初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第9讲：圆的基本性质.pdf

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1、 1 / 15 圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容 需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用 1、 圆的概念圆的概念 圆圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形 圆心圆心：以上概念中的“定点定点”；以点 O 为圆心的圆称为“圆 O”，记作O 半径半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长定长”是圆的半径长 2、 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 设一个圆的半径长为 R，点 P 到圆心的距离为 d，则有以下结论： 当点 P 在圆外时，d R；当点 P 在圆上时，

2、d = R；当点 P 在圆内时，0dR 反之亦然 3、 相关定理相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接三角形的外接圆圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形圆的内接三角形 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形圆的内接多边形 圆的基本性质 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：圆的确定 知识知识精讲精讲 2 / 15 H O l A B A B C D O 【例1】 在平面直角坐标系内，A（3，t

3、an30） ，B（2aa，0） ，A的半径为 4，试说明点 B 与A的位置关系 【例2】 过一个点可以画_个圆，过两个点可以画_个圆，过三个点可以画_个圆 【例3】 已知，如图，在O中，AB、BC 为弦，OC 交 AB 于点 D 求证： （1）ODBOBD ； （2）ODBOBC 【例4】 如图，O的半径为 15，O 到直线 l 的距离 OH = 9，A、B、C 为直线 l 上的三个点， AH = 9， QH = 12， RH = 15， 请分别说明点 A、 B、 C 与O的位置关系 【例5】 若 A（a，27）在以点 B（35，27）为圆心，37 为半径的圆上，求 a 的值 【例6】 如图，

4、作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆 例题解析例题解析 3 / 15 A B C D E O A B C D E F O 【例7】 如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且45EOD，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于 B，若 AB = OC，求EAD的度数 【例8】 已知， 如图， AB 是O的直径， 半径OCAB， 过 OC 的中点 D 作 EF / AB 求证：12ABECBE 【例9】 已知：AB 是O的直径，点 P 是 OA 上任意一点，点 C 是O上任意一点 求证：PAPCPB 4 / 15 A B C O 1、 圆心角圆心角、弧弧、弦弦、弦心距的概念、弦心

5、距的概念 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧圆弧，简称弧弧； 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦弦，过圆心的弦就是直径直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距 2、 半圆半圆、优弧优弧、劣弧劣弧 半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆 优弧：大于半圆的弧叫做优弧优弧 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧劣弧 如图，以 A、C 为端点的劣弧记作AC，读作“弧 AC” ； 以 A、C 为端点的优弧记作ABC，读作“弧 ABC” 3、 等弧和等圆等弧和等圆 能够重合的两条弧称为等弧等弧，或者说这两条弧相等若AB与A B是等弧，记作

6、ABA B 半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆等圆 4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧） 、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等 模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 知识知识精讲精讲 5 / 15 A B C O A B C D O A B C D E

7、O A B C D P 【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ） 1相等的圆心角所对的弧也相等； 2在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； 3A、B 是O上任意两点，则 AO + BO 等于O的直径长； 4三角形的外心到三角形三边的距离相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【例11】 一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，则弦所对的圆心角为_ 【例12】 如图，在O中，ABAC，70B，则BAC_ 【例13】 如图，已知O的半径是 6，30BOD，BDBC，CD =_ 【例14】 如图，1O和2O是等圆， P 是12OO的中点， 过点 P 作直线 AD 交1O于点 A、B，交2

8、O于点 C、D 求证：AB = CD 【例15】 已知，如图，AB、CD 是O的直径，弦 AE / CD，联结 CE、BC 求证：BC = CE 例题解析例题解析 6 / 15 O A B C A B C D O N M O A B C D 【例16】 如图，O是ABC的外接圆， AO 平分BAC，AOBBOC ， 判断ABC的形状，并说明理由 【例17】 已知， 如图， AB是O直径， M、 N 分别是 AO、 BO 的中点，CMAB，DNAB 求证：ACBD 【例18】 如图， 以点 O 为圆心的圆弧上依次有四个点 A、 B、 C、 D， 且A O BC O D 求证：四边形 ABCD 是

9、等腰梯形 7 / 15 A B C D E F O 1、 垂径定理垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧 2、 相关结论相关结论 （1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径） ，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧 （2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦 （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧 （4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 （5） 如果一条直线垂直于弦， 并且平分弦所对的一条弧， 那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦 总

10、结总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心” 、 “垂直于弦” 、 “平分弦” 、 “平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立 【例19】 O的直径为10， 圆心O到弦AB的距离OM的长为3， 则弦AB的长为_ 【例20】 在半径为2的O中， 弦AB的长为2 2， 则弦AB所对的圆心角AOB=_ 【例21】 如图，O是ABC的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，点 E 和点 F分别是边 AC 和 BC 的中点 求证：四边形 CEDF 是菱形 模块三：垂径定理 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 8 / 15 A B C D O C D E F G H O

11、 P Q R O P A B C 【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽 AB为 0.6 米，污水深 CD 为 0.1 米，求圆形的下水管道的直径 【例23】 如图，在O中，弦 CD、EF 的延长线相交于点 P，G、H 分别是CD、EF的中点，GH 与 PC、PE 分别相交于 Q、R 两点，试判断PQR的形状，并证明所得到的结论 【例24】 如图， P 是O的弦 AB 的中点，PCOA， 垂足为 C， 求证：PA PBAC AO 【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖 为测量该湖的半径， 小智和小方沿湖边选取 A、B、C 三根木柱，使得 A、

12、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示请你帮他们求出滴水湖的半径 B C A O 9 / 15 A B C D H O A B C P N M A B C D E O 【例26】 如图，弦 CD 垂直于O的直径 AB，垂足为 H，且2 2CD ，3BD ，则AB 的长为_ 【例27】 已知O的半径4r ，AB、CD 为O的两条弦，AB、CD 的长分别是方程24 3416 30 xx的两根，其中 AB CD，且 AB / CD，求 AB 与 CD 间的距离 【例28】 已知，如图，1O与2O交于 A、 B， 过 A 的直线

13、分别交1O与2O于 M、 N，C 是 MN 的中点，P 是12OO的中点 【例29】 如图，已知四边形 ABCD 外接圆O的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E，AE = EC，2ABAE，且2 3BD ，求四边形 ABCD 的面积 10 / 15 O A B C D E 【例30】 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，90AOB，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合） ，ODBC，OEAC，垂足分别为 D、E （1） 在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在， 请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由 （2）设 BD = x，DOE的面积为 y，求 y 关

14、于 x 的函数关系式，并写出它的定义域 11 / 15 A B C A B C D E F O A B C D E O A B C D E 【习题1】 已知O半径为 5，若点 P 不在O上，则线段 OP 的取值范围为_ 【习题2】 如图，AB 是直径，BCCDDE，40BOC，则AOE_ 【习题3】 如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在 A、B、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置 （保留作图痕迹） 【习题4】 如图，ABCD，OEAB，OFCD，25OEF，求EOF的度数 【习题5】 如图，在ABC中，90B，60A ，以点 B

15、为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E求证： （1）2ADDE； （2）D 是 AC 的中点 随堂检测随堂检测 12 / 15 A B C O A B C D E O C D E F O A B C E F N M O 【习题6】 如图， AB 为O直径， E 为BC的中， OE 交 BC 于点 D， BD = 3， AB = 10，则 AC =_ 【习题7】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD） ，点 O 是CD的圆心，其中 CD = 600 米，E 为CD上一点，且OECD，垂足为 F，EF = 90 米，求这段弯路的半径 【习题8】 如图，在ABC中

16、，70A ，O截ABC的三边所得的弦长都相等，求BOC的度数 【习题9】 已知，如图，ABC是等边三角形，AB 是O的直径，AEEFFB，CE、CF 交 AB 于点 M、N 求证：AM = MN = NB 13 / 15 A B a A B C D O N M 【习题10】 如图， AB为O的直径， CD为弦， 过点C、 D分别作CNCD、DMCD，分别交 AB 于点 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由 【作业1】 在下列命题中，正确的个数是（ ） 1圆心角相等，则它们所对的弦必相等； 2经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； 3直径平分弦，则必垂直于弦；

17、4如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【作业2】 在ABC中，90C， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点， AC = 7， BC = 4 若以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点 D、E 与C的位置关系 【作业3】 已知直线 a 和直线外两点 A、B，经过 A、B 作一圆，使它的圆心在直线 a上 课后作业课后作业 14 / 15 O P A B C A B C O O A B C D E F G 【作业4】 已知O外一点 A 和圆上的点最大距离为 23 厘米， 最小距离为 10 厘米，则O的半径为_厘米 【作业5】 如图，在O中，

18、2ABBC，试确定 AB 与 2BC 的大小关系 【作业6】 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的O交于点 G、B、F、E，GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，则 EF = _厘米 【作业7】 已知点 A（1，0） ，B（4，0） ，P是经过 A、B 两点的一个动圆，当P与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3 时，求圆心 P 的坐标 【作业8】 已知， 如图， 在O中， 弦 AB 的长是半径 OA 的3倍， C 为AB的中点，AB、OC 相交于 P 求证：四边形 OACB 为菱形 15 / 15 A B E F M A B C D E F O P 【作业9】 已知：过圆 O 内一点 P 作弦 AB、CD，且 AB = CD，在BD上取两点 E、F，且BEDF 求证：直线 PO 是 EF 的垂直平分线 【作业10】 如图，1O与2O交于 A、B，M 为12OO的中点，过点 A 作EFAM分别交1O与2O于点 E、F若1290O AO，1212AO AOOOm（2m），求 EF 的长