C的内部）的内部）. .（2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. .（3）若简单折线）若简单折线P的一个端点属于的一个端点属于I(C)，另一个，另一个端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. .（4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. .3. 3. 单连通域、多连通域单连通域、多连通域 设设 是复平面上一区域，如果在是复平面上一区域，

36、如果在 内任内任作一条简单闭曲线作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都，其内部的所有点都CGG在在 中，则称区域中，则称区域 为单连通区域；否则为单连通区域；否则称称 为为多连通区域多连通区域或或复连通区域复连通区域. .GGG 一条简单闭曲线的内部是单连通区域。一条简单闭曲线的内部是单连通区域。 在几何直观上，在几何直观上，单连通区域是一个没有单连通区域是一个没有“洞和缝隙洞和缝隙”的区域，而多连通区域是有的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙洞或缝隙”的区域，如下图，区域的区域，如下图，区域D是一是一个个多多连通区域。连通区域。 单连通区域的性质：单连通区域的性质：属于属于D的任一简单的任一简单

37、闭曲线，在闭曲线，在D内可以通过连续变形而缩成内可以通过连续变形而缩成一点。一点。 多连通区域就不具有此特征。多连通区域就不具有此特征。1.4 1.4 复球面与无穷大复球面与无穷大 ( (I Infinity and Complex Sphere ) )一、复球面一、复球面二、扩充复平面的定义二、扩充复平面的定义. 一、复球面一、复球面 NOS与与北北极极对对应应的的 称称为为南南极极, ,也也可可用用表表示示. . 1. 1.南极、北极的定义南极、北极的定义 , ON通通过过作作垂垂直直于于复复平平面面的的直直线线与与球球面面相相交交于于另另一一点点 , N我我们们称称为为北北极极xyONS

38、z z 如右图取一张复平面，做一个与如右图取一张复平面，做一个与 复平面相切在原点复平面相切在原点 的球面，的球面，0z 1. 1.南极、北极的定义南极、北极的定义. .x xO ON NS Sz zP(z)P(z)z z 球面上的点球面上的点, , 除去北极除去北极 N N 外外, ,与复平面内与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. .我们可以用球我们可以用球面上的点来表示复数面上的点来表示复数. . 2. 2.复球面的定义复球面的定义用来表示复数的这用来表示复数的这个球面称为复球面个球面称为复球面. .全体复数与复球面全体复数与复球面-N N 之间一一对应之

39、间一一对应关系关系. .Y.因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数就是复数 的几何表示的几何表示. .YONSzP(z)z二、扩充复平面的定义二、扩充复平面的定义我们规定我们规定: : 北极北极N与一与一个模为无穷大的假想的个模为无穷大的假想的点对应点对应, ,这个假想的点称这个假想的点称为为“复数无穷远复数无穷远点点” ” 记作记作 . .复平面加上复平面加上 无穷远点无穷远点后称为扩充复平面，记作后称为扩充复平面，记作C C X. .包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面. .复球面的优越处复球面的优越处: :能将扩充复平面的无穷远点明显地表示

40、出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. .对于复数对于复数 来说来说, , 实部实部, ,虚部虚部, ,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, , 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大. .不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法).0( ,0),( , 0 : )4( 除除法法关于扩充复平面上的几个概念关于扩充复平面上的几个概念. . , , zMMz可以表示为可以表示

41、为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在 ( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|

42、M ( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M ( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M ( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内

43、且满足且满足|z|z|M的所有点的的所有点的( (其中其中M0) )称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. .集合集合z|z|M1.5 1.5 复变函数复变函数(Function of the complex variable)一、复变函数一、复变函数二、复变函数的极限与连续性二、复变函数的极限与连续性一、复变函数的概念一、复变函数的概念GfzGwuivwf(z)G 平平面面上上一一点点若若唯唯（）在在G G 上上定定义义了了一一单单值值（或或多多值值）（z z）设设 是是一一个个复复的的集集, ,存存在在法法则则, ,使使得得, ,就就有有一一个个或或几几个个与与之之对对应应, ,则则个个复

44、复变变函函数数记记作作. .的的定定义义域域)(zfG ( ) ,w wf zzGfz 值值域域),(),()()(,yxivyxuiyxfzfwivuwiyxz 设设),(),(yxvvyxuu 所以所以( )( , )( , )wf zuivuu x yvv x y。论论的的函函数数均均为为单单值值函函数数今今后后无无特特别别声声明明，所所讨讨xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例9 92222wzuxyvxy例例1010222211( )11f zxiyxyxy已已知知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zzi

45、yzzxiyxz 则则设设76系系. .上上的的点点集集之之间间的的对对应应关关是是两两个个复复平平面面必必须须看看成成 示示出出来来, ,一一平平面面内内的的几几何何图图形形表表因因而而无无法法用用同同 之之间间的的对对应应关关系系, , ,和和 由由于于它它反反映映了了两两对对变变量量 对对于于复复变变函函数数, , yxu,v取两张复平面，分别称为取两张复平面，分别称为z平面和平面和w平面平面. .77).()( )( )( , , 或变换的映射函数值集合一个点集平面上的变到定义集合上的一个点集平面把在几何上就可以看作是数那末函的值平面上的点表示函数而用的值平面上的点表示自变量如果用Gw

46、Dzzfwwwzzoxy(z)Douv(w)G( ).wf zzDwG 。像像的的原原称称为为) )，而而像像点点( (映映像像的的为为称称wzzw zw zfw zfw 1.1.复变函数的极限复变函数的极限2.2.复变函数极限的四则运算法则复变函数极限的四则运算法则3.3.复变函数的连续性复变函数的连续性二、复变函数的极限与连续性二、复变函数的极限与连续性1.1.复变函数的极限复变函数的极限0000 ( ),0,0 ,0( ),( )lim( )zzwf zzAzzf zAAf zzzf zA 在在 的的去去心心域域有有定定复复，（ ）设设若若存存在在数数当当时时, ,有有则则称称 为为时时

47、的的极极限限，记记作作定义定义1.11.1注：定义中注：定义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 0zz BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim0000000000000则若2. 复变函数极限的四则运算法则复变函数极限的四则运算法则000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理1.11.10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(

48、lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 的的充充要要条条件件是是则则. .zziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizz iyxxyiyxyxyyxx221222212limlim11zziz1lim例例 试求极限试求极限解解: :.例例. 0 )0( )( 的极限不存在的极限不存在时时当当证明函数证明函数 zzzzzf证明：证明：,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk

49、. )(lim0不存在不存在即即zfz3.3.复变函数的连续性复变函数的连续性定义定义1.21.2.)(.)()()(lim000内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若DzfDzzfzfzfzz 处处连连续续。在在，的的充充分分必必要要条条件件是是处处连连续续在在设设),(),(,),(),()(00000yxyxvuxuiyxzyxivyxuzf 定理定理1.21.2连续函数的性质连续函数的性质(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；连续函数的四则运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然连续；连续函数的复合函数仍然连续； (3)

50、(3)连续函数的模也连续连续函数的模也连续. . 负负实实数数的的区区域域上上连连续续。和和在在整整个个复复平平面面除除去去原原点点求求证证：例例)0(arg)( 3 zzzf在负实数轴上不连续；在负实数轴上不连续；故故zargz,z zzzzzzzzzzzzarglimarglim,argargImIm0000000000 有在负实数轴上时当不连续；在无定义，故在时，证明：当,0Im, 0Re0时时当当 zzCz0zyxO与与负负实实数数轴轴不不相相交交。使使得得角角状状域域 00argarg, 0zz中中，包包含含在在邻邻域域的的，则则取取argargarg|)sin(|000000zzz