初中数学八年级秋季班-第8讲：一元二次方程的应用二.pdf

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1、 八年级秋季班 1 / 17 解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答” ，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果本章节的内容综合性较强 1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 2、传播问题： (1)naxA， a 表示传染前的人数， x 表示每轮每人传染的人数， n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数 内容分析内容分析 知识结构知识结构 知识知识精讲精讲 模块一：传播问题 一元二次方程应用（二） 八年级秋季班 2 / 17 【例1】 某次会议中， 参加的人员每两人握一次手， 共握手 190 次，

2、求参加会议共有多少人 【例2】 一个 QQ 群中有若干好友， 每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息， 这样共有 756 条信息，这个 QQ 群中共有多少个好友? 【例3】 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛） ，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛? 【例4】 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会? 【例5】 某实验室需要培养一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000 个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出

3、多少个有益菌? 例题解析例题解析 八年级秋季班 3 / 17 【例6】 我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序， 是国家法律明令禁止的， 如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家? 1、利率问题 基本公式：利息=本金*利率*期数 2、利润问题 基本公式： 单件利润=售价-成本； 利润=（售价-成本）*销售的件数 模块二：利率、利润问题 知识知识精讲精讲 师生总结师生总结 1 1、 解此类问题，列方程时解此类问题，列方程时 1 1 与与 x 的位置不能调换；解方的位置不能调换；解方程一般用直接开平方法；程一般用直接开平方法；

4、 2 2、 所得的方程的根一般有两个，注意检验，是否符合实所得的方程的根一般有两个，注意检验，是否符合实际问题的要求际问题的要求 八年级秋季班 4 / 17 【例7】 小明同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入 “少儿银行” ， 到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的 60%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率 （利息税为 20%，只需要列式子） 【例8】 某种服装，平均每天可以销售 20 件，每件盈利 44 元，在每件降价幅度不超过 10元的情况下，若

5、每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，如果每天要盈利 1600 元，每件应降价多少元? 【例9】 某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利 45 元，并且商场每天可售出该工艺品 100 件，若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件 （1） 每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为 4900？ （2） 若已知按标价的八五折销售该工艺品 8 件与标价降低 35 元销售工艺品 12 件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元? 【例10】 某化工材料销售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克 30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不

6、得低于 30 元市场调查发现：单价每千克70 元时日均销售 60kg；单价每千克降低一元，日均多售 2kg在销售过程中每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按一天计算） 如果日均获利 1950 元，求销售单价 例题解析例题解析 八年级秋季班 5 / 17 【例11】 某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案稍后见到某旅行社的广告：基价 1000 元/人，若单位组织超过 25 人，每增加 1 人可将人均定价降低 20 元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社 旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，

7、准备了 2.7 万元的支票前去结账，却被告知金额不止 2.7 万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于 700 元为限 双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的 30%的责任 （1） 这家单位还应补缴多少金额? （2） 对这一场消费纠纷，你有什么想法? 【例12】 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负

8、责处理） 当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； （2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000 元 （3）小静说： “当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由 八年级秋季班 6 / 17 1、面积、面积问题：问题： 判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程判断清楚

9、要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程 【例13】 一个直角三角形的两条直角边的和是214cm，面积是224cm，两条直角边的长分别是_ 【例14】 一个长方形的对角线长的是10，面积是 48，长方形的周长是_ 【例15】 利用 22 米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆 36 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，问 AB 和 BC 边各应为多少? 【例16】 如图，如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m） ，另三边用木栏围成，木栏长 35m （1） 农场的面积能达到 1502m? （

10、2） 农场的面积能达到 1802m吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 （3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用? 模块三：面积问题 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 A B C D E F 八年级秋季班 7 / 17 九 年级 练数 学 习同步【例17】 有一面积是 150 平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米） ，墙对面有一个 2 米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长 33 米求鸡场的长和宽各多少米? 【例18】 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩

11、形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）? 【例19】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30 m，宽 20 m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为 21，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到 0.1cm）? 18米2米 八年级秋季班 8 / 17 【例20】 要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形 P、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为

12、矩形 ABCD 面积的14，求 P、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽度 传播问题 1、动态几何类动态几何类问题问题： （1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式式 模块五：动态几何类问题 知识知识精讲精讲 A B C D P Q 八年级秋季班 9 / 17 【例21】 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点

13、 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P到达 B 点或点 Q 到达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t秒钟后 （1）求出PBQ 的面积； （2）当PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值； （3）是否存在PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由 【例22】 在矩形 ABCD 中，AB=9cm，BC=15cm，点 P 从点 A 开始以 3cm/s 的速度沿 AB边向点 B 移动，点 Q 从点 B 开始以 cm/s

14、 的速度 5 沿 BC 边向点 C 移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 D 时，P、Q 两点同时停止运动，试求PQD的面积 S 与 P、Q 两个点运动的时间 t 之间的函数关系式 例题解析例题解析 A B C D P Q A B C D P Q 八年级秋季班 10 / 17 【例23】 等腰直角三角形 ABC 中，AB=BC=8cm，动点 P 从 A 点出发，沿 AB 向 B 移动，通过点 P 引平行于 BC、AC 的直线与 AC、BC 分别交于 R、Q当 AP 等于多少厘米时，平行四边形 PQCR 的面积等于 162cm? 【例24】 有一边为 8cm 的正方形

15、 ABCD 和等腰三角形 PQR， PQPR5cm， QR5 2cm，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰三角形 PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 按箭头方向匀速运动， t 秒后正方形 ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 5，求时间 t A B C Q P R A B C D P Q R L 八年级秋季班 11 / 17 【例25】 已知竖直上抛物体离地高度 h（米）和抛出瞬间的时间 t（秒）的关系是2012hv tgt，0v是抛出时的瞬时速度，常数g取 10 米/秒2一枚爆竹以0v=30 米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间

16、爆竹离地面高度是 25 米? （2） 多少时间以后爆竹落地? 【例26】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0分如果平局，两个选手各记 1 分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 【例27】 一个容器内乘有 60 升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多 14升的溶液，再用水加满这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精? 模块六：其他类问题 例题解析例题解析 八年级秋季班 12 / 17

17、 【习题1】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场，比赛组织者应邀请多少个队参赛 【习题2】 用 20 厘米长的铁丝能否折成面积为 30 平方厘米的矩形， 若能够， 求它的长与宽；若不能，请说明理由 【习题3】 小华勤工俭学挣的 100 元钱按一年期存入银行，到期后取出 50 元来购买学习用品，剩下的 50 元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为 63 元，求第一次存款的年利率（不计利息税） 【习题4】 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场

18、分析，若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润 （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式 （3）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少 随堂检测随堂检测 八年级秋季班 13 / 17 【习题5】 在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果四周金色纸边的面积是 14002cm，求金色纸 边的

19、宽 【习题6】 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地， 开辟一个面积为 130 平方米的花圃，打算一面利用长为 15 米的仓库墙面，三面利用长为 31 米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个 2 米门，求花圃的长和宽 【习题7】 如图，用总长为 54 米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃 ABCD，并使面积为 72 平方米，求 AB 和 BC 的长 【习题8】 某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.62m，上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少? （2）如果计划每天挖土 483m，需要多少天才能

20、把这条渠道挖完 A B C D 八年级秋季班 14 / 17 【习题9】 一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL，求每次倒出的药液量 【习题10】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、 乙两种贺年卡， 甲种贺年卡平均每天可售出500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.2

21、5 元，那么商场平均每天可多售出 40 张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大? 【习题11】 如图，RtABC 中，B=90，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止连接 PQ设动点运动时间为 x 秒 （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，PBQ 为等腰三角形； （3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积

22、等于 202cm？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由 A B C P Q 八年级秋季班 15 / 17 【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为 2 厘米的一个长方形，余下的面积是 48 平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是_ 【作业2】 有 46 米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长 25 米）的矩形鸡场，其面积是 260平方米，则鸡场的长为_米，宽为_米 【作业3】 在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 82m的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号） 【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背

23、水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 45003m，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 CF：BF=1：2，迎水坡度 1：1=DE：AE，10110.049精确到 0.1m） 【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一 个细菌繁殖了多少个细菌? 课后作业课后作业 F E A B C D 八年级秋季班 16 / 17 【作业6】 从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精 5 升问每次倒出溶液的升数? 【作业7】 为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口

24、丢下去，7.26 秒后听到它落地的声音， 已知音速为330米每秒， 石头从井口落下的距离s与实践t的关系式为212sgt（g=10米每二次方秒） ，求这个矿井的深度 【作业8】 某同学在初二年级末，将 500 元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出 240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和 272.68，购买纪念品求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解） 【作业9】 将进价为 40 元的商品加价 25%出售能卖出 500 个，若以后每涨 1 元，其销售量就减少 10 个，如果使利润为 9000 元，售价应该定为多少? 八年级秋季班 17 / 17 【作

25、业10】 百货大搂服装柜在销售中发现： “七彩”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了迎接“元旦” ，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件 （1）要想平均每天销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元? （2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元? 【作业11】 等腰直角三角形 ABC 中， BAC=45，CD AB，垂足为 D，CD=2，P 是AB 上的一动点(不与 A、B 重合)，且 AP=x，过点 P 作直线 l 与 AB 垂直 （1） 设三角形 ABC 位于直线 l 左侧部分的面积为 S，写出 S 与 x 之间的函数关系式； （2） 当 x 为何值时，直线 l 将三角形 ABC 的面积分成 1:3 的两部分 A B C D L P