2022年高三数学立体几何专题训练 .pdf

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1、高三数学立体几何专题训练【考点】 1. 三视图； 2 求体积； 3 证线面垂直 ( 垂直关系 ) ；4 求二面角的平面角；5 求线面角； 6 求异面直线所成角；7. 求三角形面积；8 判断平行、垂直、相交、重合位置关系。【复习建议】本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1) 问，一般考查平行与垂直的证明及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范，如能建系。也可用向量法；第(2) 问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用空间向量需注意：异面直线所成角( 一定不大于900) 、线面所成角( 此类题最容易错，记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦

2、) 、二面角 ( 注意观察是钝角还是锐角，一般情况下是锐角 ) 。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。 特别的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量还是综合法，视题目( 更适合哪种方法) 和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角要转换 ( 比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系) 和翻折问题。下面的例题仅供参考。【题例】 1. 如图 3 所示， 在四面体PABC中， 已知 PA=BC=6 ， PC=AB=10 ， AC=8，342PB F是线段

3、PB上一点，341715CF, 点 E在线段 AB上且 EF PB (I)证明： PB 平面CEF ；( ) 求二面角BCE-F 的正切。 选题目的，练好计算( 包括三角形各边，二面角求解) 练好规范；判定是否适用向量。2翻折问题体积问题函数导数) 如图 6 所示，等腰 ABC 的底边66AB, 高 CD=3 ，点 E是线段 BD上异于点B,D 的动点，点F 在 BC边上，且EF AB ，现沿 EF将BEF折起到 PEF的位置， 使 PE AE ，记 BE=x，V(x) 表示四棱锥P一 ACEF 的体积. (1) 求 V(x) 的表达式；(2) 当 x 为何值时， V(x) 取得最大值 ? (

4、3) 当 V(x) 取得最大值时，求异面直线AC与 PF所成角的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页3、( 组合图形问题)如图所示：边长为2 的正方形ABFC和高为 2 的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2DE, ED A F, 且DAF=900(1) 求 BD和面 BEF所成的角的正弦；(2) 线段 EF上是否存在点P使过 P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与 PF的比值；若不存在，说明理由。总结：解决存在性问题方法：1先假设存在，再去推理，下结论： 2 运用推理证明计算得出结论，或先利用

5、条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。4( 视图，无棱二面角问题) 四棱锥 PABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1) 写出四棱锥P一 ABCD中四对线面垂直关系( 不要求证明 ) ；(2) 在四棱锥P-ABCD中，若 E为 PA的中点，求证： BE 平面 PCD；(3) 在四棱锥P一 ABCD 中，设面PAB与面 PCD所在的角为(00 900) ，求 cos 的值5( 无棱二面角问题) 如图，四棱锥S一 ABCD 的底面是边长为l 的正方形 SD 垂直于底面ABCD ，. 3SB(1) 求证： BC SC(2) 求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；(3) 设棱

6、SA的中点为M ，求异面直线DM 与 SB所成角的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页6如图边长为1 的正方形ABCD 中，点 E、F分别为 AB 、BC的中点，将ABEF剪去，将AED 、DCF分别沿 DE 、 DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图示(1) 求证： PD EF ：(2) 求三棱锥P DEF的体积；(3) 求 DE与平面 PDF所成角的正弦值7、 如图，在四棱锥P一 ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=600， Q为 AD的中点。(1) 若 PA=PD ，求证：平面PQB 平面P

7、AD ；(2) 点 M在线段 PC上， PM=tPC ，试确定t 的值，使PA 平面 MQB (3) 在(2) 的条件下，若平面PAD 平面ABCD ，且 PA=PD=AD=2 求二面角M BQ-C的大小。8( 本小题满分l4 分) 如图， ABC是以 ABC为直角的三角形， SA 平面ABC ，SA=BC=2 。AB=4M 、 N、D分别是SC 、 AB 、BC的中点。(1) 求证： MN AB ；(2) 求二面角S-NDA的余弦值：(3) 求点 A到平面 SND的距离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页参考答案l

8、(I)证明：2221006436PCACPA PAC是以 PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以 PAB为直角的直角三角形，PCB是以 PCB为直角的直角三角形故PA 平面 ABC,又3061021|21BCACSPBC而PBCSCFPB3017341534221|21, 故 CF PB ，又已知EF PBPB平面 CEF (II)由(I) 知 PB CE ，PA 平面ABC AB是 PB在平面 ABC上的射影，故AB CE在平面 PAB内，过 F 作 FF1垂直 AB交 AB于 F1，则 FF1平面 ABC ，EFl是 EF在平面 ABC上的射影， EF EC , 故FEB是二面角BC

9、E F 的平面角35610tantanAPABBPAFEB二面角 BCE一 F 的正切为35说明：本题不适宜用向量2(1) 由折起的过程可知， PE 平面ABC ，2212654,69xSxSSBDCAEFABC)630)(1219(36)(2xxxxV(2)419(36)(2xxV所以)6 ,0(x时，)(,0)(xVxV单调递增；636x时,)(,0)(xVxV单调递减；因此6x时， V(x) 取得最大值.612(3) 过 F 作 MT AC 交 AD与 M ，则26,122,21PMBEMBABBEBDBEBCBFABBM4295436636BCPFBFMF在 PFM中，72427284

10、cosPFM异面直线AC与 PF所成角的余弦值为72精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页3 解(1) 因为 AC 、AD 、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0， 0)，D(0，0，2) E(1，l ，2)，F(2 ，2，0) 。则)0, 2,0(),2, 1 , 1(),2,0 ,2(BFBEDB设平面 BEF的法向量),(zyxn, 则x,0,02yzy则可取),1 ,0, 2(n向量DB和)1 , 0, 2(n所成角的正弦为1010)2(21220222222即 BD和面 BEF所成的角的正弦1010(2)

11、 假设线段EF上存在点P使过 P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设)0(mPFmEP则 P点坐标为)12,121,121(mmmmm则向量)12,121,121(mmmmmAP向量)12,11,121(mmmmCP所以,012)2(12101212mmmmm所以21m故存在这样的点P，当点 P为 EF中点时， BD 面 PAC 4解(1) 如图，在四棱锥P一 ABCD 中，PA 平面 ABCD ，AD 平面 PAB ，BC 平面 PAB ，AB平面 PAD (2) 依题意 AB 、AD 、AP两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP为zyx、轴，建立空间直角坐标系，如图则P(0，0，2)

12、 ，B(2，0，0),C(2,2，0) ，D(0，4，0) E是 PA中点，点E的坐标为 (0 ， 0，1) ，)2, 4, 0(),2,2,2(,1 ,0, 2PDPCBE设),(1zyxn是平面 PCD的法向量由PDnPCn11.，即0240222zyzyx取 y=1，得)2, 1 , 1(1n为平面 PCD的一个法向量/,n, 021101211BEBEnBE平面 PCD.又BE平面 PCD ， BE平面 PCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页(3) 由(2) ，平面 PCD的一个法向量为)2, 1 , 1

13、 (1n又 AD 平面 PAB ，平面PAB的一个法向量为6661|cos),0, 1 , 0(21212nnnnn5、方法一解：(1) 如图建立空间直角坐标系则有B(1,1 ，0) ，C(0，1，0)，S(0，0,1) 于是) 1, 1 , 0(),0 ,0 , 1(SCBC. 于是0SCBC所以SCBC, 于是 BC SC ，(2) 显然平面ASD的法向量为)0 , 1 ,0(n, 设平面 SCB的法向量为),1 ,(2yxn则有SCnBCn22, 即010yx, 解得) 1 , 1 ,0(2n由于22,cos21nn所以1n与2n的夹角为450，由图可以判断面ASD与面 BSC所成的角为

14、锐角，因此与1n与2n的夹角相等，从而面ASD与面 BSC所成的角为450(3)M 点坐标为)21,0,21(于是)21, 0,21(DM，而) 1, 1 , 1 (SB, 并且0,cosSBDM于是 DM SB ，即异面直线DM 与 SB所成角的为900：方法二：几何法更快6(1) 证明：依题意知图折前AD AE,CD CFPD PE ，PF PD ，2分PPFPE, PD平面 PEF 3分又EF平面 PEF PD EF 4分(2) 解法 l ：依题意知图中2121PFPECFAE在 BEF中222BEEF在 PEF中PFPEEFPFPE2228121212121PFPESPEF 7 分24

15、11813131PDSVVPEFPEFDDEFP 8 分(2) 解法 2：依题意知图中2121PFPECFAE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页在 BEF中222BEEF5 分取 EF的中点 M ，连结 PM,则 PM EF4222EMPEPM 6 分8142222121PMEFSPEF 7 分2411813131PDSVVPEFPEFDDEFP 8 分(3) 由(2) 知 PE PF, 又 PE PD PE 平面PDF 10 分 PDE为 DE与平面 PDF所成的角， 11分在 RtPDE中21,2541122PE

16、PEPDDE l2 分552521sinDEPEPDE 14 分7解： (1) 连 BD，四边形ABCD 菱形， AD AB ，BAD=600, ABD为正三角形， Q为 AD中点， AD BQ, PA=PD ，Q为 AD的中点， AD PQ,又 BQ PQ=Q AD 平面PQB ，AD平面 PAD,平面 PQB 平面 PAD (2) 当31t时， PA平面 MQB, 下面证明，若PA 平面 MQB ，连 AC交 BQ于 N, 由 AQ BC, 可得ANQBNC,21NCANBCAQ即31NCANPA 平面 MQB ，PA平面 PAC, 平面 PAC 平面 MQB=MN，PA MN31ACAN

17、PCPM即：PCPM31,31t(3) 由 PA=PD=AD=2，Q 为 AD的中点，则PQ AD.又平面PAD 平面 ABCD ，所以 PQ 平面 ABCD ，以 Q为坐标原点，分别以 QA 、QB 、 QP所在的直线为x，y，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为)3,0 ,0(),0, 0,0(),0 ,3,0(),0, 0, 1(PQBA)0,3,0(),3,3,2(),0 ,3,2(),0,23,0(QBPCCN令cbaM, 则)3,(cbaPM, 由PCPM31, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页得

18、点的坐标)332,33,32(M,),332,63,32(MN设平面 MQB 的法向量为) 1 ,(yxn, 可得00MNnQBn,MNPA/, 00PAnQBn, 解得) 1 ,0 ,3(n取平面 ABCD 的法向量21,cos1 ,0 ,0nmnmnmm又因为二面角M BQ C为锐二面角，所以其大小为600。8(1) 略证：作 ME AC ，连接NE ，可证得AB 平面 MNE, 即得 MN AB 4分过 A作 AF垂直 DN且与 DN的延长线相交于点F，连接 SF 在 DBN中,21tanBNDBDNB,55sinDNB在 RtAFN中,552sinDNBANAF在 RtSAF中,555

19、22tanAFSASFA(3) 过点 A作 AHSF于 H，由 (2) 知平面 SAF 平面 SND AH 面SNDAH的长为点A到平面 SND的距离在 RtAHF中，36630552sinSFAAFAH故点 A到平面 SND的距离为3614 分解法二： ( 向量法 ) B 为坐标原点，建立空间直角坐标系( 如图），由题意得M(1，2，1） ，N(0，2， 0) 所以),0, 2,0(),1,0 , 1(ABMNABMNABMN,0设平面 SND的法向量为),(zyxm则0SNm，且0DNm，令解 z=1 得： x=2，y=-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页1 , 1,2m又平面 AND的法向量为)1 ,0, 0(n66cosnmnm (3)36| mmANd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页