2022年正多边形和圆—知识讲解 .pdf

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1、正多边形和圆知识讲解（提高）【学习目标】1. 了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3. 会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1) 各边相等； (2) 各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形( 正方形是正多边形). 要点二、正多边形的重要元素1. 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些

2、弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆2. 正多边形的有关概念(1) 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心(2) 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径(3) 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(4) 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距3. 正多边形的有关计算(1) 正边形每一个内角的度数是；(2) 正边形每个中心角的度数是；(3) 正边形每个外角的度数是. 要点诠释： 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.

3、 正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形. 3. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方5. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（

4、1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1. 用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角( 即等分顶点在圆心的周角) 可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n 边形 . 2. 用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图. 正四、八边形. 在 O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4 等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧 ( 即作 AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形 . 正六、三

5、、十二边形的作法. 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O中，任画一条直径AB ，分别以 A、B为圆心，以 O的半径为半径画弧与O相交于 C、D和 E、F，则 A、C、E、B、F、D是 O的 6 等分点 . 显然， A、E、F( 或 C、B、D)是O的 3 等分点 . 同样，在图 (3) 中平分每条边所对的弧，就可把O 12 等分 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 要点诠释： 画正 n边形的方

6、法： （1）将一个圆n 等份，（2）顺次连结各等分点. 【典型例题】类型一、正多边形的概念1. 如图所示，正五边形的对角线AC和 BE相交于点 M (1) 求证： ACED ；(2) 求证： ME AE 【解析与答案】 (1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接O ，则?AB的度数为1360725，EAC的度数等于?EDC的度数的一半，EAC 1722722，同理， AED 1272 3108，EAC+ AED 180， ED AC(2) EMA 180 AEB EAC 72，EAM EMA 72， EA EM 【点评】 辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅助圆后利用圆

7、的特殊性去解决直线型的问题要证AC ED和 ME AE ，都可用角的关系去证，而如果作出正五边形的外接圆，则用圆中角的关系去证比较容易2.（2015?威海模拟） 如图，正方形 ABCD 内接于 O，E 为 DC 的中点， 直线 BE 交O 于点 F，若O 的半径为，则 BF 的长为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【答案】6 55. 【解析】 解：连接BD，DF，过点 C 作 CNBF 于点 F，正方形 ABCD

8、内接于 O，O 的半径为，BD=2，AD=AB=BC=CD=2，E 为 DC 的中点，CE=1，BE=，CN BE=EC BC，CN=2，CN=，BN=，EN=BE BN=，BD 为 O 的直径，BFD=90 ，CEN DEF，EF=EN ，BF=BE+EF=+=，故答案为【点评】 此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多边形边长是解题关键举一反三：【变式 】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（）A3：4 B：2 C2： D1：2 【答案】 B；【解析】 设圆的半径为1，如图（ 1），连接 OA 、OB过 O作 OG AB ；名师资料总

9、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 六边形ABCDE 为正六边形， AOB=60；OA=OB ，OG AB ， AOG=30，AG=OA?sin30 =1= ，（或由勾股定理求）AB=2AG=2 =1，C六边形 ABCD=6AB=6 如图（ 2）连接 OA 、OB过 O作 OG AB ；六边形ABCDE 为正六边形， AOB=60，OA=OB ，OF AB ， AOF=30，AG=OG?tan30 =，（或由勾股定理求）AB=

10、2AG=2 =，C六边形 ABCD=6AB=6 =4cm圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4=：2类型二、正多边形和圆的有关计算3. （2014?江西模拟）如图，AG 是正八边形ABCDEFGH的一条对角线（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与AG 平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若 AB=2 ，求四边形PQMN 的面积【答案与解析】解： （1）连接 BF，则有 BFAG 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

11、精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 理由如下：ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135 又HA=HG ， 1=22.5 ，从而 2=135 1=112.5 由于正八边形ABCDEFGH关于直线 BF 对称，即 2+3=180 ，故 BFAG （2）根据题设可知PHA= PAH=45 ，P=90 ，同理可得 Q=M=90 ，四边形 PQMN 是矩形又PHA= PAH=QBC=QCB=MDE= MED=45 ，AH=BC=DE ，PAH QCB MDE ，PA=QB=QC=MD 即 PQ=QM ，故四边形PQMN 是正方形在 Rt

12、PAH 中， PAH=45 ，AH=2 ，PA=2故【点评】 此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 PQ 的长是解题关键4. 如图（ 1）所示，圆内接ABC中， AB BC CA ，OD 、OE为 O的半径， OD BC于点 F，OE AC于点 G，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是 ABC的面积的13图（ 1）【答案与解析】(1) 连 OA 、OB 、OC ，如图（ 2）所示，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - -

13、 - - - - - - - 图（ 2）则 OA OB OC ，又 ABBC CA OAB OBC OCA ，又 OD BC于 F，OE AC于 G，由垂径定理得AG 12AC ，FC 12BC ， AG CF Rt AOG RtCOF OCGOCFOCGAOGAOCABC13SSSSSSS四边形 OFCG【点评】 首先连接OC ，根据垂径定理的知识，易证得RtOCG RtOCF ，设 OG=a ，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG 的面积与 ABC的面积， 继而求得答案举一反三：【变式 】如下图，若DOE保持 120角度不变，求证：当DOE绕着 O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是ABC的面积的13【答案】 连接 OA 、 OB 、OC ，由 (1) 知 OAB OBC OCA 1 2设 OD交 BC于 F，OE交 AC于 G，则 AOC 3+4120，DOE 5+4120，3 5在 OAG 和 OCF中2135OAOC， OAG OCF AOCABC13SSS四边形 OFCG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -