初中数学九年级秋季教师版 九年级秋季班-第4讲：解直角三角形-教师版.pdf

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1、 1 / 27 解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容， 通过本节的学习， 需要掌握直角三角形中， 除直角外其余五个元素之间的关系， 并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形， 以及解直角三角形的相关应用 重点在于理解仰角、 俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题 1、解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 在tRABC中，如果=90C，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： 222abc （2）锐角之间的关系： 90

2、AB （3）边角之间的关系： sincosaABc，cossinbABc tancotaABb，cottanbABa 解直角三角形 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：解直角三角形 知识精讲知识精讲 2 / 27 【例 1】ABC中，90C，已知 AB = 6.4，40B ，则A _，AC =_， BC =_（sin400.64，sin500.77，边长精确到 0.1） 【难度】 【答案】50，4.1，4.9 【解析】9050AB ，根据锐角三角形比的定义，sinACBAB，即得 sin406.4 0.644.0964.1ACAB，同理sin504.9BCAB 【总结】考查直角三角形中

3、锐角三角比的定义和应用 【例 2】若菱形的周长为 8，相邻两内角之比为 3 : 1，则菱形的高是_ 【难度】 【答案】2 【解析】 菱形周长为 8， 则其边长为 2， 相邻两内角之比为 3 : 1， 则较小内角为1180454， 则菱形高为2sin452 【总结】考查菱形性质和相关锐角三角比的应用 【例 3】如图，OAB中，OA = OB，125AOB已知点 A 的坐标是（4，0），则点 B 的坐标是_（用锐角三角比表示） 【难度】 【答案】4cos554sin55， 【解析】过点B作BMx轴交x轴于点M， 则有18055BOMAOB， 由4BOAO，可得cos55MOBO， sin55BMB

4、O，点B在第二象限，可知其坐标即为4cos554sin55， 【总结】考查平面直角坐标系中点坐标与线段长度的转换，结合锐角三角比相关知识解题 例题解析例题解析 A B O x y M 3 / 27 A B C D E O 【例 4】如图，在ABC中，90BAC，AB = AC，D 为边 AC 的中点，DEBC于点 E， 连接 BD，则tanDBC的值为（ ） A13 B21 C23 D14 【难度】 【答案】A 【解析】设ABACa，90BAC，可得2BCa， 45C，D 为 AC 中点，则有1122CDACa， DEBC，可得2sin4DECECDCa， 则3 24BEBCCEa，214ta

5、n33 24aDEDBCBEa 【总结】考查等腰直角三角形中的锐角三角比的应用 【例 5】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是边 AD 的中点，若 AC = 10， DC =2 5， 则 BO =_，EBD的度数约为_（参考数据：1tan26 342） 【难度】 【答案】5，18，26 【解析】根据矩形性质，10BDAC，152BOBD， 根据勾股定理，224 5ABBDAB，E 是 AD 中点， 则2 5AEAB，2 51tan24 5ABADBAD，则有26 34ADB，45AEB，即得：4526 3418 26EBDAEBADB 【总结】本题一方面考查矩形

6、性质，另一方面考查锐角三角比的应用 【例 6】在锐角ABC中，AB = 14，BC = 14，84ABCS，求 cot C 的值 【难度】 【答案】7136 【解析】作ADBC交BC于D，则有12ABCSAD BC，得：22 841214ABCSADBC， 根据勾股定理可得222 13BDABAD，则142 13713cot126CDCAD 【总结】解三角形，通过作高把线段放到直角三角形中即可 A B C D E 4 / 27 【例 7】如图，ABC中，2 3AB ，AC = 2，边 BC 上的高3AD ，求ABCS和BAC的 大小 【难度】 【答案】2 3ABCS，90BAC 【解析】ADB

7、C，根据锐角三角比的定义，则有 31sin22 3ADBAB，3sin2ADCAC， 可得：30B ，60C，可知90BAC，所以12 32ABCSAB AC 【总结】解直角三角形的应用，直接采用特殊角锐角三角比，也可直接用勾股定理解题 【例 8】如图，在锐角ABC，4sin5B ，tan2C ，且40ABCS，求 BC 的长 【难度】 【答案】10 【解析】作ADBC交BC于点D， 由4sin5B ，可设4ADa，则有5ABa， 根据勾股定理得：223BDABADa，因为tan2C ，则2CDa， 5BCBDCDa，11454022ABCSAD BCaa，即24a ， 解得：2a ，即得：5

8、10BCa 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中即可 【例 9】如图，ABC中，30B ，45C，22ABAC，求 BC 的长 【难度】 【答案】31 【解析】过点A作ADBC交BC于D， 设ADa，由30B ，45C，可得：2ABa， 3BDa，CDa，2ACa22ABAC，2222aa， 解得：1a ，由此可得331BCBDCDaa 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可 A B C D A B C D A B C D 5 / 27 【例 10】如图，先将斜边 AB 长 6 cm，30A 的直角三角板 AB

9、C 绕点 C 顺时针方向旋转 90至A B C位置， 再沿 CB 向左平移， 使点 B 落在原三角板 ABC 位置的斜边 AB 上， 则平移的距离为_ 【难度】 【答案】33 cm B 【解析】30A ，得sin303BCABcmBC， cos303 3ACABcm，则有3 33AB ， 得3tan3 33333B BABAcm 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的已知线段用一条线段表示出来即可 【例 11】如图，正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合， 折痕为 MN，若1tan3AEN，DC + CE =10

10、（1）求ANE的面积； （2）求sinENB的值 【难度】 【答案】（1）103；（2）35 【解析】（1） 设正方形边长为a， 由1t a n3AEN， 可得：13BEa， 则有23CEa，CDa，DC + CE =10，即2103aa，解得：6a ， 则123BEa， 设ANm，根据翻折的性质，则有ENANm，6BNm， 在Rt BNE中用勾股 定理， 则有222BNBENE， 即22262mm， 解得：103m ， 11102223ANESBE ANm； （2）由（1）可得2BE ，103NE ，则23sin1053BEENBNE 【总结】解直角三角形的应用，注意充分利用翻折的性质和其中

11、的相关等量关系 A B C D E N M A B C 6 / 27 【例 12】如图，四边形 ABCD 中，90AC ，120B ，AB = 4，BC = 2，求四边 形的面积 【难度】 【答案】26 33 【解析】延长AB、DC交于点E， 90AC ，120B ，60DCBE 由 BC = 2，得tan602 324CEBCBEBC， 由 AB = 4，即得8AEABBE，则有8 3cot603ADAE 即得：1118 3126 3822 3222323ABCDADEBCESSSAD AEBC CE 【总结】利用割补法求面积，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可 【例 13】

12、如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD = AB = BC，连接 AC，且30ACD， 2 3tan3BAC，CD = 3，求 AC 的长 【难度】 【答案】6 35或6 3 【解析】过点B作BEAC交AC于E，过点D作 DFAC交AC于F， 则有12AECEAC，设AEa，由2 3tan3BAC， 可得：2 33BEa，根据勾股定理即可得22213ABBEAEaBCAD， 由30ACD，CD = 3，可得3sin302DFCD ，3 3cos302CFCD， 在Rt ADF中用勾股定理， 则有222AFDFAD， 即2223 33212223aa， 整理，得：2518 3270aa，解得：

13、13 35a ，23 3a ，均符合题意， 即得6 325ACa或6 3AC 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可 A B C D E A B C D E F 7 / 27 【例 14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过 B 点的直 线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，折痕 BM还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使 点 A 落在 BC 上的点 F 处， 折痕 EN 利用这种方法， 可以求出tan67.5的值是21， 试证明之 【难度】 【答案】略 【解析】 证明： 第一次折叠， 由翻折的性

14、质， 得：ABBE， 有45AEB， 第二次折叠，由翻折的性质，得：AEEF，有2AEBAFB ， 则有22.5AFB，67.5FAB， 设ABa，则有BEa，2AEaEF，则有21BFa， 21tan67.5tan21aBFFABABa 【总结】考查翻折性质与特殊角锐角三角比的结合运用，注意线段长度的合理转换 【例 15】在平面直角坐标系内，放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） 点1B在 y 轴 上，点1C、1E、2E、2C、3E、4E、3C在 x 轴上已知正方形1111ABC D的边长为 1， 1160BCO，11BC/22B C/33B C，则点3A到 x 轴的距离是（ ） A3

15、318 B3118 C336 D316 【难度】 【答案】D 【解析】由1160BCO， 11BC/22B C/33B C，可得： 22233460B C EB C E， 由11122290BC DB C D， 得：11122360C DEC D E， 1111221cos602D EC DB E则2222223sin603B EB CC D，2322343cos606D EC DB E， 由此可得3A到x轴的距离即为3433311cot601366B E ，故选 D 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，注意进行边角转化 A B C D E F N M x y O 8 / 27 仰角 视线 水

16、平线 视线 俯角 铅垂线 北 北偏东 30 南偏西 45 北偏西 70 南偏东 50 30 70 45 50 h l 1、仰角与俯角仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角俯角 2、方向角、方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的角叫做方向角 如图：北偏东 30 ，北偏西 70 ，南偏东 50 ，南偏西 45 3、坡度（坡比） 、坡角、坡度（坡比） 、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度 如图， 坡面的铅垂高度 h 和水平宽度 l 的比

17、叫做坡面的坡度坡度 （或坡比坡比） ， 记作 i， 即hil 坡度通常写成 1 : m 的形式，如1:1.5i 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 坡度 i 与坡角之间的关系：tanhil 模块二：解直角三角形的应用 知识精讲知识精讲 9 / 27 【例 16】如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测 得树顶 A 的仰角ABO为，则树 OA 的高度为（ ） A30tan B30sin C30tan D30cos 【难度】 【答案】C 【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角 比定义可得tanOAOB，即得30tanOA，故选 C 【总结】考

18、查锐角三角比在实际问题中的应用 【例 17】如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离 AB 的长是（ ）海 里 A2 B2sin 55 C2cos 55 D2tan 55 【难度】 【答案】C 【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比 定义可得cosABPABPA，即得2cos55OA，故选 C 【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用 【例 18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 厘米，深为 30 厘米， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，

19、斜坡的起始点为 C，现设计 斜坡 BC 的坡度 i = 1 : 5，那么 AC 的长度是_厘米 【难度】 【答案】210 【解析】依题意可得3 1854BD ， 2 3060AD ， 根据坡度的含义， 可得：270BDCDi，由此可得 210ACCDADcm 【总结】考查坡度的实际应用和理解 例题解析例题解析 A B O A B P 北 A B C D 10 / 27 【例 19】如图，斜面 AC 的坡度为 1 : 2，AC =3 5米，坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连，若 AB = 10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）米 A5 B6 C8 D3+ 5 【难度】

20、【答案】A 【解析】斜坡坡度为 1 : 2，即12CDAD，设CDa，则有2ADa， 根据勾股定理可得53 5ACa， 解得3a ， 即得：3CD ， 6AD ，根据勾股定理可得228BDABAD， 则5BCBDCDm 【总结】考查坡度的实际应用和理解，结合勾股定理进行实际计算 【例 20】如图，要在宽为 22 米的大道 AB 两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯 柱 BC 成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直当灯罩的 轴线 DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳此时，路灯的灯柱 BC 的高度应该设计 为（ ）米 A112 2 B112 3 C1

21、1 32 2 D11 34 【难度】 【答案】D 【解析】延长OD、DC交于点E 90BODC ，120BCD， 60DOBDCE，由 BC = 2， tan602 324DEDCCEDC， 依题意可知：OB =11，即得：tan6011 3BEOB， 则11 34BCBECEm 【总结】考查利用锐角三角比求线段长度，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可 C A B D A B C D O E 11 / 27 【例 21】如图，为测得一栋大厦 CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端 A 点观测大厦顶 端 C 处的仰角是 60， 然后爬到该楼房顶端 B 处观测大厦底部 D 处的俯角

22、是 30， 已 知楼房高 AB 约是 45 m，根据以上观测数据可求大厦的高 CD 是_m 【难度】 【答案】135 【解析】90BADADC，30ADB，60CAD， 则有tan6045 3ADAB，tan60135CDADm 【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用 【例 22】如图，小智在大楼 30 米高（即 PH = 30 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15， 山脚 B 处的俯角为 60 已知山坡的坡度为1: 3， 点 P、 H、 B、 C、 A 在同一平面上，点 H、B、C 在同一直线上，且PHHC则山坡上 A、B 两点间的 距离为_ 【难度】 【答

23、案】20 3m 【解析】依题意有60PBH，15QPA， 山坡坡度为1: 3，则有30ABC， 由此可得:9030BPHPBH，90ABP， 9045APBBPHQPA， 则有20 3sin60PHBP ，20 3ABPBm 【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用 A B C D A B C H P Q 12 / 27 【例 23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图） ，按规定， 地下停车库坡道口上方要张贴限高标志， 以便告知停车人车辆能否安全驶入， 为标明限 高， 请你计算图中 CE 的长（参考数据：sin180.309，cos180.951，tan180

24、.325， cot183.078，结果精确到 0.1 m） 【难度】 【答案】2.3m 【解析】依题意得18BAD， tan9tan18BDABBAD， 9tan180.5CDBDBD， 9072BDABAD， 则有9018DCEBDA， 由此可得cos9tan180.5cos189sin180.5cos18CECDDCE 由上述数据，即可得9 0.3090.5 0.9512.30552.3CEm 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比 【例 24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形已知吊车 吊臂的支点 O

25、距离地面高2OO 米 当吊臂顶端由点 A 抬升至点A（吊臂长度不变） 时，地面 B 处的重物（高度不计）被吊至B处，紧绷着的吊缆A BABAB 垂直地 面O B于点 B， 直线A B垂直地面O B于点 C， 吊臂长度10OAOA米， 且3cos5A， 1sin2A （1）求重物在水平方向移动的距离 BC； （2）求重物在竖直方向提升的高度B C 【难度】 【答案】（1）3m；（2）5 36 m 【解析】 （1）如图，则有4sin1085ODOAAm， 1sin1052OFOAAm，则3BCFDODOFm； （2）由（1）可得：cos6ADOAAm，则8ABADDBADOOmAB， 225 3A

26、FOAOFm，则5 3285 36BCAFFCABm 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比，注意看清楚题目提供的条件 A B C D E 9 m 0.5 m 18 F D A B A B O O C 13 / 27 【例 25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10 米，CBDB，坡面 AC 的坡 角为 45为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度 为3:3i 若新坡角下需留 3 米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10 米的建筑物是 否需要拆除？（参考数据：21.414，31.732） 【难度

27、】 【答案】需要拆除 【解析】依题意有45CAB， 则10ABBC， DC 的 坡 度 为 3:3i ， 即得：10 3CDBDi， 由此可得：10 310ADBDAB，则点 A 距人行道外侧距离至少为 10 310310 3710.3210，由此可知建筑物需要拆除 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用 【例 26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度如图所示，先在 水平面上点 A 处测得对广告牌上沿点 C 的仰角为 30， 然后沿 AH 方向前进 10 米至点 B 处，测得对广告牌下沿点 D 的仰角为 60已知矩形广告牌垂直于地面的一边 CD 高 2 米求广告牌

28、的高度 GH（结果保留根号） 【难度】 【答案】5 31 m 【解析】作DEBH交BH于E， 设BEa，则有 tan3DEBEDBEa， 32CECDDEa， 由30CAE，得332 310AECEaABBEa， 解得：53a ，由此可得3235325 31GHCEam 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系 A B C D A B C D G H 广告牌 E 14 / 27 【例 27】如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处， 测得45CAO轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们 的速度

29、分别为 45 km/h 和 36 km/h 经过 0.1 h， 轮船甲行驶至 B 处， 轮船乙行驶至 D 处， 测得58DBO此时 B 处距离码头 O 有多远？（参考数据：sin580.85， cos580.53，tan581.60） 【难度】 【答案】13.5km 【解析】依题意可得：45 0.14.5ABkm， 36 0.13.6CDkm，由45CAO，可知 4.5AOCOBO，8.1DOCOCDBO， 58DBO，得tantan58DODBOBO， 即8.11.60BOBO，解得：13.5BOkm 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系 【例 28

30、】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼已 知点 A 到 MN 的距离为 15 米，BA 的延长线与 MN 相交于点 D，且30BDN，假设 汽车在高架道路上行驶时，周围 39 米以内会受到噪音的影响 （1）过点 A 作 MN 的垂线，垂足为 H如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶， 当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多 少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排 居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需 要

31、多少米长？（结果精确到 1 米，参考数据：31.7） 【难度】 【答案】（1）36；（2）89 【解析】 （1）39AP ， 根据勾股定理可得： 2222391536PHAPAHm； （2）30BDN，得278DQQCm， cot3015 3DHAHm， 由此可得隔音板长度：36 15 378114 15 389PQPHDHDQm 【总结】 考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用， 注意将题目中的语言转化为数学符号语言 A B C D P N M Q H A B C D O 北 东 15 / 27 【例 29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风 暴，有极强

32、的破坏力据气象部门观测，某沿海城市 A 正南方向相距 220 km 的 B 处有 一台风中心，中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 km，风力就会减弱一级现 台风中心正以 15 km/h 的速度沿北偏东 30方向移动， 如图所示 若城市所受风力达到 或超过 4 级，则称为受台风影响 （1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由 （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？ 【难度】 【答案】（1）会受影响；（2）4 15h；（3）6.5级 【解析】 （1）作ADBC交BC于D， 则有sin110A

33、DABBkm， 不受台风影响的最小距离为12420160km， 因为110160，故该城市会受到台风影响； （2）设在E点处该城市开始受到台风影响，则有160AEkm， 根据勾股定理可得：2230 15DEAEAD， 则受影响时间为2 30 15154 15h； （3）台风中心到达D点处距该城市最近，受到最大风力影响， 受到的最大风力即为12 110206.5级 【总结】 考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用， 关键是找准题目要求的临界位置结合题意进行求解 A B C D E 16 / 27 【例 30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形 ABCD，其中 AB / CD瞭望台 PC 正

34、 前方水面上有两艘渔船 M、N，观察员在瞭望台顶端 P 处观测渔船 M 的俯角31， 观测渔船 N 的俯角45已知 MN 所在直线与 PC 所在直线垂直，垂足为 E，PE 长 为 30 米 （1）求两渔船 M、N 之间的距离（结果精确到 1 米） （2）已知坝高 24 米，坝长 100 米，背水坡 AD 的坡度 i = 1 : 0.25为了提高大坝的防洪能 力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽 3 米，背水坡 FH 的坡 度为 i = 1 : 1.5施工 12 天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效 率提高到原来的 1.5 倍，结果比原计划提前 20 天完成

35、加固任务施工队原计划平均每 天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60，sin310.52） 【难度】 【答案】（1）20m；（2）600 【解析】 （1）3050tan0.60PEMEm， 30tanPENEm，由此可得： 20MNMENEm； （2）作DGAB交AB于G，作 FQBH交BH于Q 依题意有：24DGFQ， AD 坡度 i = 1 : 0.25，即得：16DGAGi， FH 坡度 i = 1 : 1.5，即得：236FQHQi， 由此可得336633AHGQHQAG， 则填筑土石方总量为11005024333432002DGDFAH方， 设原计划每天填筑x方，可列方

36、程43200121.5122043200 xxx， 解得：600 x ，经检验，600 x 是原方程的根， 即原计划每天填筑土石方 600 立方米 【总结】考查实际问题的应用，主要是对题目要求进行准确分析 A B C D E F N M P J H G Q 17 / 27 A B C D E F G 【习题 1】如图，菱形 ABCD 的边长为 15，3sin5BAC，则对角线 AC 的长为_ 【难度】 【答案】24 【解析】连结BD交AC于点O，则有ACBD， 2ACAO，由3sin5BAC，即35BOAB，得9BO ， 勾股定理得2212AOAOBO，则224ACAO 【总结】考查菱形的性质

37、结合锐角三角比基础知识的应用 【习题 2】有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知 BC = BD = 15 cm， 40CBD，则点 B 到 CD 的距离为_cm （参考数据：sin200.342， cos200.940，sin400.642，cos400.766，结果精确到 0.1 cm） 【难度】 【答案】14.1 【解析】作BECD，则有1202CBECBD， 故 B 到 CD 的距离cos15 0.94014.1BEBCCBEcm 【总结】考查锐角三角比和等腰三角形性质的结合应用 【习题 3】如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD 测得电视塔

38、顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的 仰角为 60，则这个电视塔的高度 AB 为（ ） A50 3米 B51 米 C50 3+1米 D101 米 【难度】 【答案】C 【解析】60AEG，得：tan603AGEGEG， 30ACG，则有cot3033CGAGAGEG， 则有2100CECGEGEG， 得：50EG ，350 3AGEG，50 31ABAGBGm故选 C 【总结】考查特殊角锐角三角比的实际应用，相应线段长度转化 随堂检测随堂检测 A B C D O A B C D E 18 / 27 【习题 4】如图，ABC中，90C，3

39、sin5B D 是 BC 上一点，已知45ADC， DC = 6，求tanBAD的值 【难度】 【答案】17 【解析】过点D作DEAB交AB于点E 由90C，3sin5B ，可设3ACa，则5ABa， 根据勾股定理可得224BCABACa，由45ADC，可得3CDACa， 则BDBCCDa，由90CDEBBB ，即得ACBDEB， 则有55ACBCABaDEBEBDa， 由此可得35DEa，45BEa， 则215AEABBEa， 即得315tan2175aDEBADAEa 【总结】 解直角三角形， 通过作高把线段放到直角三角形中再通过相应的线段比例关系把三角形中的相关线段表示出来即可 【习题

40、5】如图，ABC和ADE都是等边三角形，AB = 2AD，已知45BAD，AC 与DE 相交于点 F，ABC的面积为3，求阴影部分的面积 【难度】 【答案】334 【解析】作CGAB交AB于点G，作FHAE交AE于点H， 则有6045EBEAFBAD ， 设ABC边长为a，则有1322BGaCGa， 1133222ABCSCG ABa a，即得24a ，解得：2a ，即22ABAD， 得ADE边长为 1，则有1AE ， 设FHh，则有3cot603EHEFh，AHFHh， 即得3113AEAHFHh， 解得332h，13324SAE FH阴 【总结】考查特殊角的锐角三角比与特殊图形的结合应用

41、A B C D E A B C D E F G H 19 / 27 【习题 6】如图，在四边形 ABCD 中，45AC ，105ADBABC （1）若 AD = 2，求 AB； （2）若2 32ABCD，求 AB 【难度】 【答案】（1）62；（2）31 【解析】 （1）作DEAB交AB于点E， 由45A ，可得：cos452AEADDE， 由105ADB，可得：30ABD， 即得cot306BEDE，则62AB ； （2）作BFCD交CD于点F，由（1）可得31ABDE， 设DEa，则有2BDa， 由45AC ，105ADBABC，可得60BDC， 则有cos60DFBDa，3BFaCF，

42、即得31CDaAB，由2 32ABCD， 即可得31AB 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可 【习题 7】2015 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级地震，震源深度为 20 千米中 国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方 C 处有生命迹象在废墟一侧 某面上选两探测点 A、B，点 A、B 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和 45 （如图） ， 试确定生命所在的点 C 与探测面的距离 （参考数据：21.414，31.732） 【难度】 【答案】2.732m 【解析】作CDAB交直线AB于点D 由题意可得：30CAD，45

43、CBD， 则有cot303ADCDCD，BDCD， 即312ABADBDCD， 解得：312.732CDm 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可 A B C D E F A B C 30 45 D 20 / 27 EDCBA 【习题 8】利用几何图形，求 sin 18的值 【难度】 【答案】514 【解析】如图，ABC为“黄金三角形” ，AD、BE分别为其顶角 和一底角角平分线，则有18BAD，12BDBC， 根据相似可证得“黄金三角形中”512BCAC， 则有51sin184BDAC 【总结】考查“黄金三角形”的性质的应用 【习题 9】如图，港口 B 位于港口 O 正

44、西方向 120 km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60 方向上一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30）以 v km/h 的速度驶离港 口O， 同时一艘快艇从港口B出发， 沿北偏东30的方向以60 km/h的速度驶向小岛C， 在小岛 C 用 1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去 （1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？ （2）若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1 h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离 【难度】 【答案】（1）1h；（2）40v ，相遇处与港口 O 的距离120km 【解析】 （1）依题意可得60CBO，30BOC， 则有9

45、0ACB，此时sin60BCOBBOCkm， 则快艇到小岛的时间为60601h； （2）延长BC交AO于点D 由题意可知60CDBC，则有ABBO， 由30AOC，可得60BOD， 即BOD为等边三角形， 相遇点D与港口距离120ODOBkm，船速1201 1 140/vkm h 【总结】考查方位角的应用，计算速度时注意不要遗漏时间 A B C O 北 北 东 D 21 / 27 【习题 10】如图所示，已知边长为 2 的正三角形 ABC 沿直线 l 顺时针滚动 （1）当ABC滚动一周到111ABC的位置时，A 点所运动的路程约为_； （精确到 0.1） （2）设ABC滚动 240，C 点的位

46、置为C，当ABC滚动 480时，A 点的位置再A，请你利用正切的两角和公式tantantan1tantan，求出CACCAA的度数 【难度】 【答案】（1）8.4；（2）30 【解析】 （1）A 点转过的圆心角度数 为1202240， 由此可得运动路程为： 240288 3.148.418033； （2）作C DAC交直线AC于点D，作AEAC交直线AC于点E 则有2sin603C DAE，2 2 15AD ，4 2 19AE ， 则有3tan5C DCACAD，3tan9AECAAAE，根据上述公式，代值计算， 则有33tantan359tan1tantan333159CACCAACACCA

47、ACACCAA， 即得30CACCAA 【总结】阅读题，抓住题目中的运动过程，准确分析即可进行解题应用 A B C A1 B1 C1 D E 22 / 27 【作业 1】如图，将正方形 ABCD 的边 BC 延长到点 E，使得 CE = AC，AE 与 CD 相交于点 F，求E的余切值 【难度】 【答案】21 【解析】设正方形边长为a，则有2ACaCE， 21BEBCCEa， 21cot21aBEEABa 【总结】考查根据一些特殊角锐角三角比计算一些相关锐角三角比的思想方法 【作业 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿 A

48、E 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则sinEFC的值为_ 【难度】 【答案】45 【解析】连结BF， 根据翻折的性质，可得BEEFFC，可证得BFC为直 角三角形，AEBF，即得/ /AECF，所以EFCAEFAEB 由8AB ，6BE ， 勾股定理得：2210AEABBE， 则84sinsin105ABEFCAEBAE 【总结】考查翻折性质的应用，通过等角转化求角的锐角三角比 课后作业课后作业 A B C D E F A B C D E F 23 / 27 【作业 3】如图，AD 是ABC的中线，1tan3B ，2cos2C ，2AC 求： （1）BC 的长； （2）sinADC

49、的值 【难度】 【答案】（1）4；（2）22 【解析】 （1）作AEBC交BC于点E， 则cos1CEACCAE ，由1tan3AEBBE， 即得：3BE ，则4BCCECE； （2）因为 AD 是ABC中线，则有2BDCD，即得：1DECDCE， 由勾股定理，得：222ADAEDE，则有12sin22AEADCAD 【总结】解三角形，通过作高把边转化到直角三角形中即可 【作业 4】如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度沿南偏东 20的方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 50方向上 轮船航行 40 分钟到达 C 处， 在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 10方向上，则 C

50、 处与灯塔 A 的距离是（ ） A20 海里 B40 海里 C2033海里 D4033海里 【难度】 【答案】D 【解析】依题意可得：30ABCACB，则有ABAC， 作ADBC交BC于D，轮船行程即260403BC ， 则有1202BDCDBC，40 3cos3CDACACB 【总结】 考查方位角知识的应用， 本题重点在于准确分析相关角度的大小再利用特殊角的锐角三角比解决问题 A B C D E A B C 北 东 D 24 / 27 【作业 5】如图，在ABC中，45B ，5 62AB ，D 是 BC 上一点，AD = 5，CD = 3， 求ADC的度数及 AC 的长 【难度】 【答案】6