2022年直线参数方程的几何意义.docx

《2022年直线参数方程的几何意义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年直线参数方程的几何意义.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载一、参数方程及参数等的几何意义如倾斜角为 的直线过点 M x 0,y 0 , t 为参数,就该直线的参数方程可写为x x 0 t cos,t 为参数y y 0 t sin如直线过点 M ,直线与圆锥曲线交于两点 P、Q ,就|MP|、 |MQ| 的几何意义就是：| MP | | t 1 |,MQ | | t 2 |；|MP|+|MQ| 的几何意义就是：| MP | | MQ | t| 1 | t| 2 |；|MP|MQ| 的几何意义就是：| MP | | MQ | | t 1t 2 |；2|PQ|的几何意义就是：| PQ |

2、| t 1 t 2 |,即 | PQ | | t 1 t 2 | t 1 t 2 4 t 1 t 2 . 例 1：已知直线 l ：x y 1 0 与抛物线 y x 2交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点M,12到A,B两点的距离之积；,所以它的参数方程是（1）如何写出直线l 的参数方程解：由于直线l 过定点 M ,且 l 的倾斜角为34x1ttcos3,（ t 为参数）,即x12t,（ t 为参数）42y2sin3 4y22 2t（2）如何求出交点A ,B 所对应的参数t ,t2？0,把代入抛物线的方程,得t22t2t1t22,t1 t22（3）|AB 、MA|MB|与t ,t2有什么关

3、系？由参数方程的几何意义可得：名师归纳总结 |AB|t 1t2| t1|t22|4 t 1t210第 1 页,共 4 页|MA|MB|=t 1t2|22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二、求弦的中点坐标如过点 M x ,y 0 、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于 A、B 两点,就弦的中点坐 x 1 x 2 x 0 t 1 cos x 0 t 2 cos x标公式为：2 2y y 1 y 2 y 0 t 1 sin y 0 t 2 sin 2 2x x 1 x 2 x 0 p 1 t 1 x 0 p 1 t 2 x 0 p 1 t

4、 1 t 2 或 2 2 2,p ,p 2 为常数,均不为零y y 1 y 2 y 0 p 2 t 1 y 0 p 2 t 2 y 0 p 2 t 1 t 2 2 2 2其中 中点 M 的相应参数为 t,而 t t 1 t 2,所以中点坐标也为：x x 0 p 1 t 2 y y 0 p 2 t如过点 M x ,y 0 、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于 A、 B 两点,且 M 恰为弦AB 中点,就中点 M 的相应参数：t t 1 t 2=0 2x 0 x 0 p 1 t（由于,而 p,p 2 均不为 0,所以 t=0）y 0 y 0 p 2 tx 1 3 t例 2：直线 l 5,t 为参

5、数 与双曲线 y 2 2x 2 1 相交于 A 、B 两点,求弦 ABy 2 4 t5中点 M 的坐标；名师归纳总结 解：把x13t直接代入y22t1x21中,可得：第 2 页,共 4 页5,t 为参数y24 5tt230 7,0,就4t213t21,即7 t230t5055-13130 719 716, 所以 M 的横坐标为：527点 M 的纵坐标为：24130212252777（注：这部分内容在演草纸上显示即可）所以中点 M 的坐标为162,77- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三应用部分2 2例 3：经过点 M2,1 作直线 l

6、,交椭圆 x y 1 于 A,B 两点,假如点 M 恰好为线段 AB16 4的中点,求直 l 的方程；解：设经过点 M2,1 的直线 l 的参数方程为：x 2 t cos, t 为参数 代入椭圆方程,整理得：y 1 t sin ,2 2 3 sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0由 t 的几何意义可知 | MA | | t 1 |,| M B | | t 2 |,由于点 M 在椭圆内, 这个方程必有两个实根,所以 t 1 t 2 4 cos2 2 sin . 3 sin 1由于点 M 为线段 AB 的中点,所以 t 1 t 2 0,即 cos 2 sin 02于是直线 l 的斜率为

7、 k tan 1,2因此,直线 l 的方程是 y 1 x 2 1,即 x 2 y 4 0 . 2例 4：已知经过点 P2,0,斜率为 4 的直线和抛物线 y 2 2 x 相交于 A, B 两点,设线段3AB 的中点为 M ,求点 M 的坐标 . 名师归纳总结 t解：设过点P2,0的直线 AB 的倾斜角为,由已知可得：cosM3,sin4. 第 3 页,共 4 页55所以,直线的参数方程为x23t,5y4 t 为参数的 相 应 参 数 为t,5代 入 抛 物 线y22x, 整 理 得 ：8 t21 55 00, 中 点t 12t215,所以点 M 的坐标是41,316164- - - - - -

8、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5：已知直线精品资料x2欢迎下载AB 的长和点 M-1,2l：x+y-1=0 与抛物线y交于 A ,B 两点,求线段到 A 、B 两点的距离之积 . 解法一 ：解：由xy210可得：x2x10（*）310y 223255,就252yx由韦达定理可得：x 1x21,x 1x2-125|AB|1k2x 1x 224 x 1x 2由* 解得x 1125,x 2-1-5y 125,2记直线与抛物线的交点坐标为A125,325,B15,32|MA|MB|1125223252112522335353535 42解法二 ：名师归纳总结 解：由于直线l 过定点 M ,且 l 的倾斜角为3,所以它的参数方程是2第 4 页,共 4 页4x1ttcos3,（ t 为参数）,即x12t,（ t 为参数）42y2sin3 4y22 2t把代入抛物线的方程,得t22 t20,t1t22,t1 t2|AB|t 1t2| t 1t 22 4 tt210|MA|MB|=|t 1t2|2|2. - - - - - - -