2022年空间解析几何与向量代数教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 空间解析几何与向量代数教学目的：1、懂得空间直角坐标系,懂得向量的概念及其表示；2、把握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）的条件；,把握两个向量垂直和平行3、懂得单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,娴熟把握用坐标表达式进 行向量运算的方法；4、把握平面方程和直线方程及其求法；5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相 互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；6、点到直线以及点到平面的距离；7、懂得曲面方程的概念,明白常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴 的旋转曲面及母线平行于

2、坐标轴的柱面方程；8、明白空间曲线的参数方程和一般方程；9、明白空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程；教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程；教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；名师归纳总结 - - - -

3、 - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量 在争论力学、物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既有大小又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段 称为有向线段 来表示向量 有向线段的长度表示向量的大 小 有向线段的方向表示向量的方向 .向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB 向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向

4、所以在数学上我们只争论与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 假如向量 a 和 b的大小相等 且方向相同 就说向量 a 和 b是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模 向量的大小叫做向量的模向量 a、 a 、 AB 的模分别记为 |a|、|a 、|AB|单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量零向量 模等于 0 的向量叫做零向量记作 0 或 0 零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量假如它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量 a与 b 平行 记作 a / b 零向量认为是与任何向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点

5、时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此两向量平行又称两向量共线类似仍有共面的概念 设有 kk 3个向量 当把它们的起点放在同一点时 假如 k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 c a+b . 三角形法就上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法就平行四边形法就名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - -

6、 当向量 a 与 b不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一平行四边 形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 a bAacBbCAbDacBC向量的加法的运算规律1交换律 a b b a 2结合律 a b c a b c 由于向量的加法符合交换律与结合律 故 n 个向量 a1 a2 ann 3相加可写成a1 a2 an 并按向量相加的三角形法就 可得 n 个向量相加的法就如下 使前一向量的终点作为 次一向量的起点 相继作向量 a1 a2 an 再以第一向量的起点为起点 最终一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和负向量设 a 为一向量 与 a

7、的模相同而方向相反的向量叫做向量的减法我们规定两个向量 b 与 a 的差为b a b a即把向量 a 加到向量 b 上 便得 b 与 a 的差 b a特殊地 当 b a 时 有a a a a 0a 的负向量 记为 abaabbaba明显 任给向量 AB 及点 O 有ABAOOBOBO A因此 如把向量 a 与 b 移到同一起点 O 就从 a 的终点 A 向 b的终点 B 所引向量 AB 便是向量 b 与 a 的差 b a三角不等式名师归纳总结 由三角形两边之和大于第三边的原理有第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |a b| |a|

8、 |b|及|a b| |a| |b|其中等号在 b与 a 同向或反向时成立2向量与数的乘法向量与数的乘法的定义a 规定 a 是一个向量 它的模 | a| | |a| 它的方向当0向量 a 与实数的乘积记作时与 a 相同 当 0 时与 a 相反当 0 时 | a| 0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的特殊地 当 1 时 有1a a 1a a运算规律1结合律 a a a；2安排律 a a a；a b a b例 1 在平行四边形 ABCD 中 设 AB aAD b试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD 其中 M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线相互平

9、分所以AbDaMBCa bAC2AM即 a b2MA于是MA1 2a b由于MCMA所以MC1a b2又因 a bBD2MD所以MD1b a2由于MBMD所以MB1 2a b向量的单位化设 a 0 就向量a 是与 a 同方向的单位向量 |a |记为 ea于是 a |a|ea向量的单位化名师归纳总结 设 a 0 就向量|a a 是与 a 同方向的单位向量 |记为 ea第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 a | a | ea 定理 1 设向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯独的实数使 ba证明 条件的

10、充分性是明显的下面证明条件的必要性设 b / a 取|b|当 b 与 a 同向时 取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba 这是因|a|为此时 b 与 a 同向 且| a| | |a|b | a |a| b|a 两式相减 便得|再证明数的唯独性 设 ba 又设 ba 0 即|a| 0因|a| 0 故| 0 即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点 O 及单位向量 i 确定了数轴 Ox对于轴上任一点P 对应一个向量OP 由 OP /i 依据定理1 必有唯独的实数x 使OP xi实数 x 叫做轴上有向线段点 P向量 OP xi实数 xOP 的值 并知 OP 与实数 x 一一对应 于是从

11、而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的坐标由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是OP xi三、空间直角坐标系在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i、j、k 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂直的数轴 依次记为 x 轴横轴、y 轴纵轴 、z 轴竖轴 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为 Oxyz坐标系注: 1通常三个数轴应具有相同的长度单位2通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 3数轴的的正向通常符合右手规章 坐标面而 z 轴就是铅垂线在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y

12、轴所确定的坐标面叫做 卦限xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 它位于 xOy 面的上方 在 xOy 面的上方 按逆时针方向排列着其次卦限、 第三名师归纳总结 卦限和第四卦限 在 xOy面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向仍排第 5 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III 、IV 、V、VI 、VII 、VIII 表示 向量的坐标分解式任给向量 r 对应有点 M 使OMr以

13、 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有rOMOPPNNMOPOQOR设OPixOQjyORz k就rOMx iy jz k上式称为向量 r 的坐标分解式 xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量明显 给定向量 r 就确定了点 M 及OPixOQjyORz k三个分向量 进而确定了 x、y、z 三个有序数 反之 给定三个有序数x、y、z 也就确定了向量 r 与点 M 于是点 M、向量 r 与三个有序 x、y、z 之间有一一对应的关系MrOMx iy jz kx ,y ,z 据此 定义 有序数 x、y、z 称为向量 r在坐标系 Oxyz中的坐标 记作 r x y z 有序数x、

14、y、z 也称为点 M在坐标系 Oxyz的坐标 记为 Mx y z向量rOM称为点 M 关于原点 O 的向径 上述定义说明 一个点与该点的向径有相同的坐标 记号 x y z既表示点 M 又表示向量 OM . 坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有肯定的特点例如 点 M 在 yOz 面上 就 x 0 同相 在 zOx面上的点 y 0 在 xOy 面上的点 z 0 假如点 M 在 x 轴上 就 y z 0 同样在 y 轴上,有 z x 0 在 z 轴上的点 有 x y 0 假如点 M 为原点 就 x y z 0. 四、利用坐标作向量的线性运算设 a ax ay az b bx by bz 即 a axi

15、ayj azk b bxi byj bzk 就 a b axi ayj azk bxi byj bzk ax bxi ay byj az bzk ax bx ay by az bz a b axi ayj azk bxi byj bzk ax bxi ay byj az bzk ax bx ay by az bz名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - a axi ayj azk axi ayj azk axayazba利用向量的坐标判定两个向量的平行设 a ax ay az 0 b bx by bz 向量 b/a即 b/

16、abx by bzax ay az 于是b xb yb za xayaz例 2 求解以向量为未知元的线性方程组5x3ya3x2yb其中 a 2 1 2 b 1 12. 解犹如解二元一次线性方程组可得x 2a 3b y 3a 5b名师归纳总结 以 a、b 的坐标表示式代入即得x 2x ,y 2y ,z 2z 依题意有第 7 页,共 20 页x 22 1 2 3 1 12 71 10y 32 1 2 5 1 12 112 16例 3 已知两点 Ax1 y1 z1和 Bx2 y2 z2以及实数1在直线 AB 上求一点 M 使AMMB解由于AMOMOAMBOBOM因此OMOA OBOM从而OM11 O

17、AOBx 1x 2,x 1x 2,x 1x 2111这就是点 M 的坐标另解设所求点为M x y z 就AMxx 1 ,yy 1 ,zz 1MBAMMB即x x1 y y1 z z1x2 x y2 y z2 zx y z x1 y1 z1x2 y2 z2x y zx ,y ,z 11x 1x 2,y 1y 2,z 1z 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx 1x 2yy 1y 2zz 1z 2111x点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点 当1 点 M 的有向线段 AB 的中点 其坐标为x 12x2yy 12y 2zz 12z 2五、向量的模、方向

18、角、投影 1向量的模与两点间的距离公式设向量 r x y z 作OMr就rOMOPOQOR按勾股定理可得|r|OM|OP| 2|OQ|2|OR| 2设OPixOQjyORz k有|OP| |x| |OQ| |y| |OR| |z|于是得向量模的坐标表示式|r|x2y2z2设有点 Ax1 y1 z1、Bx2 y2 z2 就ABOBOAx2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1于是点 A 与点 B 间的距离为名师归纳总结 |AB|AB|x 2x 1 2y 2y 12z 2z 12第 8 页,共 20 页例 4 求证以 M 14 3 1、M2 7 1 2、M3 5 2 3

19、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解由于| M1M2| 2 7 4 2 1 3 2 2 1 2 14| M2M3| 2 5 7 2 2 1 2 3 2 2 6| M1M3| 2 5 4 2 2 3 2 3 1 2 6所以 |M2 M3| |M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形例 5 在 z 轴上求与两点 A 4 1 7和 B3 5 2等距离的点解设所求的点为 M0 0 z 依题意有 |MA| 2 |MB| 2即 0 4 2 0 1 2 z 7 2 3 0 2 5 0 2 2 z 2解之得z14所以 所求的点为M 0 ,0 ,1499- - - - - - -精选学习资料 - - -

20、 - - - - - - 例 6 已知两点 A4 0 5和 B7 1 3 求与 AB 方向相同的单位向量 e解由于AB 7 ,13 ,40 ,5 3 ,12|AB|321 22 2142 AB1 14 ,3所以e,1|AB|2方向角与方向余弦当把两个非零向量 a 与 b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 的夹角称为向量 a 与 b 的夹角 记作 a , 或 b , 假如向量 a 与 b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0 与 之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角非零向量 r 与三条坐标轴的夹角 向量的方向余弦 设 r x y z 就 x |r|cos y

21、 |r|cos z |r|cos、 、 称为向量 r 的方向角cos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦名师归纳总结 cos|x|cos|ycos|z第 9 页,共 20 页rr|r|从而cos,cos,cos|1rrer |上式说明 以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与2 2 2cos cos cos1r 同方向的单位向量er 因此例 3 设已知两点A 2 ,2 ,2和 B1, 3, 0 运算向量 AB 的模、方向余弦和方向角解AB 12 ,32 ,02,1,12|AB|121 2222cos1cos1cos2222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

22、 - - - 233343向量在轴上的投影设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴任给向量 r 作 OM r 再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M 点 M 叫作点 M在 u 轴上的投影 就向量 O M 称为向量 r 在 u 轴上的分向量 设 O M e 就数 称为向量 r 在 u 轴上的投影 记作 Prjur 或ru按此定义 向量 a 在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax ay az 就是 a 在三条坐标轴上的投影即ax Prjxa ay Prjya az Prjza投影的性质性质 1 au |a|cos 即 Prjua |a|cos 其中 为向量与 u 轴的夹角性质 2 a b

23、u au bu 即 Prjua b Prjua Prjub性质 3 au au 即 Prju a Prjua7 2 数量积向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景 : 设一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M1 移动到点 M2 以 s表示位移M1M2由物理学知道力 F 所作的功为的其中 为 F 与 s 的夹角W |F| |s| cos数量积 对于两个向量 a 和 b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角余弦的乘积称为向量a 和 b 的数量积记作 a b 即ab |a| |b| cos数量积与投影 b 当 a 0 时 |b| cosa b 是向量由于 |b| cos|b|cosab 在向量 a

24、 的方向上的投影于是 ab|a| Prjab同理 当 b 0 时 ab |b| Prjba数量积的性质 1 aa 2 |a|2 对于两个非零向量a、b 假如 ab0 就 a b; 反之 假如 a b 就 ab 0假如认为零向量与任何向量都垂直就 a bab 0数量积的运算律名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1交换律 ab ba; 2安排律 a b c a c b c 3 a b a b ab a b ab、 为数 2的证明 安排律 a b c a c b c 的证明 由于当 c 0 时 上式明显成立 当 c 0

25、时 有 a b c |c|Prjca b |c|Prjca Prjcb |c|Prjca |c|Prjcb a c b c例 1 试用向量证明三角形的余弦定理 证 设在 ABC 中 BCA 图 7 24 BC| a CA| b |AB| c要证c 2 a 2 b 2 2 ab cos 记 CB a CA b AB c 就有c a b 从而 |c| 2 c c a ba b a a b b 2a b |a| 2 |b| 2 2|a|b|cosa b 即 c 2 a 2 b 2 2 ab cos 数量积的坐标表示 设 a ax ay az b bx by bz 就 ab axbx ayby azb

26、z 提示 按数量积的运算规律可得ab ax i ay j az k bx i by j bz k axbxi i ax by i j ax bz i kaybxj i ay by j j ay bz jkazbxki az by kj az bz kk axbx ay by az bz 两向量夹角的余弦的坐标表示名师归纳总结 设a b 就当 a 0、b 0 时 有第 11 页,共 20 页cosabax bxaybyaz b z|a| b |a2 xa2 ya2 zb2 xb2 yb z 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 提示 ab |a|b|cos

27、例 2 已知三点 M 1 1 1、A 2 2 1和 B 2 1 2 求 AMB解从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 就 a 1 1 0 b 1 0 1 由于 a b 1 1 1 0 0 1 1|a|1 21 20 222121|b|1 20 21 22所以cosAMBab|a|b |2从而AMB3AMB 就是向量 a 与 b的夹角例 3设液体流过平面S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量 v 设 n 为垂直于 S的单位向量（图 7-25a） 运算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P液体的密度为 A、斜高为 | v |的斜柱

28、体解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为图 7-25b所以这柱体的高为| v 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与 n 的夹角|cos体积为A| v |cos A v n 从而 单位时间内经过这区域流向P Av n 二、两向量的向量积n 所指一方的液体的质量为在争论物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力仍要分析这些力所产生的力矩设 O 为一根杠杆 L 的支点 有一个力 F 作用于这杠杆上P 点处 F 与 OP 的夹角为由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模| M | | OP | F | sin而 M 的方向垂直于 OP 与 F 所打算的平面 M 的指向是的按右手

29、规章从 OP 以不超过 的角转向 F 来确定的名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 向量积 设向量 c是由两个向量 a 与 b 按以下方式定出c 的模 |c| |a|b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角 ; c 的方向垂直于 a 与 b 所打算的平面 c 的指向按右手规章从 a 转向 b 来确定那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 a b 即c a b依据向量积的定义力矩 M 等于 OP 与 F 的向量积即MOPF向量积的性质1 a a 02 对于两个非零向量 a、b 假如 a b假如认为零向量

30、与任何向量都平行 就 a/b数量积的运算律1 交换律 a b b a2 安排律 a b c a c b c0 就 a/b 反之 假如 a/b 就 a b 0 a b 03 a ba ba b 为数 bx i by j bz k 按向量积的运算规律可 bx i by j bz k 数量积的坐标表示设 a ax i ay j az k b得a b ax i ay j az kaxbxi i ax by i j ax bz i kaybxj i ay by j j ay bz j kazbxk i az by k j az bz k k由于 i i j j k k 0 i j k j k i k i

31、 j 所以a b ay bz az by i azbx ax bz j ax by aybx k为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成i j ka b a x a y a z aybzi azbxj axbyk aybxk axbz j azbyi b x b y b z ay bz az by i azbx ax bz j ax by aybx k例 4 设 a 2 1 1 b 1 1 2 运算 a bi j k解 a b 2 1 1 2i j 2k k 4j i i 5j 3k1 1 2例 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A 1 2 3、B 3 4 5、C 2 4 7 求三角形

32、名师归纳总结 ABC 的面积可知三角形 ABC 的面积第 13 页,共 20 页解依据向量积的定义- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S ABC1|AB|AC|sinA1|ABAC|22由于 AB 2 2 2 AC 1 2 4 因此i j kAB AC 2 2 2 4i 6j 2k1 2 4于是 S ABC 1 | 4 i 6 j 2 k | 1 4 2 6 2 2 2 142 2例 6 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转 运算刚体上一点 M 的线速度解刚体绕 l 轴旋转时 我们可以用在 l 轴上的一个向量 表示角速度 它的大小等于角速度的大小 它的方向由

33、右手规章定出 即以右手握住 l 轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一样时 大姆指的指向就是 的方向设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a 再在 l 轴上任取一点 O 作向量 r OM 并以 表示与 r 的夹角 那么a|r| sin、r、v设线速度为 v 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v 的大小为|v| |a| | |r| sin ; v 的方向垂直于通过M 点与 l 轴的平面 即 v 垂直于与 r 又 v 的指向是使符合右手规章因此有vr7 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中任何曲面都可以看作点的几何轨迹在这样的意义下 假如曲面 S与三元方程名师归纳总结 Fx

34、y z 0 第 14 页,共 20 页有下述关系1 曲面 S上任一点的坐标都满意方程Fx y z 02 不在曲面 S上的点的坐标都不满意方程Fx y z 0那么 方程 Fx y z 0 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S就叫做方程 Fx y z 0 的图形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 常见的曲面的方程 例 1 建立球心在点 M0x0 y0 z0、半径为 R 的球面的方程 解设 Mx y z是球面上的任一点 那么|M0M| R即xx 0 2yy 02zz 02R或 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2这就是球面上的点的坐标所满意的方程而不

35、在球面上的点的坐标都不满意这个方程 所以x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2就是球心在点 M0x0 y0 z0、半径为 R 的球面的方程特殊地 球心在原点 O0 0 0、半径为 R 的球面的方程为x 2 y 2 z 2 R 2例 2 设有点 A1 2 3和 B2 1 4 求线段 AB 的垂直平分面的方程解由题意知道 所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的几何轨迹 设 Mx y z为所求平面上的任一点 就有|AM| |BM|即x12y2 2z32 x22y12z4 2等式两边平方 然后化简得2x 6y 2z 7 0这就是所求平面上的点的坐标所满意的方程 而不在此平面上的点的坐标都

36、不满意这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程争论曲面的两个基本问题1 已知一曲面作为点的几何轨迹时建立这曲面的方程2 已知坐标 x、y 和 z 间的一个方程时 争论这方程所表示的曲面的外形例 3 方程 x 2 y 2 z 2 2x 4y 0 表示怎样的曲面？解通过配方 原方程可以改写成x 1 2 y 2 2 z 2 5这是一个球面方程 球心在点 M01 2 0、半径为 R 5一般地 设有三元二次方程Ax 2 Ay 2 Az 2 Dx Ey Fz G 0这个方程的特点是缺 xy yzzx 各项 而且平方项系数相同以化成方程x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2的形式 它的图形就是一个

37、球面二、旋转曲面只要将方程经过配方就可名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yOz坐标面上有一已知曲线C 它的方程为它的方程可以求得如f y z 0 把这曲线绕 z 轴旋转一周 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面下设 Mx y z为曲面上任一点 它是曲线 C 上点 M10 y1 z1绕 z 轴旋转而得到的 因此有如下关系等式fy 1 ,z 1 f0z21z|y 1|x 2y 2从而得xy2,z 0这就是所求旋转曲面的方程在曲线 C 的方程 fy z 0 中将 y 改成x 2y 2便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程fx 2y 2,z 0同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为f y , x 2 z 2 0例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 所得旋转曲面叫做圆锥面 两直线的交点叫做圆锥面的顶点 两直线的夹角 0 叫做圆锥面的半顶角 试建立顶