2022年集合与函数概念知识点总结 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

2、3、集合的表示： 如 我校的篮球队员，太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A的元素， 就说 a 属于集合A 记作 aA ，相反， a 不属于集合A 记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、- - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x?R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意：有两种可能（ 1）A是 B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。反之 : 集合 A不包含于集合B,或集合 B不包含集合A,记作 A

4、B 或 B A 2“相等”关系 (55，且55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A与 B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时, 集合 B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集 :如果 AB,且A1 B 那就说集合A是集合 B的真子集，记作A B( 或 B A) 如果AB, B C , 那么AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。精选学习资料 - - -

5、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A交 B”) ，即 AB=x|x A，且 x B2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作”A并 B”) ，即 A B=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质： AA = A, A = , A B = BA， A A = A, A= A ,A B = B A. 4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合， A是 S

6、的一个子集（即），由 S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集 A的补集（或余集）二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应， 那么就称f ：AB 为从集合A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： 2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域

7、、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自

8、变量和函数值的字母无关。（3）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备) 3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与Y轴的直线最

9、多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(3) 作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法： 描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值5函

10、数单调性（1）增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当 x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。 区间 D称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意： 1

11、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当 x1x2 时，总有f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2 D，且 x1x2；2 作差 f(x1) f(x2) ； 3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 5 下结论（指出函数f

12、(x) 在给定的区间D上的单调性）(B) 图象法 ( 从图象上看升降)_ 注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 2 、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8函数的奇偶性（1）偶函数一般地， 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地， 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x)就叫做奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必

13、备欢迎下载注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1) 再根据定义判定; (2)有时判定f(- x)=f(x) 比较困难， 可考虑根据是否有f(- x)

14、 f(x)=0或 f(x)/f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）. 求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10函数最大（小）值1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间 a ，b 上单调递增，在区间 b ，c 上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b) ；如果函数y=f(x)在区间a ，b 上单调递减，在区间b ， c 上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值f(b) ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页