初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第7讲：二次函数解析式的确定.pdf

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1、 1 / 16 二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定， 因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环本讲主要讲解利用二次函数的一般式、 顶点式和交点式， 以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式，为二次函数的综合应用打好基础 1、 一般式一般式2yaxbxc（0a ） （1）任何二次函数都可以整理成一般式2yaxbxc（0a ）的形式； （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式 二次函数解析式的确定 内容分析内容分析 知识结构知

2、识结构 模块一：一般式 y = ax2 + bx + c ( a0 ) 知识知识精讲精讲 2 / 16 A B C D O x y x y O A B C O x y 【例1】 如图所示的抛物线是二次函数2231yaxxa的 图像，那么 a 的值为_ 【例2】 已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式 【例3】 如图，二次函数图像过 A、B、C 三点，点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（4，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，且 AB = OC （1）求点 C 的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数的最大值 【例4】 如图，抛物线252ya

3、xbx与直线 AB 交于点 A（1，0），B（4，52），D 是抛物线 A、B 两点间部分上的一个动点（不与 A、B 重合），直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C，连接 AD、BD （1）求抛物线的解析式； （2）设点 D 的横坐标为 m，ADB的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 取得最大值时点 C 的坐标 例题解析例题解析 3 / 16 1、 顶点式顶点式2ya xmk（0a ） （1）任何二次函数经过配方都可以整理成2ya xmk（0a ）的形式，这叫做 二次函数的顶点式，而（m，k）为抛物线的顶点坐标； （2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点

4、的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式； （3）对于任意的二次函数2yaxbxc，都可以配方为：22424bacbya xaa的形式 【例5】 顶点为（2，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为_ 【例6】 已知函数22yaxxc的图像的对称轴为直线 x = 2，函数的最大值是3， 则 a =_，c =_ 【例7】 二次函数的图像顶点在 y 轴上，图像有最低点（0，2），且经过点（2，3），则函数的解析式为_ 【例8】 顶点为（3，6）的抛物线2yaxbxc经过点（1，4），则下列结论错误的是（ ） A24bac B26axbxc C若点（2，m）、（5，n）在抛物线上，则 m n D

5、关于 x 的一元二次方程24axbxc 的两根为15x 和21x 模块二：顶点式 y = a ( x + m )2 + k ( a0 ) 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 4 / 16 x y A B O P 【例9】 已知二次函数2yxpxq，顶点坐标为（2，9） （1）求 p、q 的值； （2）这条抛物线与 x 轴的两个交点 A、B，设点 M 在这条抛物线上，且24ABMS，求 M 的坐标 【例10】 二次函数2yxmxn的图像经过点 P（3，1） ，对称轴是经过点（1，0） 且平行于 y 轴的直线 （1）求二次函数解析式； （2）如图，一次函数ykxb的图像经过点 P，与 x 轴相交于

6、点 A，与二次函数的图像相 交于另一点 B，点 B 在点 P 的右侧，:1:5PA PB ，求一次函数的解析式 5 / 16 1、 交点式交点式12ya xxxx（0a ） （1）交点式：12ya xxxx（0a ） ，其中 x1 ，x2为二次函数图像与 x 轴的两 个交点的横坐标； （2）已知二次函数与 x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函 数解析式； （3） 已知二次函数与 x 轴的交点坐标 （x1， 0） 、 （x2， 0） ， 可知其对称轴为122xxx； （4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如 果它们有相同的纵坐标，则

7、可知二次函数的对称轴为122xxx； （5）对于任意二次函数2yaxbxc，当0 x 时，即20axbxc，根据一元二 次方程的求根公式可得：2142bbacxa 、2242bbacxa ； （6）对称式：12()()ya xxxxk（0a ） ，当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k） 时，可以用对称式来求解二次函数的解析式 【例11】 已知抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别是2、 2， 且与 y 轴的交点的纵坐标是3， 求该抛物线的解析式 模块三：交点式 y = a ( x x1 ) ( x x2 ) ( a0 ) 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 6 / 16 【例12】 已知一抛物线

8、的形状与21722yx的形状相同，对称轴为 x =2，它与 x 轴的两 交点之间的距离为 2，求此抛物线的解析式 【例13】 设二次函数112ya xxxx（0a ，12xx）的图像与一次函数2ydxe （0d ）的图像交于点（1x，0） 若函数12yyy的图像与 x 轴仅有一个交点，则（ ） A12a xxd B21a xxd C212a xxd D212a xxd 【例14】 二次函数212yxkx 的图像与 x 轴交点都位于（6，0）左侧，求 k 的取值范 围 【例15】 二次函数2yaxbxc在1x 时，y 有最小值4，它的图像与 x 轴交点的横坐 标分别为1x和2x，且221210

9、xx求该二次函数的解析式 7 / 16 A B C O M x y 【例16】 如图，抛物线经过 A（2，0）、B（12，0）、C（0，2）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D，使得DCA的面积最大，求点 D 的坐标； （2）设 M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点 H 满足90AMH，若存在，请 求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 8 / 16 1、 几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系： 2、 二次函数二次函数2yaxbxc的平移的平移 （1）将二次函数2yaxbxc左右平移： 向左平移 m 个

10、单位，函数解析式变为2ya xmb xmc； 向右平移 m 个单位，函数解析式变为2ya xmb xmc （2）将二次函数2yaxbxc上下平移： 向上平移 n 个单位，函数解析式变为2yaxbxcn； 向下平移 n 个单位，函数解析式变为2yaxbxcn （3）通常，在平移前，将二次函数2yaxbxc化成2ya xmk的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式 向上（）或向下（）平移个单位 向上（）或向下（）平移个单位 向左（）或向右（） 平移个单位 向左（）或向右（） 平移个单位 模块四：二次函数的平移 知识知识精讲精讲 9 / 16 A B C D E O x

11、 y 【例17】 抛物线212yx向左平移 8 个单位，再向下平移 9 个单位，所得的抛物线的解析 式是_ 【例18】 已知抛物线2ya xh向右平移 3 个单位后得到的抛物线是221yx， 求 a、 h 的值 【例19】 如果将抛物线221yxx向上平移，使它经过点 A（0，3） ，那么所得的新抛 物线的解析式是_ 【例20】 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位长度或向上平移 1 个单位长度， 我们 把这种变换称为抛物线的简单变换已知一条抛物线经过两次简单变换后得到的抛物线是21yx，则原抛物线的解析式不可能是（ ） A21yx B265yxx C244yxx D2817yxx 【例

12、21】 如图，平行四边形 ABCD 中，AB = 4，点 D 的坐标为（0，8） ，以 C 为顶点的抛 物线1y经过 x 轴上的点 A 和点 B （1）求抛物线1y的解析式； （2）将抛物线1y向上平移，使它经过点 D，求所得抛物线2y的解析式 例题解析例题解析 10 / 16 1、 关于关于 x 轴对称：轴对称： 2yaxbxc关于 x 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ； 2ya xmk关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xmk 2、 关于关于 y 轴对称：轴对称： 2yaxbxc关于 y 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc； 2ya xmk关于 y 轴对称后，得到的解析式

13、是2ya xmk 3、 关于关于原点原点对称：对称： 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ； 2ya xmk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xmk 4、 关于关于顶点顶点对称：对称： 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ； 2ya xmk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xmk 5、 关于关于点（点（p，q）对称：对称： 2ya xmk关于点 （p， q） 对称后， 得到的解析式是222ya xmpqk 【例22】 抛物线2243yxx绕坐标原点旋转 180所得的抛物线的解析式_ 【例23】 以 x 轴为对称轴，将抛物线225y

14、x翻折后，再向左平移 3 个单位，所得的抛 物线对应的函数解析式为_ 模块五：二次函数的对称 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 11 / 16 【例24】 抛物线2245yxx关于 y 轴对称的抛物线的解析式为_， 关 于直线 x = 3 对称的抛物线的解析式为_，关于直线 y = 3 对称的抛物线的解析式为_ 【例25】 已知抛物线2yaxbxc与抛物线267yxx关于点 A（1，2）对称， 则 a =_，b =_，c =_ 【例26】 如图， 已知抛物线1C：225ya x的顶点为 P， 与 x 轴相交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左边） ，点 B 的横坐标是 1 （1）求点

15、 P 的坐标及 a 的值； （2）如图（1） ，抛物线1C与抛物线2C关于 x 轴对称，将抛物线2C向右平移，平移后的 物线记为3C，3C的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求3C的解析式； （3） 如图 （2） ， 点 Q 是 x 轴正半轴上一点， 将抛物线1C绕点 Q 旋转 180后得到抛物线4C 抛 物线4C的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在 F 的左边） ，当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形是，求点 Q 的坐标 N 图 1 x y x y A B A B M O O P P E F 图 2 Q 12 / 16 【习题1】 已知抛物线的

16、顶点为 M（1，4） ，图像与 x 轴的两个交点的距离是 6，则抛物线的 解析式为_ 【习题2】 二次函数2yaxbxc图像如图所示，则点 A（24bac，ba）在第_象 限 【习题3】 已知一次函数12yxm的图像经过点 A（2，3） ，并与 x 轴相交于点 B，二次 函数22yaxbx的图像经过点 A 和点 B （1）分别求这两个函数的解析式； （2）如果将二次函数的图像沿 y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于 点 P，与 y 轴相交于点 Q，当 PQ / x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位？ 【习题4】 已知抛物线2143ym xx开口向下，与 x 轴交于点 A

17、（1x，0）和点 B （2x， 0） ， 其中12xx， 若221210 xx， 则抛物线的解析式为_ 【习题5】 在直角坐标系中，把点 A（1，a）（a 为常数）向右平移 4 个单位得到点A， 经过 A、A的抛物线2yaxbxc与 y 轴的交点的纵坐标为 2 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点 P，点 B 的坐标为（1，m），且 m 3，若ABP是等腰三角 形，求点 B 的坐标 随堂检测随堂检测 x y O 13 / 16 A B N M x y 【习题6】 对于任意两个二次函数：21111ya xb xc，22222ya xb xc（120a a ） ，当 12aa时

18、，我们称这两个二次函数的图像为全等抛物线现有ABM，A（1，0） ，B（1，0） 记过三点的二次函数抛物线为“C” （ “”中填写相应三个点的字母） 已知 M（0，1） ，ABMABN，如图请通过计算判断ABMC与ABNC是否为全等抛物线 【习题7】 已知抛物线23344ymxmx与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，若 ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式 14 / 16 O x y 3 【作业1】 二次函数的图像的对称轴是12x ，在 y 轴上的截距是 3，且过点（2，7），则它 的解析式为_ 【作业2】 抛物线2214yx关于原点对称的抛物线的表达式为_ 【作业3】 若二次

19、函数的图像与 x 轴只有一个交点，对称轴是直线 x = 3，与 y 轴的交点是 （0，6） ，则二次函数解析式为_ 【作业4】 已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，函数的解析式为_ 【作业5】 已知抛物线221312yxmxm 的顶点在 y 轴的正半轴上，求抛物线的 表达式、顶点坐标、对称轴，并分析抛物线的上升、下降趋势 【作业6】 已知直线 l 经过点（4，0） ，且与 x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于 8如 果一个二次函数的图像经过直线 l 与两条坐标轴的交点，以直线 x = 3 为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式 课后作业课后作业 15 / 16 x y A B

20、O 【作业7】 若抛物线23yaxbx与232yxx 的两交点关于原点对称， 求a、 b的值 【作业8】 已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线24yax与 x 轴的负半轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B，2 5AB 点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点 C，线段 BP 与 x 轴交于点 D设点 P 的横坐标为 m （1）求这条抛物线的解析式； （2）用含 m 的代数式表示线段 CO 的长； （3）当3tan2ODC时，求PAD的正弦值 【作业9】 已知抛物线2212myxmx与抛物线22234yxmxm在同一平面直角坐标系 中的位置如图所示 （1）试判断哪条抛物线

21、经过 A、B 两点，并说明理由； （2）若 A、B 两点到原点的距离 AO、BO 的长满足1123OBOA，求经过 A、B 两点的抛 物线解析式 16 / 16 【作业10】 已知抛物线24yaxaxt与 x 轴的一个交点为 A（1，0） （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积 为 9，求此抛物线的解析式； （3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴距离的比为 5 : 2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上且 它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE的周 长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由