2022年高三数学专题复习专题三数列理 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载专题三数列真题体验引领卷一、选择题1(2015全国卷 ) 已知等比数列an 满足a13，a1a3a521，则a3a5a7( ) A21 B42 C63 D84 2(2014天津高考) 设an是首项为a1，公差为 1 的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1( ) A2 B 2 C.12D123(2015浙江高考) 已知 an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( ) Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0 4(2015北京高考) 设an是等差数列，下列结论中正确的是( ) A若a1a20，

2、则a2a30 B若a1a30，则a1a20 C若 0a1a1a3D若a10 5(2013新课标全国卷 ) 设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm 1 2，Sm0，Sm1 3，则m( ) A3 B4 C5 D6 6(2015福建高考) 若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于( ) A9 B5 C4 D2 二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载7(2015全国卷 ) 在数列an 中，a

3、12，an1 2an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_8(2015湖南高考) 设Sn为等比数列 an的前n项和，若a11，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则an_9 (2015全国卷 ) 设Sn是数列 an 的前n项和，且a1 1，an1SnSn 1， 则Sn _三、解答题10(2015全国卷)Sn为数列 an的前n项和已知an0，a2n2an4Sn3. (1) 求an的通项公式；(2) 设bn1anan1，求数列 bn 的前n项和11 ( 2015四川高考 ) 设数列 an(n 1，2，3， ) 的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1) 求数列 an

4、的通项公式；(2) 记数列1an的前n项和为Tn，求使得 |Tn 1|11 000成立的n的最小值12(2015天津高考) 已知数列 an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1) 求q的值和 an的通项公式；(2) 设bnlog2a2na2n 1，n N*，求数列 bn 的前n项和专题三数列经典模拟演练卷精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载一、选择题1(2015济南模拟) 设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a3

5、80，则a11a12a13( ) A75 B90 C105 D120 2(2015成都诊断检测)设正项等比数列an 的前n项和为Sn(nN*) ，且满足a4a614，a718，则S4的值为 ( ) A15 B14 C12 D 8 3 (2015河北衡水中学调研) 已知等比数列an中，a32，a4a616， 则a10a12a6a8的值为 ( ) A2 B4 C8 D16 4(2015效实中学二模) 已知数列 an是等差数列，a35，a917，数列 bn的前n项和Sn3n. 若amb1b4，则正整数m的值为 ( ) A26 B27 C28 D 29 5(2015山西康杰中学、临汾一中联考) 设数列

6、 an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(nN*) ，则S6( ) A44B45C.13(461) D.13(451) 6(2015西安质检) 各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，且 3Snanan1，则nk1a2k( ) A.n（n5）2B.3n（n1）2C.n（5n1）2D.（n3）（n5）2二、填空题7(2015郑州质检) 设等比数列 an 的前n项和为Sn，若a1a234，a4a56，则S6_8(2015潍坊调研) 在等差数列 an 中，a1 2 015 ，其前n项和为Sn，若S1212S10102，则S2 015的值为 _9 (2 015台州联考 ) 各项均为正数的等比数

7、列an中，a2a11. 当a3取最小值时， 数列 an的通项公式an_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载三、解答题10(2015长沙调研) 已知数列 an的前n项和Snn2n2，nN*. (1) 求数列 an的通项公式；(2) 设bn2an( 1)nan，求数列 bn的前 2n项和11 (2015 桐 乡 高 级 中 学 模 拟 ) 已 知 数 列 an 与 bn 满 足 ：a1a2a3 anlog2bn(nN*) ，且数列 an为等差数列，a12，b364b2. (1) 求an与bn；(2)

8、设cn(ann1)2an2，求数列 cn的前n项和Tn. 12(2015杭州七校大联考) 若an是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2nS2n1，nN*. 数列 bn 满足bn1anan1，Tn为数列 bn 的前n项和(1) 求an和Tn；(2) 是否存在正整数m、n(1m1”是数列“an为递增数列”的( ) A充分不必要条件B必要且不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2等差数列 an 的前n项和为Sn，已知a58，S36，则a9等于 ( ) A32 B24 C16 D8 3已知等比数列an 是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x210 x90

9、 的两个根，则S6等于 ( ) A120 B254 C364 D128 4在各项均为正数的等比数列an 中，若am1am12am(m2)，数列 an的前n项积为Tn，若 log2T2m 19，则m的值为 ( ) A4 B5 C6 D7 5(2015太原诊断) 已知等比数列an 的前n项和为Sn3n1a(nN*) ，则实数a的值是( ) A 3 B 1 C1 D3 6(2015绍兴鲁迅中学模拟) 等差数列 an的前n项和为Sn，且a1a210，S436，则过点P(n，an) 和Q(n2，an2)(nN*) 的直线的一个方向向量是( ) A. 12， 2B( 1， 1) C. 12， 1D. 2，

10、127(2015长沙模拟) 数列 an满足a11，且对任意的m，nN*都有amnamanmn，则1a1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载1a21a31a2 012等于 ( ) A.4 0242 013B.4 0182 012C.2 0102 011D.2 0092 0108(2015郑州质检 ) 设数列 an是首项为1，公比为q(q 1) 的等比数列， 若1anan 1是等差数列，则1a21a31a31a41a2 0131a2 0141a2 0141a2 015( ) A2 012 B2 013 C

11、4 024 D4 026 第卷 ( 非选择题 ) 二、填空题9各项为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S4 5S2，a22 且Sk31，则正整数k的值为 _10(2015衡水联考) 已知数列 an满足a11，且an13an113n(n2，且nN*) ，则数列an的通项公式为 _11(2015天津七校联考) 已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得aman4a1，则1m4n的最小值为 _12(2015陕西高考) 中位数为1 010 的一组数构成等差数列，其末项为2 015 ，则该数列的首项为 _13(2015乐清联考) 若等比数列 an 的各项均为正数，且a10a1

12、1a9a122e5，则 ln a1ln a2 ln a20_14(2015江苏高考) 设数列 an满足a11，且an1ann1(nN*) ，则数列1an前 10项的和为 _15(2015菏泽调研) 西非埃博拉病毒导致2 500 多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延， 西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30 天内每天因治愈出院的人数依次构成数列an ，已知a13，a2 2，且满足an 2an1( 1)n，则该医院30 天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有_人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

13、-第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载三、解答题16(2015大庆质检) 已知公差不为0 的等差数列 an满足S777，且a1，a3，a11成等比数列(1) 求数列 an的通项公式；(2) 若bn2an，求数列 bn 的前n项和Tn. 17(2015金华模拟) 已知等比数列 an 满足：an0，a15，Sn为其前n项和，且 20S1，S3，7S2成等差数列(1) 求数列 an的通项公式；(2) 设bnlog5a2 log5a4 log5a2n2，求数列1bn的前n项和Tn. 18(2015山东高考) 设数列 an的前n项和为Sn. 已知 2Sn3n3. (1) 求an的通项公式；(2) 若

14、数列 bn满足anbnlog3an，求 bn的前n项和Tn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页学习必备欢迎下载19(2015杭州外国语学校模拟) 已知数列 bn 满足Snbnn132，其中Sn为数列 bn的前n项和(1) 求证：数列bn12是等比数列，并求数列bn 的通项公式；(2) 如果对任意nN*，不等式12k12n2Sn2n7 恒成立，求实数k的取值范围20设数列 bn 的前n项和为Sn，且bn12Sn；将函数ysin x在区间 (0， ) 内的全部零点按从小到大的顺序排成数列an(1) 求bn与an的通项

15、公式；(2) 设cnanbn(n N*) ，Tn为数列 cn 的前n项和若a22a4Tn恒成立，试求实数a的取值范围专题三数列真题体验引领卷1B 设等比数列 an 的公比为q，由a13，a1a3a521. 得 3(1 q2q4) 21. 解得q22 或q2 3( 舍) 于是a3a5a7q2(a1a3a5) 22142. 2D S1，S2，S4成等比数列， S22S1S4，又Sn为公差为 1 的等差数列的前n项和从精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载而(a1a11)2a14a11243，解得a112.

16、3B a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a1 2d)(a17d)(d0)整理得a153d，a1d53d20，又S44a1432d203d6d2d3. dS42d23a10， 得公差d0. 故a2a1a32a1a3(a1a3) ，则选项C正确 5C 由题设，amSmSm12，am1Sm1Sm3. 因为数列 an为等差数列所以公差dam 1am1. 由Smm（a1am）20，得m(a12)0，则a1 2. 又ama1(m1)d2，解得m 5. 6A 依题意知，abp0，abq0. 则a，b，2 这三个数的6 种排序中成等差数列的情况有：a，b， 2； 2，b，a；b，a， 2； 2，a，

17、b. 三个数成等比数列的情况有：a， 2，b；b， 2，a. ab4，2ba2或ab4，2ab2，解得a4，b1或a1，b4.p5，q 4，故pq9. 76 a1 2，an12an，数列 an是以公比q2，首项a12 的等比数列则Sn2（12n）1 2126，解得n6. 83n1 由于 3S1，2S2，S3成等差数列所以4S2 3S1S3，即 3(S2S1) S3S2. 3a2a3，则等比数列an的公比q 3. 故数列 an的通项公式ana1qn13n1. 91n由题意，得S1a11. an1SnSn1，Sn 1SnSnSn1，则Sn 0，从而1Sn11Sn 1，故数列1Sn是以1S1 1 为

18、首项， 1 为公差的等差数列，因此1Sn 1(n1)n，所以Sn1n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载10解(1) 由a2n2an 4Sn3，可知a2n12an14Sn13. 可得a2n1a2n2(an1an) 4an 1，2(an 1an) a2n1a2n(an1an)(an1an) 由于an0，可得an1an 2. 又a212a14a13，解得a1 1( 舍去 ) ，a13. 所以 an 是首项为3，公差为2 的等差数列，通项公式为an2n1. (2) 由an2n1 可知bn1anan11（

19、2n 1）（ 2n3）1212n112n3. 设数列 bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn121315151712n 112n 3n3（2n 3）. 11 (1) 解(1) 由Sn2ana1，得anSnSn12an2an1(n2)，an2an1(n2)，所以q2，从而a22a1，a3 2a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21) ，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，数列 an 是首项为2，公比为 2 的等比数列，故an2n. (2) 由(1) 得1an12n，所以Tn1212212n12112n112 112n. 由|Tn1|11 000，得112

20、n1 1 000 ，因为 295121 0001 024 210，所以n10，于是，使 |Tn1|0，则a3a1，a1a2a3 15，则 3a215，a25，从而a1a310，a1a316.解之得a12，a38. 所以公差da3a123. 故a11a12a13(a1a2a3) 30d1590105. 2A 设等比数列 an 的公比为q，且q0，an0. 由于a4a614，a718，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载则a3a4a6a7 2，q4a7a3116，所以q12. 于是a1a3q28. 故S

21、4a1（1q4）1q8 111611215. 3B 设等比数列 an 的公比为q. 由于a3a1q2 2. a4a6a21q8(a1q2)2q4 4q416. 则q44，故a10a12a6a8q4（a6a8）a6a8q44. 4D 由等差数列的性质，a9a36d. 17 56d，得d2，因此ama32(m3) 2m1. 又数列 bn的前n项和Sn3n，b1S13，b4S4S3343354. 由amb1b4，得 2m 1354，则m29. 5B 由a11，a23a1，得a2 3，又an1 3Sn，知an3Sn 1(n2)，an 1an3Sn3Sn13an，即an14an(n2)因此an1 （n1

22、），34n2（n2），故S613（145）1445. 6B 当n1 时， 3S1a1a2，即 3a1a1a2，a23，当n2 时，由 3Snanan1，可得 3Sn1an1an，两式相减得：3anan(an1an1) an0，an1an1 3， a2n为一个以3 为首项， 3 为公差的等差数列，nk 1a2ka2a4a6a2n3nn（n1）233n（n1）2，选 B. 7.634 a1a234，a4a56，q3a4a5a1a28，从而q2，可求a114. 故S614（126）12634. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共

23、 20 页学习必备欢迎下载8 2 015 设数列 an的公差为d，则Snna1n12d. 由S1212S10102，得a111d2a19d22. 所以d 2，因此S2 0152 015a12 015 2 0142d 2 015. 92n1 根据题意，由于各项均为正数的等比数列an中，由a2a11，得a1(q1)1，所以q1 且a11q1，a3a1q2q2q1（q1）22（q1） 1q1q11q 122（q1）1q1 24，当且仅当q2 时取得等号，因此ana1qn1qn1q12n1. 10解(1) 当n1 时，a1S11；当n2 时，anSnSn1n2n2（n1）2（n1）2n. 由于n 1时

24、，a11 适合上式，故数列 an的通项公式为ann. (2) 由(1) 知，bn2n( 1)nn. 记数列 bn 的前 2n项和为T2n，则T2n(21 22 22n) ( 1234 2n) 记A2122 22n，B 1234 2n，则A22223 22n2（122n）1222n1 2. B( 12) ( 34) (2n1) 2n n，故数列 bn的前 2n项和Tn22n1n2. 11解(1) 由题设，得a1a2a3log2b3，a1a2log2b2，得，a3log2b3b2log2646. 又a12，所以公差d2，因此an22(n1) 2n. 又a1a2a3anlog2bn. 精选学习资料

25、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以n（22n）2 log2bn，故bn2n(n1) (2) 由题意，得cn(3n1)4n1，则Tn4741042 (3n1)4n1，4Tn44742 (3n2)4n1(3n1)4n，由，得3Tn4 3(4 42 4n1) (3n1)4n434（ 14n1）1 4(3n1)4n 3n4n，所以Tnn4n(nN*) 12解(1) a2nS2n1(nN*) ，an0. 令n1，得a1 1；令n 2，得a23，等差数列 an 的公差d 2. 从而an2n1，bn1212n112n1，

26、于是Tn12113131512n112n1n2n1. (2) 假设存在正整数m，n(1m0， 2m24m10，解得 162m1，得m 2，此时n12. 故存在正整数m，n，当且仅当m 2，n12 时，满足T1，Tm，Tn成等比数列专题过关提升卷1D 当a11 时，数列 an是递减数列当an为递增数列时，a10，0q0，q1. 因此， “q1”是 an 为递增数列的既不充分也不必要条件 2C 设等差数列 an 的公差为d，首项为a1，因为a58，S36，所以a14d8，3a1 3d6，解得a10，d2. 所以a9a18d82 16. 3C 因为a1，a3是方程x210 x 90 的两个根，所以a

27、1a310，a1a39，又an是递增数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以a11，a3 9，所以q3，S613613364. 4B 由等比数列的性质，am 1am 1a2m，a2m2am(am 0)，从而am2，因此T2m 1a1a2a3a2m 1a2m 1m22m 1，所以 log2T2m 1log222m 12m19，则m5. 5A 由Sn3n1a，则Sn13na. anSnSn123n(n2，nN*) a1S19a，又数列 an为等比数列，因此a1应满足an23n，即a16. 所以 9

28、a6，a 3. 6A 设等差数列 an 的公差为d，由题意得：2a1d10，4a16d 36，解之得a13，d 4.ana1(n1)d4n1. 则P(n， 4n1) ，Q(n2，4n7) ，因此过点P、Q的直线的一个方向向量坐标PQ(2 ，8) 与PQ共线的一个方向向量为12， 2 . 7A 令m1 得an1ann1，即an 1ann1，于是a2a12，a3a23，anan1n，上述n 1个式子相加得ana123n，所以an1 23nn（n 1）2，因此1an2n（n1）21n1n1，所以1a11a21a31a2 0122 112121312 01212 0132 112 0134 0242

29、013. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载8D 因为1anan1是等差数列，则1a1a21a3a42a2a3，又an是首项为1，公比为q(q 1) 的等比数列，11q1q2q321qq2?q1，所以数列 an 是首项为1，公比为1 的常数列，则an1. 故1a21a31a31a41a2 0141a2 0154 026. 95 由S45S2，得a3a44(a1a2) ，q2(a1a2) 4(a1a2) ，由于a1a20，则q2. 又a22a12. 知a11. Sk1（ 12k）1231，解得k5.

30、 10ann23n 由an13an113n，得 3nan3n 1an11(n2)数列 3nan是以 3 为首项，公差为1 的等差数列因此 3nan3(n1)1n 2，所以ann 23n. 11.32 设正项等比数列an的公比为q(q0) 由a7a62a5，得q2q20，则q2. 又aman4a1，即aman16a21，a212m 12n116a21，2m n216. 则mn6，即16(mn) 1. 故1m4n16(mn)1m4n165nm4mn1652nm4mn16(5 4)32，当且仅当n2m，即m2，n4 时，上式等号成立因此1m4n的最小值为32. 12 5 设数列的首项为a1，由等差数

31、列与中位数定义，则a12 015 21 010，a15. 13 50 a10a11a9a122a1a202e5，a1a20e5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载则 ln a1ln a2 ln a20 ln(a1a2a20) ln(a1a20)10 ln e50 50. 14.2011 a11，an1ann1(nN*) ，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，将上面n1 个式子相加，得ana123n. an123nn（n1）2(n2)，又a11 适合上式，因此ann（n1）2(nN*) ，

32、令bn1an2n（n1）21n1n 1，故S10b1b2b3b10211212131101112011. 15 285 由an2an1( 1)n，知，当n为奇数时，an2an0；当n为偶数时，an2an2. 所以数列a1，a3，a5，a29为常数列；a2，a4，a6，a30是公差为2 的等差数列又a13，a22，因此S30153a2a302 1545230215285. 16解(1) 设等差数列 an的公差为d(d0)，由S77a477，得a411，a13d11，因为a1，a3，a11成等比数列，所以a23a1a11，整理得2d23a1d，又因d0.所以 2d3a1联立，解得a12，d3. 所

33、以 an 的通项公式an 3n1. (2) 因为bn 2an，所以bn23n1128n，所以数列 bn 是以 4为首项， 8 为公比的等比数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载由等比数列前n项和公式得，Tn4（18n）1 823n247. 17解(1) 设数列 an 的公比为q(q0)20S1，S3，7S2成等差数列，2S320S17S2. 则 2(a1a1qa1q2) 20a17(a1a1q) 化简得 2q2 5q250，解得q5 或q52. 由q0. 舍去q52. 所以数列 an 的通项公式

34、ana1qn15n. (2) 由(1) 知，a2n252n2，则 log5a2n22n 2. 因此bnlog5a2log5a4 log5a2n 224 2(n1) (n 1)(n2)1bn1（n1）（n2）1n 11n2，Tn1b11b21bn121313141n11n2121n2n2（n2）. 18解(1) 2Sn3n3，当n 1时， 2a12S133，a1 3. 当n2 时， 2Sn13n13. 则得2an2Sn2Sn 13n3n 1，则an3n1. 所以an3，n1，3n 1，n2.(2) 因为anbnlog3an，所以b113，当n2 时，bn 31nlog33n1(n1)31n. 所

35、以T1b113；当n2 时，Tnb1b2b3bn131 31232 (n1)31n ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以 3Tn11 30231 (n1)32n ，两式相减，得2Tn23(303132 32n) (n1)31n23131n131(n1)31n1366n323n，所以Tn13126n343n，经检验，n 1 时也适合综上可得Tn13126n343n. 19解(1) 对于任意nN*，Snbnn132Sn 1bn1（n1） 132得bn 112bn14，所以bn11212bn12又由

36、式知，S1b1142，即b172. 所以数列bn12是首项为b1123，公比为12的等比数列，bn12312n1，bn312n112. (2) 因为bn312n112所以Sn3 11212212n1n23 112n112n26 112nn2. 因为不等式12k12n2Sn 2n7，化简得k2n72n，对任意n N*恒成立，设cn2n72n，则cn1cn2（n 1） 72n12n72n92n2n1，当n5 时，cn1cn，cn为单调递减数列，当 1ncn，cn为单调递增数列，116c4c5332，所以，n 5 时，cn取得最大值332，所以，要使k2n72n对任意nN*恒成立，k332. 20解

37、(1) 由bn12Sn，令n 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载则b112S112b1，b113. 又当n2时，bnSnSn1，bnbn1(1 2Sn) (1 2Sn1) 2bn. 因此 3bnbn1(n2，nN*) ，数列 bn是首项b113，公比为q13的等比数列所以bnb1qn113n. 令ysin x 0，x(0 ， ) ，得 xn(nN*) ，xn(nN*) ，它在区间 (0 ， ) 内的取值构成以1 为首项，以1 为公差的等差数列于是数列 an 的通项公式a nn. (2) 由(1) 知，cnanbnn3n，则Tn13232333n3n所以13Tn132233n13nn3n1由，得23Tn1313213nn3n112113nn3n1，于是Tn34143n1n23n4Tn恒成立，则a22a3. 解之得a3 或a 1，所以实数a的取值范围是(， 1 3 ， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页