初中数学专题 一元二次方程强化练习德直.pdf

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1、 第 1页（共 13 页） 一元一元二次二次方程方程强化强化练习练习 学而思网校 徐德直老师 一、选择题（共一、选择题（共 1616 小题；共小题；共 8080 分）分） 1. 已知关于 的一元二次方程 有两根为 和 ，且 ，则 的值是 A. B. 或 C. D. 或 2. 一元二次方程 根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列关于 的一元二次方程没有实数根的是 A. B. C. D. 4. 若关于 的方程 有一个根为 ，则另一个根为 A. B. C. D. 5. 设 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 A. B

2、. C. D. 6. 如果 ， 是奇数，关于 的方程 有两个实数根，则其实根的情况是 A. 既没有奇数根也没有偶数根 B. 有奇数根，也有偶数根 C. 有偶数根，没有奇数根 D. 有奇数根，没有偶数根 7. 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为 A. 或 B. C. D. 8. 若两个方程 和 只有一个公共根，则 A. B. C. D. 9. 若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为 A. B. C. D. 10. 下列命题 方程 是一元二次方程； 与方程 是同解方程； 方程 与方程 是同解方程； 由 可得 或 ，其中正确的命题有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11.

3、关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. B. C. D. 且 第 2页（共 13 页） 12. 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是 A. B. C. 或 D. 或 13. 若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 14. 小辉只带了 元和 元两种面额的人民币，他买了一件物品只需付 元，如果不麻烦售货员找零钱，他有 种不同的付款方法 A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 15. 若方程 和方程 有一个相同的实数根，则 的值为 A. B. C. D. 16. 有两个

4、一元二次方程：，其中 ，以下列四个结论中，错误的是 A. 如果方程 有两个不相等的实数根，那么方程 也有两个不相等的实数根 B. 如果方程 的两根符号相同，那么方程 的两根符号也相同 C. 如果 是方程 的个根，那么 是方程 的个根 D. 如果方程 和方程 有个相同的根，那么这个根必是 二、填空题（共二、填空题（共 9 9 小题；共小题；共 4545 分）分） 17. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 18. 若关于 的方程 有一个根为 ，则另一个根为 19. 如果方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是 20. 关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为

5、21. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 ， 的值： ， 22. 如果两个不同的方程 与 只有一个公共根，那么 ， 满足的关系式为 23. 若方程 与方程 有一个根相同，那么 的值等于 24. 已 知 ， 是 整 数 ， 且 ， 若 ， 满 足 方 程 ，则 25. 写 出 方 程 的 一 组 正 整 数解 第 3页（共 13 页） 三、解答题（共三、解答题（共 1515 小题；共小题；共 195195 分）分） 26. 如图，要利用一面墙（墙长为 米）建羊圈，用 米的围栏围成总面积为 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 ， 各为多少米? 27. 已知

6、关于 的一元二次方程 （1）判断方程根的情况； （2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的 值，并求出此时方程的根 28. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元? （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售? 29. 关于 的一元二次方程 有两实数根 ， （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值 第 4页（共 13 页） 30. 如图，已知四边形

7、是矩形，对角线 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，解答下列问题： （1）求证：四边形 是菱形； （2）记 ，若 ， 是方程 的两根，问当 为何值时，菱形 的周长为 31. 如图 在 中，且 是方程 的根 （1）求 和 的值； （2）如图（ ），有一个边长为 的等边三角形 从点 出发，以 的速度沿 方向移动，至 全部进入 为止，设移动时间为 ， 与 重叠部分面积为 ，试求出 与 函数关系式并注明 的取值范围； （3）试求出发后多久，点 在线段 上? 第 5页（共 13 页） 32. 我市抓住机遇，加快发展，决定 2017 年投入 亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到 2

8、019 年当年用于城市基础设施维护和建设资金达到 亿元 （1）求从 2017 年至 2019 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率； （2）若 2017 年至 2019 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这 年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元? 33. 我市“尚品”房地产开发公司预计今年 月份将竣工一商品房小区，其中包括高层住宅区和别墅区一共 万平方米，且高层住宅区的面积不少于别墅区面积的 倍 （1）别墅区最多多少万平方米? （2）今年一月初，“尚品”公司开始出售该小区，其中高层住宅区的销售单价为 元/平方米，别墅区的销售单价为 元/

9、平方米，并售出高层住宅区 万平方米，别墅区 万平方米，二月时，受最新政策“去库存，满足刚需”以及银行房贷利率打折的影响，该小区高层住宅区的销售单价比一月增加了 ，销售面积比一月增加了 ；别墅区的销售单价比一月份减少了 ，销售面积比一月增加了 ，于是二月份该小区高层住宅区的销售总额比别墅区的销售总额多 万元，求 的值 34. 已知：关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为整数，且 为正整数，求 的值 35. 已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 的值 第 6页（共 13 页） 36. 已知方程

10、 是关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实根 （2）若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的 的整数值 37. 关于 的元二次方程为 （1）求出方程的根； （2） 为何整数时，此方程的两个根都为正整数? 38. 若关于 的方程 与 只有一个公共的实数根，求 的值 39. 已知关于 的一元二次方程 与 有一个公共根是 ，求 ， 的值 40. 当 为何整数时，方程 有整数解 第 7页（共 13 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. D 【解析】，得 或 ， 把 代入已知方程，得 ，解得 ； 当 时，即 ，解得 综上所述， 或 2. D 3. A 4. A 5. B 6. A 7. B

11、【解析】把 代入方程得：， 解得：， 是关于 的一元二次方程， ， 即 ， 的值是 8. D 9. D 10. A 11. D 12. A 13. C 14. C 15. A 【解析】设两方程有公共根为 ，可得： 解得公共根为 ，代入任一方程求得 16. D 第二部分第二部分 17. 且 【解析】 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 解得 且 18. 【解析】设关于 的方程 的两根分别为 ， ， 由已知得： 解得： 19. 且 20. 21. 答案不唯一，满足 即可，如： ； 22. 【解析】设公共根为 ，则 ， 有唯一的值， ， 第 8页（共 13 页） 把 代入 得 23. 或 24.

12、25. （答案不唯一） 第三部分第三部分 26. 设 的长度为 ，则 的长度为 米根据题意，得 解得 因为 ，则 即 ， 答：羊圈的边长 、 分别是 米、 米 27. （1） 方程有两个不等的实数根 （2） 当 时，方程化为 ， ，； 或当 时，方程化为 ， ， 28. （1） 解：设每千克核桃应降价 元 根据题意，得 化简，得 解得 答：每千克核桃应降价 元或 元 （2） 由（1）可知每千克核桃可降价 元或 元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 元 此时，售价为：（元）， 答：该店应按原售价的九折出售 29. （1） 一元二次方程有实根，则 ， 解得 （2） ， 为方程的两实数根

13、， 第 9页（共 13 页） ， ， 即 ， ， 可化为 ，即 ， 解得 或 （舍去）， 的值为 30. （1） 因为四边形 是矩形， 所以 ， 所以 ， 因为 垂直平分 ， 所以 ， 在 和 中， 所以 ， 所以 ， 所以四边形 为平行四边形， 又因为 ， 所以平行四边形 为菱形 （2） 在 中， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 由根与系数的关系得：， 所以 ， 因为菱形 的周长为 ， 所以 ， 所以 ， 解得： 或 ， 因为原方程有实数根，则 ， 所以 ， 所以 不合题意，舍去， 所以 ，即当 时，菱形 的周长为 31. （1） 在 中， 根据勾股定理可得，即 第 10 页（共 13 页）

14、是方程 的根， ， （2） 由（ ）得 ，则等边三角形 的边长为 ， 如图（ ）， 当 时，易知 ， ， ， ， ， 如图（ ）， 当 时， ， 综上， 与 的函数关系式为 （3） 如图（ ）， 若点 在线段 上， 第 11 页（共 13 页） 过点 作 于点 ，此时 ， ， ，即 ， ， 又等边三角形 的边长 ， ， ， ， 即出发后 时，点 在线段 上 32. （1） 设我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为 由题意，得： 解得 答：从 2017 年至 2019 年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率为 （2） 这三年共投资 （亿元） 答：预计我市这三年用于

15、城市基础设施维护和建设的资金共 亿元 33. （1） 设别墅区有 万平方米 则 解得 所以别墅区最多 万平方米 （2） 由题 解 ， 所以 34. （1） ， ， ， 原方程总有两个实数根 （2） 解方程得 ， 方程有两个整数根， 为正整数， 35. （1） 因为 ， 第 12 页（共 13 页） 所以 是关于 的一元二次方程 因为 所以此方程总有两个实数根 （2） 因为 ， 所以 ， 因为方程的两个实数根都是整数，且 是正整数， 所以 或 36. （1） 由已知， （2） 由（1）可得 ， ， 方程的两根异号且都为整数， 满足条件的 的整数值为 ， 37. （1） 根据题意，得 ， 所以 ，

16、 （2） 由（1）知，因为方程的两个根都为正整数， 所以 是正整数， 或 ，所以 或 38. 设这个公共根为 ，则有 ， ， 得 ，即 只有一个公共根，从而 ， 当 时， 39. 把 代入两个方程，得 解得 ， 的值分别为 ， 第 13 页（共 13 页） 40. 将方程 整理成标准形式 由原方程有整数解，首先必须满足 为一个完全平方数， 不妨设 （），则有 又因为 ， 的奇偶性相同，故它们必然同为偶数，则有以下八种可能： 解得 解得 解得 （因为 ，所以舍去） 解得 （因为 ，所以舍去） 解得 解得 解得 （因为 ，所以舍去） 解得 （因为 ，所以舍去） 代入 中检验可知，均满足题意，故 或