2022年知识点总结因式分解3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解；因式分解的方法多种多样,如下：1、 提公因式法假如一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式；例题：（1）2x 2yxy （2）6a 2b 39ab 2（3）x（ab） y（ba）（5）abb 2acbc （7）axax1 （4）axaybxby（6）axax 2bbx （8）m（x2） n（2x）x2 （9）（ma）23x（ma）（ xy）（am）（10）7an121 an7an1（11）a 3a 2ba 2

2、cabc 13 先化简再求值（12）2ax3am10bx15bm （2x1）2（3x2）（ 2x1）（3x2）2x（2x1）（23x）（其中,x3）22、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,假如把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因 式；平方差公式a2b23ab ab a2完全平方公式a22 abb2ab 2立方和、立方差公式a3 baabb2b 补充：欧拉公式：名师归纳总结 a3b3c33 abcabc a2b2c2abbcca 2 第 1 页,共 8 页特殊地：（1）当 ab1abc ab2bc 2ca2b3c33 abcc0 时,有 a3三项和的平方abc2a

3、2b2c22 ac2ab2bc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题1. 把 a22ab22b分解因式的结果是（）2abbcac0 ,试判定ABC 的形2b2B. ab abA. abaC. ab ab2D. a22 b b22 aa2b2c22：已知 a、 、c是ABC 的三条边,且满意状；3. 已知： a1m1,b1mc2,c1m3,222求 a22 abb22acc22bc的值；4. 已知 abc0,a33 b30,求证： a5b5c5029,求 x2y2 的值；5. 如 x3y327,x2xyy6. 分解因式：（1） a223 a1 2y 3x

4、5（2） xx2yx22yx （3） a2xy 22 a xy47. 已知： x13 ,求 x41的值；a2b2c22 bc0xx48. 如 a, ,c是三角形的三条边,求证：名师归纳总结 9. 已知：2c10 ,求2001 的值；10,a3cb33 c3 abc,试求第 2 页,共 8 页10. 已知 a, ,是不全相等的实数,且abcc 的值；（2） a11b1 a11 b的值；（1） abbcca- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式 a,把它后两项分

5、成一组,并提出公因式 b,从而得到 am+n+bm+n, 又可以提出公因式 m+n ,从而得到 a+bm+n 例题1. 把多项式 2a a2a1 a4a21分解因式,所得的结果为（z3）z A,试求 AA. 2 aa1 2B . a2a1 2 xy xC.a2a1 2D.a2a1 22. 分解因式x5x4x3x2x13求方程 xyxy 的整数解4.分解因式： 1m2n22 mn_；5分解因式： x2y2xy_ 6. 分解因式：x33 x24x12_ 7. 分解因式： m2n21 4mnn218. 已知：a2b21,c2d21,且acbd0,求 ab+cd的值；9. 分解因式： x32x311.

6、 已知：abc0,求a32 a cabc2 b cb3的值；12. 分解因式：a5a113. 已知： x2y2z20, 是一个关于x y z 的一次多项式,且x3y3的表达式；14. 证明：ab2ab ab2 1ab 2a1 2b1 24、 十字相乘法利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用ax bcxd竖式乘法法就它的一般规律是：对于二次项系数为1 的二次三项式x2pxq,假如能把常数项q 分解成两个因数a,b 的积,并且ab 为一次项系数p,那么它就可以运用公式：b 2 x abxabxax例题名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - -

7、- - - 1. 把以下各式分解因式：（1）x410x29；y 22 xy ；x2ax4,求 a 值和这个多项式的其他因式5 x（2）7 xy 3（3）已知x46x2x12有一个因式是23 aby10y2（4） 分解因式：5 a2b 22把以下各式分解因式：（1）x447x226；216y4；（2）x465 x2b36；b4（3）y2（4）86 b4 x65 xa67a33（5）6 a45 a34 a；（6）4a37a4b29a23把以下各式分解因式：（1） x 23 24 x 2；（2）x 2 x 2 29；2 2 2 2（3） 3 x 2 x 1 2 x 3 x 3 ；2 2 2（4） x

8、 x 17 x x 60；3 24已知 2 x 7 x 19 x 60 有因式 2x5,把它分解因式3 35已知 xy2,xya4,x y 26,求 a 的值5、拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,使得便于用分组分解法进行分解因式；例题名师归纳总结 1.（1）3 x9x226x245 bc16a（2）a33 a23 a2P 最小时a,b的值第 4 页,共 8 页2.、 1 6 x44 x9x2362 3 a37 a243、a22 b23 c23 ab4ac4、（1）a32a212a15b2（2）、4x33115 xa28ab175、求多项式P24b2

9、059的最小值,并求6：5 a2 b223 aby10y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、分解因式 bcb+c+cac-a-aba+b 6、配方法 步骤： 1 提：提出二次项系数；2 配：配成完全平方；3 化：化成平方差；4 分解：运用平方差分解因式；配方法是一种 “通法 ”,就是说只要是能分解的二次三项式,都能用配方法来分解；例题1、x24x5 x）2；2 y + y25（ y - ）242、方程x28x0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是3、配方法解方程xx两边应同时加上；4、解以下方程（1）、4x2+4x-1=0 （2）、x225 x5

10、0（3）、3x2-2x-4=0 2 a 、b是常数 （4）、x2-2ax=b2-a5：无论 x 为何实数,代数式x24x4 .5的值恒大于零；你同意这种说法吗？说出你的理由；7、 换元法 将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,用一个新字母替代它,从而简化运算过程,分解后要留意将新字母仍原；有时在分解因式时,可以挑选多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最终再转换回来；例题1、x2xxyy2x2xy22 y124 y2、x4 1x4 32723、6x12 x13 x1 x1x24、x42 x2 14 xx235、x2xyy2242 xy xy216、x24x822 3

11、x x4x822 x（20008、22006）（ 200023997 *20017、223 x2 122x233x1997*1999*2002*20038、 主元法 主元法：在解多变元问题时,挑选其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原 式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,就能排除字母间的干扰,简化问题 的结构； 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解；例题名师归纳总结 1：2 x y2 y z2 z x2 x z2 y x2 z y2xyz第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2：

12、（1）a 2 b c b 2 c a c 2 a b （2）x 2y 23 x y 23：（1）x 2xy 2 y 2x 7 y 6（2）x 2xy 6 y 2x 13 y 64：x 32 a 1 x 2 a 22 a 1 x a 215：对方程 a b 2 2a 2b 22004,求出至少一组整数解 ；6：已知在 ABC 中,a 216 b 2c 26 ab 10 bc 0（a、b、c 是三角形三边的长） ,求证：a c 2 b；7、分解因式 a b-c+b c-a+c a-b9、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式；然后依据恒等式的性质得出系数应满

13、意的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满意的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法；本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用；同学们要认真体会解题的技巧；这一部分中, 通过一系列题目的因式分解过程,法,步骤,技巧等；例题1、 分解因式2、分解因式同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方3、 在关于 x 的二次三项式中,当时,其值为0；当时,其值为0；当时,其值为10,求这个二次三项式；4、 已知多项式的系数都是整数；如是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积；5、 已知能被整除,求证：6、如 a 是自然数,且的值是一个质数,求这个质数；7

14、、分解因式时其值为 -3 ,当_. n=_. 8、如多项式能被整除,就9、二次三项式当时其值为 2,当时其值为 5 ,这个二次三项式是 _. 名师归纳总结 10、 m, n 是什么数时,多项式能被整除？第 6 页,共 8 页11、多项式能分解为两个一次因式的积,就k=_. 12、如多项式能被整除,就_. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 13、如多项式当2 时的值均为0,就当 x=_时,多项式的值也是0；第 7 页,共 8 页14、求证：不能分解为两个一次因式的积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页