初中数学题库试题考试试卷 与一次函数相关的竞赛题及其解法.pdf

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1、数学活动课程讲座与一次函数相关的竞赛题及其解法王 东 青(湖北省浠水县实验中学,438200)(本讲适合初中)一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜.本文拟对其常见题型及基本解法做一浅略介绍,以飨读者.1 一次函数的性质问题一次函数y=kx+b(k、b是常数,k0)的性质大致如下:(1)它的图像是经过点-bk,0和(0 ,b)的一条直线;(2)它的系数符号决定图像的大致位置及单调性(y随x的变化情况) ,如图1所示.图1例1 已知一次函数y=kx+b,kb 0.则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有个,即第象限.(

2、第14届江苏省初中数学竞赛)解:由kb 0 ,b 0时,它的图像经过一、三、 四象限;(2)当k 0时,它的图像经过一、二、 四象限.所以,该一次函数的图像必经过的公共象限有两个,即第一、 四象限.例2 已知abc0 ,并且a+bc=b+ca=c+ab=p.那么,直线y=px+p一定经过() .(A)第一、 二象限 (B)第二、 三象限(C)第三、 四象限 (D)第一、 四象限(1998 ,全国初中数学竞赛)解:由a+bc=b+ca=c+ab=p,得a+b=cp,b+c=ap,c+a=bp.三式相加,得2(a+b+c) =p(a+b+c) .(1)当a+b+c=0时,p= - 1 ,y= -x

3、-1 ,则直线经过第二、 三、 四象限;(2)当a+b+c0时,p= 2 ,y= 2x+ 2 ,则直线经过第一、 二、 三象限.综上,直线一定经过第二、 三象限,故选(B) .2 一次函数图像上的特殊点问题一次函数图像上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、 定点(恒过某一点)、 整点以及两个一次函数图像的交点等.图2例3 函数y= 3 -|x- 2|的图像如图2所示,则点A与B的坐标分 别 是A,B.(第15届江苏省初中数学竞赛)2中 等 数 学解:由已知可得y=-x+ 5(x2) ,x+1(x 2) .由图2可知:点A是直线y= -x+ 5与x轴的交点,有A(5 ,0) ;点B是直线y= -x+

4、 5与y=x+ 1的交点,有y= -x+ 5 ,y=x+ 1.解得B(2 ,3) .故A(5 ,0)、B(2 ,3) .图3例4如图3 ,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15 ,6) ,直线y=13x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分.那么,b=.(2000 ,全国初中数学竞赛)解:由矩形的对称性可知,平分其面积的直线必过其中心(即对角线交点) .设中心为点O.由B(15 ,6) ,则O152,3 .代入y=13x+b,得3 =13152+b.解得b=12.3 一次函数的图像与面积问题一次函数的图像与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数k、

5、b表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示.使面积问题与坐标建立联系.例5 设直线nx+ (n+ 1)y= 2 (n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1 ,2 ,2 000) .则S1+S2+S2 000的值为() .(A)1(B)1 9992 000(C)2 0002 001(D)2 0012 002(2001 ,河北省初中数学创新与知识应用竞赛)解:直线nx+ (n+ 1)y= 2与两坐标轴的交点分别为0 ,2n+1、2n,0.则Sn=1n(n+ 1).因此,S1+S2+S2 000=112+123+12 0002

6、 001=1 -12+12-13+12 000-12 001=2 0002 001.故选(C) .图4例6如图4 ,直线y= -33x+ 1与x轴、y轴 分 别 交 于 点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角 ABC,且 BAC= 90.如果在第二象限内有一点Pa,12,且 ABP的面积与RtABC的面积相等,求a的值.(2001 ,全国初中数学竞赛天津赛区初赛)解:由已知可得A( 3 ,0)、B(0 ,1) ,OA=3、OB= 1.故AB=OA2+OB2= 2.因此,SABC=1222 = 2.连PO.则SABP=SPBO+SABO-SAPO=121|a| +1213 -1231

7、2= -a2+32-34.32003年第2期又SABP=SABC,所以-a2+32-34= 2.故a=3 - 82.4 一次函数的应用问题一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系,构建一次函数模型,再利用一次函数的性质求出问题的解.例7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、 彩电、 冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表1.表1家电名称空调器彩电冰箱工 时121314产值(千元)432 问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台才能使产值最高?最高产值多少(以千元为单位) ?(第12

8、届江苏省初中数学竞赛)解:设每周生产空调器x台、 彩电y台、冰箱z台,总产值为w千元.依题意得x+y+z=360 ,12x+13y+14z= 120 ,w= 4x+ 3y+ 2z,z60.由 、 得x=z2,y= 360 -3z2,代入 ,得w= -12z+ 1 080.又k= -12 0 ,所以w随z的减小而增大.又z60 ,即当z= 60时,w最大,最大值为1 050.此时x= 30 ,y= 270.所以,每周应生产空调器30台、 彩电270台、 冰箱60台,才能使产值最高,最高产值为1 050千元.5 其他例8 已知直线y= 2x+ 6与x轴、y轴的交点分别为A、B,又P、Q两点的坐标分

9、别为P( - 2 ,0)、Q(0 ,k) ,其中k 6 ,再以点Q为圆心、PQ长为半径作圆.则(1)k取何值时,Q与直线AB相切;(2)说出k在什么范围内取值时,Q与直线AB相离?相交? (只须写出结果,不必写出解题过程)(1999 ,湖北省黄冈市初中数学竞赛)图5解: (1)由已知,得A( - 3 ,0)、B(0 ,6) .有BQ= 6 -k,PQ=k2+ 4 ,AB= 3 5.如图5 ,作QRAB于R,则RtBQRRtBAO,得BQAB=QROA.又QR=PQ,所以,BQAB=PQOA.有6 -k3 5=k2+ 43,即 k2+ 3k- 4 = 0.解得k= 1或- 4.故当k= - 4或

10、k= 1时,Q与直线AB相切.(2)当- 4 k1时,Q与直线AB相离;当1 k 6或k - 4时,Q与直线AB相交.与一次函数相关的内容是十分丰富的,如大家非常熟悉的用待定系数法求解析式等,在这里就不一一赘述.4中 等 数 学图6练 习 题1.一个一次函数的图像与直线y=54x+954平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点( - 1 ,- 25) .则在线段AB上(包括端点A、B) ,横、 纵坐标都是整数的点有() .(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个(2000 ,全国初中数学竞赛)(答案:B)2.如图6 ,直线y=- 2x+ 10与x轴、y轴分别交 于A、B两 点.把A

11、OB沿AB翻折,点O落在C处,则点C的坐标是.(1999 ,湖北省黄冈市初中数学竞赛)(答案:C(8 ,4)3.在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5 ,5)、Q(2 ,1)的距离分别为MP和MQ.当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x=.(2001 ,TI杯全国初中数学竞赛) (答案:52)4.求证:不论k为何值,一次函数(2k- 1)x-(k+ 3)y- (k- 11) = 0的图像恒过一定点.(第12届江苏省初中数学竞赛)(提示:此题是 “直线束” 问题,可先由两条特殊直线求得交点坐标,再证明其他直线必经过此交点. )5.设直线kx+ (k+ 1)y= 1(k为自然数

12、)与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk(k= 1 ,2 ,3 ,2 000) .则S1+S2+S3+S2 000=.(2000 ,湖北省初中数学竞赛选拔赛)(答案:1 0002 001)配对原理(映射法计数)徐 文 兵(清华大学附中,100084)(本讲适合高中)1 知识与方法定义1 设X和Y是两个集合(二者可以相同) ,如果对于每个xX,都有惟一确定的yY与之对应,则称这个对应关系为X到Y的映射,记为fXY.这时y=f(x)Y称为xX的像,而x称为y的原像.特别地,当X和Y都是数集时,映射f称为函数.本讲主要介绍有限集上的映射及其性质,这在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广,是参赛者必不可少的

13、预备知识.这里,我们用|A|表示集A的元数.定义2 设f为从X到Y的一个映射.(1)如果对于任何x1、x2X,x1x2,都有f(x1)f(x2) ,则称f为单射;(2)如果对于任何yY,都有xX,使得f(x) =y,则称f为满射;(3)如果映射f既为单射又为满射,则称f为双射;(4)如果f为满射且对任何yY,恰有X中的m个元素,它们的像都是y,则称f为(倍数为m的)倍数映射.下面的定理是利用映射法计数的主要依据.定理:设X和Y都是有限集,f为从X到Y的一个映射.(1)如果f为单射,则|X|Y| ;(2)如果f为满射,则|X|Y| ;(3)如果f为双射,则|X| = |Y| ;(4)如果f为倍数为m的倍数映射,则52003年第2期