第1章-有限元基本理论ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第一章第一章 有限元基本理论有限元基本理论平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件物理系统物理系统有限元离散有限元离散单元的位移场单元的位移场(假定单元内位移函数假定单元内位移函数)单元节点关系单元节点关系求解区域的位移场、应力场求解区域的位移场、应力场简简单单化化我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.1 有限元分析有限元分析 (FEA

2、)有限元分析有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。的未知量去逼近无限未知量的真实系统。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.2 有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想v将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个

3、节点，将连续体看作只在节点处相连接设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。的一组单元的集合体。v选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。分布规律。v利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。问题化为离散域中有限自由度问题。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为

4、什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.3 物理系统举例物理系统举例几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx1.3.1 平衡方程平衡方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.3.2 几何方程几何方程xwzuzwzvywyvy

5、uxvxuzxzyzyxyx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.3.3 物理方程物理方程(本构方程本构方程)zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGeGGeGGe222211E12EGzyxe拉梅系数拉梅系数体积应变体积应变剪切模量剪切模量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.3.4 边界条件边界条件ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxxwwvvuu应力边界条件应力边界条件位

6、移边界条件位移边界条件我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.4 有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。是真实系统理想化的数学抽象。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.5 自由度自由度(DOFs)自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热

7、 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 问题问题 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.6 节点和单元节点和单元节点节点:空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。自由度和存在相互物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵矩阵)。单元有线、面或实体以及二。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元

8、等种类。维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单组成，单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.6 节点和单元节点和单元 (续续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的分离但节点重叠的单元单元A和和B之间没有之间没有信息传递（需进行信息传递（需进行节点合并处理）节点合并处理）具有公共节点具有公共节点的单元的单元之

9、间存之间存在信息传递在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.6 节点和单元节点和单元 (续续)节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY,

10、UZ, ROTX, ROTY, ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.7 单元形函数单元形函数FEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOF值。值。单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了从节点DOF值值到单元内所有点处到单元内所有点处DOF值的计算方法。值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果

11、的“形状形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性。的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。求解精度。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).21.7 单元形函数单元形函数(续续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理

12、想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果).4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.7 单元形函数单元形函数(续续)vDOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。v这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来推导出来

13、的（如：结构应力、热梯度）。的（如：结构应力、热梯度）。 nodal solutionelement solutionUX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ、E我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.7 单元形函数单元形函数(续续)v如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。通过单元形函数推导出来的。v当选择了某种单元类型时，

14、也就十分确定地选择并当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受接受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单元类型所假定的单元形函数。v在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有须确保分析时有足够足够数量的单元和节点来精确描述数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。所要求解的问题。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个

15、美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(11111iiexxxxxxxxeiluuiuuNNuxxuuiiiiiiiii1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v就整个直杆来说，位移函数就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，即：即：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实

16、我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：变和应力用节点位移表示的公式：iiiiiiluuEixixluudxduixE)(11我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2)()()(1111iiiiiiiillqluuEAluuEA 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v外载荷与结点的平衡方程外载

17、荷与结点的平衡方程为第为第i个结点上承受的外载荷个结点上承受的外载荷2)(1iillq我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物TqaaEAaEAaEAuuupkuuqauuuqauu)()2()2(432243432321.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v假定将直杆分割成假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点则对结点2，3，4列出的平衡方程为：列出的平衡方程为：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世

18、界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1101210122/aEATkqaqaqap1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物EAqaqEAqaEAqauuu222242832521.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v联立求解线性代数方程组得：联立求解线性代数方程组得：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：

19、表里边有一个活的生物1.9 有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤v结构的离散化结构的离散化v选择位移模式选择位移模式v建立平衡方程建立平衡方程v求解节点位移求解节点位移v计算单元中的应力和应变计算单元中的应力和应变我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.1 结构的离散化结构的离散化v将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体单元体仅仅在节点处相连接，而以如此单元的结合在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替原来的结构。体去代替原来

20、的结构。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.2 选择位移模式选择位移模式(形函数形函数)v首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式的关系式v有了位移模式，就可利用几何关系和应力有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式式eNueeBDB我吓了一跳

21、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数v基本假定：基本假定：假定单元内假定单元内的位移可以用一个比较的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下元划分比较密的情况下是合理可行的。是合理可行的。yaxaau321yaxaav654我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.3 三角形单元的

22、形函数三角形单元的形函数(续续)v将三角形单元的将三角形单元的3个顶点的个顶点的2个方向位移代个方向位移代入位移函数可求出入位移函数可求出6个待定系数。即可用节个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：点的位移表示内部任意一点的位移： emmjjiimjimjiBvuvuvuNNNNNNvuu000000我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.4 建立平衡方程建立平衡方程v可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程移之间的关系式，即结构的平衡方程pk1.9.5 求解结点位移求解结点位移v将边界条件代入线性代数方程组将边界条件代入线性代数方程组 后，后，经解算可求得所有未知的结点位移。经解算可求得所有未知的结点位移。pk我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.9.6 计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力v依据求得的结点位移，由依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。可求得单元中任一点的应变和应力。eeBDB