初中数学八年级秋季班-第3讲：二次根式的综合-教师版.pdf

《初中数学八年级秋季班-第3讲：二次根式的综合-教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学八年级秋季班-第3讲：二次根式的综合-教师版.pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1 / 22 八年级秋季班 本章节的综合性较强， 首先讲解的是分母有理化， 它是数与代数的重要内容，是二次根式运算的依据；其次是综合运算，融合了加、减、乘、除四种运算以及化简求值类，解题的技巧和计算的准确度是关键点；再次是复习与提高，二次根式这章节的主要内容做一整体的回顾和提升， 针对重难点及易错、常考的进行总结，帮助学生更好的巩固本章所学的内容 1. 分母有理化：分母有理化： （1） 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算 （2） 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号 2. 有理化因式：有理化因式： （1） 两个含有二次根式的非

2、零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式 二次根式的综合 知识结构知识结构 模块一：分母有理化 知识精讲知识精讲 内容分析内容分析 2 / 22 八年级秋季班 【例1】下列各式中，不是互为有理化因式的是（ ） A11aa和 Bxyxy和 C3232和- Da xb ya xb y和 【难度】 【答案】B 【解析】互为有理化因式指两个含有二次根式的代数式乘积不再含有二次根式，B 选项不满 足定义，对于单独的二次根式，常见的有理化因式是它本身，对于二次根式的和差， 可以利用平方差公式找它的二次根式 【总结】本题考察了有理化因式的概念 【例2】下

3、列各式分母有理化正确的是（ ） Axyxxyxxy B22111aaaa Cababab D22xyxyxyxy 【难度】 【答案】D 【解析】 选项A应为：()y xxyxy； B选项正确； C选项应为：ab， D选项应为22xyxy 【总结】本题考察了分母有理化的概念及运用 【例3】把下列各式分母有理化 （1）563 2； （2）4 232； （3）aab； （4）aa bb a 【难度】 例题解析例题解析 3 / 22 八年级秋季班 【答案】（1）102 36； （2）4 68； （3）aabab； （4）2abbabb 【解析】 （1）原式=2( 56)2( 56)102 36623

4、2； （2）原式=4 2( 32)4 2( 32)4 68( 32)( 32)； （3）原式=()()()aabaabababab； （4）原式=21()()abbabbabbabbabbabb 【总结】本题考察了分母有理化，注意分子分母同乘有理化因式 【例4】已知：132x 是一元二次方程22031ax 的解，求a的值 【难度】 【答案】5 356 22 6 【解析】由已知得：32x ，代入方程得：2( 32)( 31)0a， 即(52 6)31a，所以3152 6a， 化简，得：5 356 22 6a 【总结】本题考察了含有二次根式的方程的解法 【例5】实数63的整数部分是a，小数部分是b

5、，求2211()bab的值 【难度】 【答案】2 3 【解析】由已知得：423ab， 原式=2211(23)4(23) =221(23)(23) 4 =2 3 【总结】本题考察了二次根式的估算和代值求解问题 4 / 22 八年级秋季班 【例6】比较下列各式的大小 （1）1036+ 7和； （2）3221和 【难度】 【答案】（1）10367； （2）32 21 【解析】（1）2( 103)132 30，2( 67)132 42， 又132 30132 42，10367； （2）13232，12121，又3221， 113221，所以32 21 【总结】本题考察了二次根式的大小比较，常见的方法为

6、平方法和倒数法 【例7】计算：1111.1335572121nn 【难度】 【答案】212n ； 【解析】原式=31537521212222nn =212153312nn =2112n 【总结】本题考察了利用分母有理化简化运算 【例8】先化简，再求值112()()211xxxxxxxxx，其中 【难度】 【答案】21 【解析】原式=11(1)(1)xxxxxxxx =1(1)21(1)xxxxx =121x ， 当22x 时，原式12121 【总结】本题考察了二次根式的混合运算 5 / 22 八年级秋季班 1、二次根式的混合运算、二次根式的混合运算 （1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定

7、，在二次根式运算中都适用； （2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题 【例9】化简求值： （1）(221)(221)xx； （2）20162016( 154)( 154) 【难度】 【答案】（1）244 21xx； （2）1 【解析】 （1）原式=222(22)144 22 144 21xxxxx ； （2）原式=20162016( 154)( 154)( 1)1 【总结】本题考察了含有根式的平方差公式 【例10】 计算： （1）11227612( 23)3223； （2）(2 33 26)(2 33 26) 【难度】 【答案】（1）4 64； （2）1212 3

8、【解析】 （1）原式=2 33 32 323223 =(2 32)22 3( 23) =2 622 66 =4 64； 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块二：二次根式混合运算 6 / 22 八年级秋季班 （2）22(2 3)(3 26)原式 12(18 12 36)1212 3 【总结】本题考察了二次根式的混合运算 【例11】 化简 （1）()ababaababaab； （2）2abababab 【难度】 【答案】（1）ab； （2）2 b 【解析】 （1）原式=()()()ababaabaababab）=()b abaababa =()bbab =ab； （2）原式=2()()()ab

9、ababab=()()abab =2 b 【总结】本题考察了二次根式的混合运算 【例12】 已知214(3)(2)(21)(2)0()33xxxxxxxxxx，求 【难度】 【答案】3( 24)7或6； 【解析】由已知得：12212xx，（舍去） 原式=(1)(4)(3)(3)(3)(3)(2)x xxxx xx xxx=22712132xxxxxx =6(2)132xxx =63x 当21x 时，原式=66( 24)3( 24)216724 【总结】本题考察了代值求解问题以及分式的除法运算，注意分式有意义的条件 7 / 22 八年级秋季班 【例13】 解下列方程或方程组： （1）2132xx

10、 ； （2）22 223 2xyxy 【难度】 【答案】（1）2236x ； （2）2 26343 23xy 【解析】 （1）( 23)21x ，2123x，(12)( 23)( 23)( 23)x， 2236x ； （2）2得：343 2y ，所以43 23y， +2得：32 26x ，所以2 263x， 所以原方程组的解为： 2 26343 23xy 【总结】本题考察了含有二次根式的方程以及方程组的解法，注意计算过程中的符号变化 【例14】 判断下列三个等式是否成立，并解答以下两个问题： （1）222233； （2）333388； （3）44441515猜想一下5524变形后的结果，并加以

11、说明；试用含n（n为大于 1 的自然数）的式子表示这一规律 【难度】 【答案】（1）55552424；（2）2211nnnnnn 【解析】成立，则55552424，2211nnnnnn（n为大于 1 的自然数） 证明：3322221111nnnnnnnnnnnn 【总结】本题考察了二次根式的化简以及对规律的总结与归纳 8 / 22 八年级秋季班 【例15】 计算： （1） （532） （532） ； （2）54114117237. 【难度】 【答案】（1）62 15； （2）1； 【解析】 （1）原式=22( 53)( 2)=82 152=62 15； （2）原式=411( 117)(37)=

12、1 【总结】本题考察了二次根式的混合运算 【例16】 已知 x3232，y3232，求32432232xxyx yx yx y的值 【难度】 【答案】2 65 【解析】由已知得：52 6x ，52 6y ， 原式=22()()4 62 6()()105x xy xyxyx y xyxy xy 【总结】本题考察了代值求解问题和二次根式的化简 【例17】 计算：2 5+1（）（112123134199100） 【难度】 【答案】18 59 【解析】原式=(2 51)( 213210099) =(2 51)(10 1) =18 59 【总结】本题考察了二次根式的运算，分母有理化时注意符号问题 9 /

13、 22 八年级秋季班 【例18】 计算： （1）20152016(635)(635)； （2）1021(32 2)(12) 【难度】 【答案】（1）635； （2）12 【解析】 （1）原式=2015(635)(635)(635)635； （2）原式=102 10(32 2)(12) (12) =1010(32 2)(32 2)(12) =10(32 2)(32 2)(12) =12 【总结】本题考察了二次根式的混合运算 师生总结师生总结 1、二次根式混合运算的法则是什么？二次根式混合运算的法则是什么？ 10 / 22 八年级秋季班 1、二次根式的、二次根式的概念概念 2、二次根式的性质、二次

14、根式的性质 3、分母有理化、分母有理化 4、二次根式的混合运算、二次根式的混合运算 【例19】 使等式3322xxxx成立的条件时_ 【难度】 【答案】32x 【解析】由已知得：3020 xx， 解得：32xx ， 32x 【总结】本题考察了二次根式成立的条件 【例20】 下列运算中正确的是 （ ） A532 B12274953 C22a bba b C2222ababab 【难度】 【答案】B 【解析】A 选项不是同类二次根式，不能运算； C 选项结果应为(2)ab； D 选项根号内不含平方式不能化简 【总结】本题考察了二次根式的运算 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块三：复习与提高

15、11 / 22 八年级秋季班 【例21】 根据下列计算，确定字母的取值范围： （1）2(1)xx 1x x； （2）2=x yxy 【难度】 【答案】（1）0 x ；（2）00 xy， 【解析】 （1）由已知得：010 xx ， 解得：0 x ； （2）由已知得：00 xy ； 解得：00 xy， 【总结】本题考察了二次根式有意义的条件 【例22】 如果最简二次根式2ab和2ab能够合并，求2ab的值 【难度】 【答案】2 【解析】由已知得：22abab，解得：22ab 【总结】本题考察了同类二次根式的概念 【例23】 已知22111aaaa，求的值 【难度】 【答案】5 【解析】由已知得：1

16、1aa， 当0a 时，原式化为：11aa，矛盾，舍去； 当0a 时，原式化为：11aa，则21aa=211()45aaaa 【总结】本题考察了完全平方公式的应用和二次根式的化简 12 / 22 八年级秋季班 【例24】 已知33322222xxy，求代数式2yx的值 【难度】 【答案】6427 【解析】由已知得：3202x ，解得：3342xy ， 原式=3364( )427 【总结】本题考察了二次根式有意义的条件，当两个二次根式的被开方数互为相反数时，这个被开方数等于 0 【例25】 化简： （1） 4411abab (0)ba； （2）221449aaa (7)a 【难度】 【答案】（1）

17、44baab； （2）27aa 【解析】 （1）原式=4444444422bababaababa baba b； （2）原式=2222(7)77aaaaaa 【总结】本题考察了二次根式的化简，注意被开方数的正负 【例26】 解下列方程或方程组： （1）32 2123xx ； （2） 32261xyxy 【难度】 【答案】（1）6x ； （2）612264xy 13 / 22 八年级秋季班 【解析】 （1）364xx，6x ； （2）由3得：261x ，则612x； 由 3得：2 223y ，则264y， 所以原方程组的解为：612264xy 【总结】本题考察了含有根式的方程的解法 【例27】

18、实数4.840.4840.04840.00484、中，大于 0.2 且小于 0.3 的数有哪些？分别求出，并写出做法 【难度】 【答案】0.0484 【解析】220.20.040.30.09，又0.040.04840.09， 0 . 20 . 0 4 8 40 . 3 【总结】本题考察了二次根式比较大下，被开方数越大，二次根式的值越大 【例28】 计算：1111(.)( 20161)21324320162015 【难度】 【答案】2015 【解析】原式=( 213220162015)( 20161) =( 20161)( 20161) =2015 【总结】本题考察了二次根式的化简与计算 14

19、/ 22 八年级秋季班 【例29】 观察与思考： 因为2( 21)22 2132 232 221 ,所以；同样，因为2( 32)44 3374 374 332，所以试根据以上规律， 化简下列各式： （1）52 6； （2）924 【难度】 【答案】（1）32； （2）2 212 【解析】 （1）原式=22 63( 23)32； （2）原式=294 292 8(18)2 214442 【总结】本题考察了多重根号的化简，关键是对二次项的拆分 【习题1】 直接写出下列各式的取值范围 （1）35x ； （2）222yy； （3）21aa ； （4）21xx 【难度】 【答案】（1）53x ； （2）y

20、 取任意实数；（3）12a ；（4）21x 【解析】 （1）由350 x ，得：53x ； （2）2222(1)10yyy 恒成立，x取任意实数； （3）由210a ，得：12a ； （4）由已知，得：201xx， 所以2010 xx或2010 xx， 解得：21x 【总结】本题考察了二次根式有意义的条件 随堂检测随堂检测 15 / 22 八年级秋季班 【习题2】 化简： （1）2(0)mnmn ； （2）412xy； （3）1(1)1aa 【难度】 【答案】（1）n m； （2）222yx； （3）1a 【解析】 （1）由200mnmn，得：0m，0n ，原式=nmn m ； （2）由410

21、2xy ，得：0 x ，y取任意实数，原式=242222422yxyyxx； （3）由10a，得：1a ，原式=2111(1)111(1)1aaaaaaa 【总结】本题考察了二次根式的化简，注意二次根式有意义的条件 【习题3】 下列各组根式是同类二次根式的是（ ） A、132a aa与 B、223aa与 C、3233aa与 D、12a aa与 【难度】 【答案】D 【解析】A、B、C 选项化简后被开方数不相同，不符合同类二次根式的定义，故选择 D 【总结】本题考察了同类二次根式的概念 【习题4】 化简下列各式（字母均为正数） （1）33xy； （2）2338a bn； （3）422xx y；

22、（4）11()ababba 【难度】 【答案】（1）233xyy； （2）264abnn； （3）22x xy； （4）(ab ab ） 16 / 22 八年级秋季班 【解析】 （1）原式=423393xyxyyy ； （2）原式=24266164a bnabnnn； （3）原式=22222()xxyx xy； （4）原式=22(abab abababab ababa b） 【总结】本题考察了二次根式的化简 【习题5】 将下列各式分母有理化 （1）13y； （2）abx； （3）abab； （4）122x 【难度】 【答案】（1）33yy； （2）axbxx； （3）2aabbab； （4）2

23、22xx 【解析】 （1）原式=33yy； （2）原式=axbxx； （3）原式=2()2abaabbabab； （4）原式=22222( 22)( 22)xxxxx 【总结】本题主要考察利用分母有理化化简二次根式 【习题6】 计算 （1）2 5(4 203 452 5)； （2）9149914182502835； （3）1342+ 313； （4）22(3)(6)|13 2 |2 【难度】 【答案】（1）10； （2）215104； （3）73； （4）2 17 / 22 八年级秋季班 【解析】 （1）原式=8 1006 5452080902010； （2）原式=94993521521522

24、4002836204104； （3）原式=(13)(23)2(13)73； （4）原式=3 2123 212 【总结】本题考察了二次根式的混合运算，注意先化简再合并 【习题7】 已知2265656565xyxxyy，求代数式的值 【难度】 【答案】483 【解析】由已知，得：112 30112 30 xy， 原式=22()221483xyxy 【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题，注意对所求的代数式进行变形，使计算变得简单 【习题8】 先化简，再求值：22222222222xyxyxyyxyyxyxxxy，其中 32x ，32y . 【难度】 【答案】52 6 【解析】原式=2222222

25、2222222222()()2()xyxyxxyxxyx xyxyxyxxxyy =22222222222222xyx xyx xyxyx xyxyyyy =xy， 当32x ，32y 时，原式=52 6 【总结】本题综合性较强，主要考察了二次根式的化简求值 18 / 22 八年级秋季班 【习题9】 求值： （1）设222204mnmnmnmnmn，且，求的值； （2）若22116aaaa，求的值 【难度】 【答案】（1）2 3； （2）2 2 【解析】 （1）由已知得：222()26mnmmnnmn， 222()22mnmmnnmn， 原式=()()622 3mn mnmnmnmnmn ；

26、（2）原式=22122 2aa 【总结】本题考察了完全平方式的变形在二次根式中的应用 【习题10】 若51a ，求201820172016242016aaa的值 【难度】 【答案】2016 【解析】原式=20162(24)2016aaa，当51a 时， 原式=201622016( 51)( 51)2( 51)42016( 51)020162016 【总结】本题考察了代值求解问题，通过恰当的变形，使计算变的简单 【作业1】 下列各式中一定正确的是 （ ） A2( 2.5)2.5 B22()aa C2111xxx D(1)(1)1xxx 【难度】 【答案】A 【解析】B 选项：2aa； C 选项：

27、当1010 xx 且才成立；D 选项：不能化简 【总结】本题考察了二次根式的化简 课后作业课后作业 19 / 22 八年级秋季班 【作业2】 下列各式中是同类二次根式的是（ ） A5 23xx和 B1123abab和 C22x yxy和 D222()xyxy和 【难度】 【答案】B 【解析】A、C、D 选项化简后被开方数不相同，不符合同类二次根式的定义，故选择 B 【总结】本题考察了同类二次根式的概念 【作业3】 写出下列各式的有理化因式： （1）5 2x ； （2）3ab； （3）ab； （4）a bb a 【难度】 【答案】（1）2x等； （2）3ab等； （3）ab等； （4）a bb

28、a等； 【解析】略 【总结】本题考察了有理化因式的概念 【作业4】 计算： （1）1112( 2 8)42 ； （2）13604534； （3）113 2 2 12 () 3 4848 ； （4）70303 213515410 2 25 【难度】 【答案】（1）4；（2）8 327；（3）54；（4）2 【解析】 （1）原式=5228445 ； （2）原式=1418 360334527 ； （3）原式=1193 2()3 2 12481254482 ； 20 / 22 八年级秋季班 （4）原式=10( 73)3 215( 73)410 2 25 =6(410)2 25(410)(410) (2

29、 25)(2 25) =2 25(410)3 =2 【总结】本题考察了二次根式的混合运算，注意简便方法的运用 【作业5】 计算： （1）231xx； （2）3181182xx ； （3）552449xx； （4）23252xx 【难度】 【答案】（1）23x ； （2）218x ； （3）5 512x ； （4）2x 【解析】 （1）( 23)1x ，123x，所以23x ； （2）31822 18x，即3 181x ，所以218x ； （3）55232x ，即5 526x ，所以5 512x ； （4）33 2x ，所以2x 【总结】本题考察了含有二次根式的不等式解法，注意符号的变化 【作业

30、6】 已知2162332 2xxxx，求的值 【难度】 【答案】24 【解析】 由已知得：32 2x ， 原式=2697772(3)( 2 2)3342 2xxxxx 【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题 21 / 22 八年级秋季班 【作业7】 化简求值： （1） 已知2221212121xyxy，求的值； （2） 若2133(1)2431xxyy ，则的值 【难度】 【答案】（1）24 2； （2）812 323 【解析】 （1）由已知得：32 232 2xy， 原式=()()64 224 2xy xy； （2）由已知得：( 31)x ， 1(23)( 31)324y =23 34，

31、4812 32323 3y 【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题，注意计算时的符号问题 【作业8】 已知71的整数部分为a，小数部分为b，求2ab的值 【难度】 【答案】5( 72)3 【解析】由已知得：372ab，所以原式=55( 72)372 【总结】本题考察了二次根式的估值及其计算 22 / 22 八年级秋季班 【作业9】 已知2222ayay与互为倒数，求ay与的关系 【难度】 【答案】2ay 【解析】由已知得：()()12222ayay， 122ay， 2ay 【总结】本题考察了二次根式的运算 【作业10】 20162015A，12015B ，试比较 A、B 的大小 【难度】 【答案】AB 【解析】112016201520162015A， 1120152015B， 11AB， 又00AB，AB 【总结】本题考察了二次根式的比较大小，求倒数是比较大小常用的一种方法