立体几何中的向量方法求夹角ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ZPZ空间空间“角度角度”问题问题我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.异面直线所成角异面直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , 则则, l m(0)2cosa ba b 复习引入复习引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？

2、但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直线作直线a a, b b,则则a , b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所所成的角成的角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线a、b的方向向量为的方向向量为 ,其夹角其夹角为为 ,则有则有(4)注意注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角

3、作为两异面直线所成的角应取其补角作为两异面直线所成的角.(0,2 , a b |cos| cos| |a bab 空间三种角的向量求解方法空间三种角的向量求解方法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感

4、到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜

5、测没有错：表里边有一个活的生物 题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的角？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（的夹角。如图（2），

6、设二面角），设二面角 的大小为的大小为其中其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角、二面角我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意法向量的方向：同进注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角等于法向量夹角Lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 m

7、n，lnm,nm, 2、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 , 则则l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 lBDCA3.二面角二面角(1)范围范围:(2)二面角的向量求法二面角的向量求法:若若AB、CD分别是二面角分别是二面角 的两的两个面内与棱个面内与棱l垂直的异面直线垂直的异面直线,则二面角则二面角的大小就是向量的大小就是向量 与与 的夹角的夹角(如图如图(1)设设 是二面角是二面角 的两个面的两个面 的法向量的法向量,则向量则向

8、量 与与 的夹角的夹角(或其补或其补角角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小(如图如图(2)0, l AB CD l , 12,n n 1n 2n l1n 2n (1)(2)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我

9、的猜测没有错：表里边有一个活的生物以以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC B设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大

10、小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝面内，属于面内，属于“一进一出一进一出”的情况，二面角等于法向的情况，二面角等于法向量夹角量夹角nm我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的例余弦值3ABCDS我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么

11、把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示， ABCD 是一直角梯形， ABC=90S平面求面与面所成二面角例的余弦值3ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0,1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设

12、平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值 策略点睛 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子

13、是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 题后感悟如何利用法向量求二面角的大小？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (

14、5)确定出二面角的平面角的大小 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物212)0,20(21ABn221213. 线面角线面角设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所所成的角为成的角为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，则则1AB2n而利用而利用 可求可求 ，从而再求出从而再求出 21nABnAB2cos我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3. 线面角线面角 u

15、a ula 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，且，且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ),则则a u l02 sina ua u 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ,平面的法平面的法向量为向量为 ,直线与平面所成的角为直线与平面所

16、成的角为 , 与与 的的夹角为夹角为 ,则有则有0,2 u a a u |cos|cos|cossin| |a uau 或或我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的

17、世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：

18、1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBC

19、B M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC2 23.SABCSABCDOxyz【典例剖析典例剖析】 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的

20、东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3 如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段，在线段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为450? 若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。的位置；若不存在说明理由。 【典例剖析典例剖析】 3DBACEPxzy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表

21、里边有一个活的生物(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm ( ,),30,3 ,(3 )0,(3) ,PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 设 平 面的 法 向 量 为则解 得1,(1, 3, 3),xnm令得2345sin45,4 ( 3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),

22、( ,1,0),APDE m设设BE=m，则，则我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是影的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ ._ .3 3、已

23、知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为则两平面所成的钝二面角为_ ._ .基础训练基础训练:1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_ ._ .AB AC 6001350【巩固练习巩固练习】 1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角所成角的余弦值为的余弦值为_ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1

24、A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ . 3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点, 则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_090BAC090BAC6631 01 0045我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面

25、，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题）小结：小结：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物小结：小结：1.异面直线所成角学学.科科.网网： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n cos12|cos,|n n