常微分方程的基本概念ppt课件.pptx

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1、1.1.微分方程的基本概念微分方程的基本概念2.2.一阶常微分方程一阶常微分方程3.3.二阶线性微分方程二阶线性微分方程 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量学及工程技术提出大量需要寻求函数需要寻求函数关系关系的问题。在这些问题中，函数关的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即系式，即微分方程微分方程，然后由微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。和

2、某些已知条件把未知函数求出来。学科背景学科背景例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为A.求曲线方程问题的提出：一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离质点下落距离S S与时间与时间t t的函数关系。的函数关系。 解：将质点的初始位置取为原点，

3、沿质点运动方向解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为取正向。已知自由落体的加速度为g,g,即：即：B.质点自由下落,dd22gtS.,21,dd,d)ddd(212121为任意常数，其中再积一次分得：两边积分得：将上式改写成CCCtCgtSCgttStgtS定义定义1: 含有未知函数的导数含有未知函数的导数的方程称为微的方程称为微分方程分方程. 未知函数是未知函数是一元函数一元函数,含有未知函数的含有未知函数的导数导数的微的微分方程称为分方程称为常微分方程常微分方程. 未知函数是未知函数是多元函数多元函数,含有未知函数的含有未知函数的偏导数偏导数的微分方程称

4、为的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.例如例如5.1 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念,dd22gtS，xdxdy2.:出现但未知函数的导数必须及自变量可以不出现，微分方程中，未知函数注意例如例如022 lgdtdmdtd定义定义2 2: ( ( 微分方程的阶微分方程的阶 ) )未知函数的导数的未知函数的导数的最高最高阶数阶数称为称为微分方程的阶微分方程的阶. .,24xdxdy一阶一阶二阶二阶二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.的阶数相同的解且常数个数与微分方程个独立的任意常数，的包含阶常微分方程nn),(1nCCxfy .)(,)(是微分方程的一个解则称函数为恒等式成代入

5、微分方程后使方程如果把函数xyyxyy定义定义3: ( 微分方程的微分方程的解解)称为微分方程的称为微分方程的通解通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解解. 微分方程的微分方程的通解通解：定义定义5: ( 积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族)积分曲线族积分曲线族.),(称为积分曲线族平面上的一族曲线，对应于通解xyCxfy .0dd,.0dd)(sincos.0022221特解并求满足初始条件的通解是微分方程是非零常数验证函数例xxxyAyykxykkxCkxCy1.1.微分方程的通解和特解有何区别和联系微分方程的通解和特解有何区别

6、和联系? ?2.2.判断下列函数是否是微分方程判断下列函数是否是微分方程 02yy的解，是通解还是特解的解，是通解还是特解? ? xCey2 xCey2 xey22 xey22 (1) (2) (3) (3) (4) (4) 5.2 5.2 一阶常微分方程一阶常微分方程1. 变量可分离型变量可分离型3. 一阶线性方程一阶线性方程)()(ygxfdxdy dyygdxxf)()( 或或)()(xqyxpdxdy 2. 可化为可化为可分离变量可分离变量主要类型主要类型5.2.15.2.1可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程如果一阶微分方程如果一阶微分方程),(ddyxfxy.)()(dd),(

7、)(),()()(),(程可分离变变量的微分方的方程，称为则形如即的乘积，的函数和的函数可以表示为右端的yhxgxyyhxgyxfyhyxgxyxf这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.解解方方程程例例 1dxdyyxy2231)2( dxxfdyyg)()( 两边积分两边积分Cdxxfdyyg)()(通解通解分离变量分离变量xydxdy2)1( )()(yxfdxdy 这两个方程的共同特点这两个方程的共同特点是变量可分离型是变量可分离型dxxdyy21 (1) (1) 解解 dxxdyy2112lnCxy 两边积分两边积分分离变

8、量分离变量1212CxCxeeey 21,0 xCeeyy 时时当当21,0 xCeeyy 时时当当即即则则有有记记,C1Ce )0(2 CCeyx!0 也也是是方方程程的的解解注注意意： y也也可可以以等等于于零零故故C于是得到方程于是得到方程通解通解)(2RCCeyx xydxdy2 2231xdxydyy Cxy 3112212(2) 解解分离变量分离变量两端积分两端积分, 得得Cxy 3112通解通解dxdyyxy2231 !,也也是是方方程程的的解解即即注注意意：112yy奇异解奇异解成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvd

9、d然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时 例5.2.2 5.2.2 可化为可分离变量的方程可化为可分离变量的方程的微分方程称为形如)(xyfy .齐次微分方程解齐次方程时解齐次方程时,通常用变量替换法通常用变量替换法,即即,xyu 设将齐次方程化为可变量分离的方程将齐次方程化为可变量分离的方程.,ln)(d,d)(d:)(dd,ddd

10、d,即得原方程的通解代替再用求出积分后两边积分得分离变量得得代入原方程由uxyCxuufuxxuufuufxuxuxuxuxyuxyxyxydxdytan1例yxyxdxdy2例这两个方程的共同特点是这两个方程的共同特点是什麽什麽 ?)(xygdxdy 可化为可化为齐次型方程齐次型方程xyxydxdy 11求解方法求解方法xyu 令令xuy 即即dxduxudxdy 代代入入得得到到xuugdxdu )(这是什麽方这是什麽方程？程？可分离变可分离变量方程量方程！:1的解例xyu 令令uudxduxutan 分离变量分离变量xdxduu cot两端积分两端积分1|ln|sin|lnCxu 代代入

11、入得得到到则则,dxduxudxdy )0(sin1 CCxxeuC由此又得到由此又得到)0()arcsin( CCxxy0,0: Cy所所以以可可以以有有也也是是原原方方程程的的一一个个解解注注意意通解通解)R()arcsin( CCxxyyxyxdxdy2例解解,xyu 令令uuxuu 11则则,xuuyuxy uuuxu 1212即即dxxduuuu12112 凑凑微微分分dxxuuuud121) 12(2122 两端积分两端积分12lnln) 12ln(21Cxuu 得得2212xCuu 通解通解Cxxyy 222的通解。求例)cos(3yxy解解,uyx 令令1uy uucos1 则

12、则dxudu cos1 dxuducos1 dxudu2sin22Cxyx 2cot通通解解例例3 31) 1 ( y的的特特解解. . 解解原原方方程程变变形形为为 22ddxxyyxy 作作变变量量代代换换 xyu , , 代代入入原原方方程程得得 1dd2 uuxuxu, , 求求方方程程xyxyxyxydddd22 满满足足初初始始条条件件 1)/(2 xyxy, , 即即 11dd2 uuuuuxux, , ,xuy ,ddddxuxuxy 积积分分得得：Cxuu |ln|ln, , 或写成或写成 Cxuu |ln, , 再再将将xyu 代代入入, ,得得通通解解为为 Cyxy |l

13、n； 分分离离变变量量得得 xxuudd)11( , , 再再由由初初始始条条件件1)1( y, , 得得1 C, , 于于是是得得所所求求特特解解为为1|ln yxy. . 即即 11dd2 uuuuuxux, , oyx可得 OMA = OAM = 例例 在制造探照灯反射镜面时,解解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 )(xfy 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OMOPAP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面

14、的形状. 而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2CoyxA22112.0)补充题：1.求微分方程的通解

15、.求微分方程(dydxxyyxdxxydy)2(0)(yxpdxdy) 1 ()()(xqyxpdxdy(1) 如何解齐次方程？如何解齐次方程？0)( yxpdxdy标准形式：标准形式：5. 3 5. 3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程分离变量分离变量dxxpydy)( dxxpcey)(齐次通解齐次通解解得解得非齐次非齐次齐次齐次)1()()(xqyxpdxdy (2)(2)用常数变易法解非齐次方程用常数变易法解非齐次方程假定假定(1)的解具有形式的解具有形式)()(1xyxCy 将这个解代入将这个解代入(1) , 经计算得到经计算得到)2(0)( yxpdxdy齐齐次次方方程程的的对对应

16、应于于 ) 1()()2(1)(xCyCeydxxp 的的通通解解为为)( )()()(11xyxCxyxC )()()()(1xqxyxCxp ）的的解解，（是是 2)(1xy0)()()()( )(11 xyxCxpxyxC化简得到化简得到)()()(1xqxyxC dxxpexqxC)()()(即即积分积分CdxexqxCdxxp)()()(从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解)()()( dxexqCeydxxpdxxp非齐次通解非齐次通解)1()()(xqyxpdxdy )()()( dxexqCeydxxpdxxp)2(0)( yxpdxdy非齐次通解非齐次通解

17、dxxpcey)(齐次通解齐次通解xexyysincos0cossinxexyy例例1 求求 的通解。的通解。原方程化为原方程化为xexqxxPsin)(,cos)(其中其中CdxexqeydxxPdxxP)()()(CdxeeexdxxxdxcossincosCdxeeexxxsinsinsin.sinCxex解解例例2. 解方程解方程)( ,) 1(edd) 1(1为常数xyxyxx解：解：) 1(e1ddxyxxyx利用求解公式利用求解公式de) 1(ee)d1()d1(Cxxyxxxxxde) 1(ee)1ln()1ln(Cxxxxxd) 1(1) 1(e) 1(Cxxxxxde) 1

18、(Cxxx)(e) 1(Cxx练习：求练习：求1dydxxy 利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式。法将微分方程变为某些函数的微分形式。()xdyydxd xy)2(22yxdydyxdx )(2xydxydxxdy )(2yxdyxdyydx 例如例如)(arctan22xydyxydxxdy)(arctan22yxdyxxdyydx)(2222yxdyxydyxdx)2(2222yxdydyxdxxy解解0)(2 ydyydxxdydxx0)2()()3(23 ydxydxd0)23(23 yxyxd通解通解Cyxyx 23230)()(2dyyxdxyx解方程例凑微分凑微分例0)ln(3 dyyxdydxxy0)lnln(3 dyyxdyxyd0)4()ln(4 ydxyd通解为通解为Cyxy 441ln0)ln(3dyxydxxy解方程 解解 改写为改写为