2022年直角三角形知识点及复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 直角三角形学问点一、直角三角形的性质1、Rt 的两个锐角互余（A+B=90 ）2、斜边上的中线等于斜边的一半（如 D 为斜边 AB 的中点,就 CD 1 2AB ）13、30 角所对直角边等于斜边的一半（如A 30 , C=90 , CB= 2AB ）2 2 24、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（如C=90 ,就 a b c ）二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的 是直角三角形；2、假如一个三角形中,一条边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角为903、勾股定理的逆定理：假如三角形三边满意a22 b2 c ,就 C90 ；用

2、法：（1）选出最大边； （2）运算较小两边的平方和； （3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）假如两者相等,就最大边所对的角为直角；三、常用几个结论：3x3002xx02xx（1）45x（2）直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边；公式为h cabc（3）常见的勾股数：（3k,4k,5k）（5k,12k,13k）（ 7k,24k,25k）（8k,15k,17k）（9k,40k,41k）（4）在求曲面上的最短距离时,先把曲面绽开成平面图形,画出起点到终点的线段,就是最短距离,一般需要用到勾股定理；（ 1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行,最短距离例 1 如图 1 有一个圆柱 ,它的高等于 12cm

3、 ,底面周长为 10cm,在圆柱的下底面 A 点上有一只蚂蚁, 他想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物, 需要爬行的最短路程是多少 . 半周长图 1 图 2 AC,就 AC 即为小分析：可以把圆柱的侧面绽开,其绽开图为矩形,如图3 所示；连接虫爬行的最短路线,可用勾股定理求得其长；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如沿着曲面走,就：AB=1 2 10=5,BC=12 ,所以 AC=5212213如走折线 A=D=C ,就 AC+DC=12+ 10 12+ 10 13 最短路程为13cm；l1r2h2,走

4、折线l22rh ,只需比较这两者的大小即可；一般情形：走曲面变式 1 如图 2,已知圆柱体底面圆的半径为2 ,高为 2,AB 、CD 分别是两底面的直径；如一只小虫从A 点动身,始终沿侧面爬行到C 点,就小虫爬行的最短路线的长度是1cm_；（结果保留根式）22变式 2 如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底的点 S 处有一蜘蛛, 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 试求蜘蛛捕捉苍蝇充饥所走的最短路线的长度；1cm 的点 F 处有一苍蝇,解：如下图所示,把圆柱的半侧面绽开成矩形,点 S,F 各自所在的母线为矩形的一组对边,上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边

5、；该矩形上的线段 SF 即为所求的最短路线；过点 S 作点 F 所在母线的垂线,得到 Rt SEF；2 2SF 30 18 1 1 34 cm ；（2）蚂蚁沿着长方体表面爬行,最短距离名师归纳总结 例 2 如图, 长方体的长为15,宽为 10,高为 20,一只蚂蚁假如沿着长方体的表面从点A第 2 页,共 8 页爬到点C ,需要爬行的最短距离是多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D 1C 1D 1C 1P 3A 1DB 1CA 1aP 2B 1bcABADP 1CB分析：假设长方体的长宽高为a、 、 ,就可能有三条路径：l 1=AP C 1 1ab2

6、c2,l2=AP C 2 1a2bc 2l3=AP C 31ac2b2然后比较三者大小；变式 1：如图,长方体的长为15,宽为 10,高为 20,点 B 到点 C 的距离是 5,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是多少？（课本P29,12）BCA变式 2：一只蚂蚁欲爬一棵3 米高的树, 树的直径为1 米,如蚂蚁围着树爬了三圈到达树顶,（1）求蚂蚁爬行的最短距离；（2）如爬 n 圈到达树顶呢？解析因树为圆柱形,蚂蚁在树的表面上爬行,所以此题应当先分析蚂蚁的爬行路线,将圆柱形绽开,所以蚂蚁的爬行路线如图二所示：ACDB 且 AC=CD=BD ,从图名师归纳总结 -

7、- - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中可以知道, AM 为圆柱的底面圆的周长,CM 的长为 1,AC=,所以蚂蚁行走的最短距离为322 3；或者用下图（n 圈类推）,AB=AC22 BC3 321BA C变式 4：一个台阶如图, 阶梯每一层高20cm,宽 40cm,长 50cm,一只蚂蚁从A 点爬到 B点,最短的路程是多少？2020504040BAB解答：根据直棱柱的表面绽开图学问,最短距离为现了502204020402130cm但在我们作业中却出AB50404022020250405（cm）A一、温故知新1.勾股定理复习学习路线图A勾

8、股定理：bcB勾股定理的逆定理：二、示例已知两边求第三边Ca类型一例 1在直角三角形中,如两边长分别为1cm,2cm ,就第三边长为_类型二构造 Rt ,求线段的长例 2如图,将一个边长分别为4、8 的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与 A 点重合,求EB 的长AFDAEDACPBECBCB例 3如图,P 为边长为 2 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点, E 为 AD 边中点,求 EP+DP最小值；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、

9、2dm,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是 _dm. 类型三 判别一个三角形是否是直角三角形1例 5、如图,正方形ABCD 中, F 为 DC 的中点, E 为 BC 上一点,且CE=4 BC 你能说明AFE 是直角吗？A DFB E C类型四 实际运用例 6、由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭；近日,A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处,以每时 12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图） ,距沙尘暴中心 150km 的范畴为受影响区域；A 城

10、是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？如 北A 城受到这次沙尘暴的影响,那么遭受影响的时间有多长？西BA东类型五、拼图例 6、在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如下列图 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S 、S 、S 、S ,就 S 1 S 2 S 3 S _S11S22S33S4l练习：1、已知直角三角形的两边长为 3、2,就另一条边长是 _2、如图 4 为某楼梯 ,测得楼梯的长为 5 米,高 3 米,方案在楼梯表面铺地毯 ,地毯的长度至少需要多少米 . B3 米5 米A3、一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为 外面至少要露出 4.6 ,问

11、吸管要做多长？2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高 4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A 点爬到 B 点,就最少要爬行 cm 5、在直角 ABC 中,斜边长为 2,周长为 2+ 6 ,求 ABC 的面积6、 如图,一根旗杆在离地面 9 米处断裂,旗杆顶部落立离旗杆底部 12 米处,旗杆折断之前有多高？9米12米7、 在下图中, BC 长为 3 厘米, AB 长为 4 厘米, AF 为 12 厘米,求正方形CDEF 的面积；FEA8、 一架云梯长

12、BCD7 米,25 米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端离墙（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）假如梯子的顶端下滑了4 米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 米吗？9、小明想测量学校旗杆的高度,他采纳如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些,让它垂到地面仍多1 米,然后将绳子下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部5 米,你能帮它运算一下旗杆的高度10、点 A 是一个为半径 300m 的圆形森林公园的中心,在森林公园邻近有 B、C 两个村庄,在 BC 两个村庄之间修一条长 1000m 的笔直大路将两村连通,经测量得ABC=45,ACB=30,问次大路是否会穿过该森林公园？请通过运算进行说

13、明；AAB C11、如图,在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线,其中,AB AC ；B D CBC=6, AD 4,AB 5,求证：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、如图,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、S 、S 表示,就不难证明 S 1 S 2 S . 1 如图,分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用 1S 、S 、S 表示,那么 1S 、S 、S 之间有什么关系？不必证明 2 如图,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,

14、其面积分别用 S 、S 、S 表示,请你确定S 、S 、S 之间的关系并加以证明；3 如分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用 1S 、S 、S 表示,请你猜想 S 、S 、S 之间的关系 . 用勾股定懂得题应留意的几个问题一、留意分清直角边和斜边1、在 Rt ABC中, a=8 , b=10 ,B90,求第三边长c二、留意定理的应用条件2 、已知 ABC中,三边长a、b、c 为整数,其中a=3 , b=4 ,求第三边c 的长三、留意定理和逆定理的区分（语言的表达）3、判定以下三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、 c=5四、留意分类争论4、在 Rt V AB

15、C 中,已知两边长为 3、4,（ 1）求第三边的长 （2）求斜边上的高；5、已知在ABC 中, AB=4 , AC=3,BC 边上的高等于 2.4,求 ABC 的周长6、已知在 Rt ABC 中,两直角边的长为20 和 15,BAC90,CD 为 斜 边 上 的高,求 BD 的长练习 1 1、在 ABC 中, B=90,a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边,如 a=3,b=4,求 c 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、在 ABC 中, AB=5,AC=10,BC 边上的高 AD=4,求 BC 的长3、一个三角形的三边的长分别是a3,b5,c2问这个三角形是直角三角形吗？224、已知 ABC 的三边的长分别是BC=41 ,AC=40 , AB=9 试说明 ABC 是直角三角形小华是这样解的：由于BC=41 ,AC=40 , AB=9 ,所以BC2AC2AB2,所以 C=90 ,所以 ABC 是直角三角形小华的解题是否有错误,假如有错,错误的缘由是什么？5、以下长度的各组线段构成勾股数的是（）名师归纳总结 0.07, 0.24, 0.25 6,8,10 7,8,10 3,54 1 5第 8 页,共 8 页小丽挑选了 , ,.她的挑选正确吗.为什么 . - - - - - - -