2022年空间角的求法精品.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载空间角,能比较集中反映空间想象才能的要求,历来为高考命题者垂青,几乎年年必考；空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称；空间角的运算思想主要是 转化 ：即把空间角转化为平面角,把角的运算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解；空间角的求法一般是：一找、二证、三运算；一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范畴：090（一）平移法【例1】已知四边形/ABCD 为直角梯形,AD/BC ,ABC90, PA平面 AC ,且BC2,PAADAB1,求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；【解

2、】过点 C 作CEBD交AD的延长线于E,连结PE,就PC与BD所成的角为PCE或它的补角；CEBD2,且PE2 PAAE210P由余弦定理得c o sPCEPC22CE2PE23BADC3PC CE6PC与 BD 所成角的余弦值为6（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABCA B C 的底面边长为8,侧棱长为 6, D 为 AC 中点；求异面直线AB1与BC 所成角的余弦值；A 1C1【答案】1 25B 1C D A B 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范畴

3、：090方法：射影转化法（关键是作垂线,找射影）名师归纳总结 【例 2】如图,在三棱锥 PABC 中,APB90,PAB60, ABBCCA,点 P 在平面 ABC第 2 页,共 8 页内的射影 O 在 AB 上,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小；P【解】连接 OC ,由已知,OCP为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ,连接PD CD ；ABBCCA,所以 CDABABAPB90 ,PAB60,所以PAD 为等边三角形；不妨设PA2,就OD1, OP3,AB4CD2 3,OCOD2CD213在 Rt OCP中,tanOCPOP339OC1313【变式练习1

4、】如图,四棱锥SABCD中,AB/CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形；ABBC2,CDSD1,求 AB 与平面 SBC所成的角的大小；【解】由 AB平面 SDE 知,平面 ABCD平面 SDE作 SFDE ,垂足为 F ,就 SF平面 ABCD ,SFSDSE3DE2作 FGBC,垂足为G,就FGDC1连结 SG,就 SGBC ,又 BCFG , SGFGG故 BC平面 SFG,平面 SBC平面 SFG作 FHSG, H 为垂足,就 FH平面 SBCFHSFFG21,即 F 到平面 SBC的距离为21SG77由于ED/BC ,所以ED/平面 SBC,故 E 到平面 SBC的距离 d 也为2

5、17设 AB 与平面 SBC所成的角为,就sind21,就arcsin21EB77- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式练习2】如图,在四棱锥P学习必备欢迎下载PD ,BC1,PC2 3,ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, ADPDCD2,求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值；113【解】过点 P 作 PECD 于点 E ,连接 BEA DP DA DD C,就平面 PDC平面 ABCDPE面 ABCD ,就PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角C DP D2 ,P C23P D C1 2 0P E3 ,D E在 Rt BCE中

6、,BEBC2CE210PBBE2PE2在 Rt BPE中,sinPBEPE39PB13三、二面角的求法二面角的范畴：0180；从找平面角的角度动身,有以下几种方法：求二面角的大小,关键在于找出或作出二面角的平面角（一）定义法：在棱上选一恰当的“ 点”（一般是选一个特别的点,如：垂足、中点等）,过这一“ 点” 在两个半平面A 内作棱的垂线,两垂线所成的角即为二面角的平面角；（一般在找出角后,利用三角形求解）【例 3】在三棱锥 PABC 中,APBBPCAPC60,求二面角 APBC 的余弦值；【解】在 PB 上取PQ1,作 MQPB 交 PA 于 M ,P 作 QNPB 交 PC 于 NQ N

7、M cosMQN1B 3C 名师归纳总结 【变式练习】 如图, 点 A在锐二面角MN的棱 MN 上, 在面内引射线 AP ,使 AP 与 MN 所成N角PAM45,与面所成角的大小为30 ,求二面角MN的大小；【解】在射线AP上取一点B,作BH于点 H ,作 HQMN 于 Qs i nB Q H2,就MNPB为 45MQA2H第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）利用三垂线 三垂线定理： 在平面内的一条直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么 它也和这条斜线垂直；逆定理： 假如平面内一条直

8、线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面 内的射影；从半平面内的任一点A动身向另一个半平面引一条直线AH ,过 H 作棱 l 的垂线 HG ,垂足为G ,连 AG ,就由三垂线定理可证lAG , 故AGH 就是二面角l的平面角；三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法,其关键是查找或求作一条垂线,即从第一个半平面 内的某一个点动身,且垂直于另一个半平面；【例 4】如图,在三棱锥 PABC 中,APB90,PAB60, AB1BCCA,点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上,求二面角BAPC 的大小；P【解】过 AB 中点 D 作 DEAP于E,连接CE,CA由

9、已知可得, CD平面 PABB据三垂线定理可知,CEPA就CED 为 BAPC 的平面角易知,如AB1,就DE3,CD2 3在 Rt CDE 中,tanCEDCD2 32DE3BB 1,直线B C 与平面 ABC 成 30【变式练习】在直三棱柱ABCA B C 中,BAC90,AB角,求二面角BB CA 的正弦值；BCC B ,B1A1 C1【解】由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC B ,过 A作 AN平面垂足为 N ,就 AN平面BCC B （ AN 即为我们要找的垂线）Q 名师归纳总结 在平面BCB 内过 N 作 NQ棱B C ,垂足为 Q ,连 QAB N C 就NQA 即为二面角的平

10、面角；A 第 4 页,共 8 页AB 在平面 ABC 内的射影为 AB , CAABCAB A ,又ABBB 11,得AB 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,向量法；直线B C 与平面 ABC 成 30 角B CB30,又B C2,就Rt B AC 中,由勾股定理得ACAQ1,在 Rt BAC 中,AB1,AC2,得AN63sinAQNAN6AQ3即二面角BB CA 的正弦值为63从不直接找出平面角的角度动身,主要有两种方法：面积法（面积射影法）（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上

11、的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ cosS 射 ）求出二面角的大小S；CC 的中点,求平面C A 求证： cosS 射SD E 【例 5】 如图, E 为正方体ABCDA B C D 的棱AB E 和底面A B C D 所成锐角的余弦值；SDD SBB 3C 【答案】所求二面角的余弦值为2 3A E 【变式练习】如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且D1 B1 C1 A1 ；面 ABCD ,AB1,求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；S【答案】 45名师归纳总结 ADBC第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

12、欢迎下载四、真题演练1（山东） 已知三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直,体积为 9 ,底面是边长为 3 的正三角形, 如 P4为底面 A 1 B 1 C 1 的中心,就 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）A . 5 B . C . D .12 3 4 62（大纲）已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中,AA 1 2 AB,就 CD 与平面 BDC 所成角的正弦值等于 （）2 3 2 1A . B . C . D .3 3 3 33（山东） 如下列图,在三棱锥 P ABQ 中, PB 平面 ABQ ,BA BP BQ , D , C , E , F

13、 分别是AQ BQ ,AP BP 的中点,AQ 2 BD, PD 与 EQ 交于点 G , PC 与 FQ 交于点 H ,连接 GH ；（1）证明： AB GH ；（2）求二面角DGHE的余弦值；C 1D1的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1 O平面4（陕西） 如图,四棱柱ABCDA 1B 1ABCD ,ABAA 12；的大小；A1D1CB1C1（1）证明：A1 C平面BB1D1D；（2）求平面OCB 与平面BB1D1D的夹角DO名师归纳总结 AB第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 （ 湖 南 理 ） 如 图 在 直

14、 棱 柱ABCD学习必备D1欢迎下载BC ,BAD900,ACBD,A 1B 1 C1中 , AD BC1,ADAA 13ACD 所成角的正弦值；AC2AA ,BAC120,（1）证明：ACB 1D；（2）求直线B 1C1与平面6（四川理） 如图, 在三棱柱ABCA B C 中,侧棱AA 1底面 ABC ,AB名师归纳总结 - - - - - - -D D 分别是线段BC B C 的中点, P 是线段 AD 的中点（1）在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l平面ADD A ；（2）设（ 1）中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于

15、点 N ,求二面角AA MN 的余弦值CAPDBC1A1D 1B17如图,在四棱锥SABCD 中, ADBC 且 ADCD ；平面 CSD平面 ABCD , CSDS ,CS2AD2； E 为 BS 的中点,CE2,AS3求：（1）点 A到平面 BCS 的距离；（2）二面角 ECDA 的大小；【解】（1）AD/BC,且BC平面 BCSAD/平面 BCS就 A 点到平面 BCS 的距离等于点到平面BCS的距离B平面 CSD平面 ABCD,ADCDEA故 AD平面CSD,从而 ADSD由AD/BC,得BCDSCD又由 CSDS 知 DS平面 BCSS从而 DS 为点 A到平面 BCS 的距离第 7

16、 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - Rt ADS中DS2 AS学习必备3 1欢迎下载AD22名师归纳总结 （2）如图,过 E 作 EGCD ,交 CD 于点 G ,又过 G 点作 GHCD 交 AB 于 H第 8 页,共 8 页故EGH 为二面角 ECDA 的平面角,记为,过 E 作EF/BC ,交 CS 于点 F ,连结 GF平面 ABCD平面 CSD, GHCDCSD易知 GHGF ,故2EGF由于 E 为 BS 边中点,故CF1CS12在 Rt CFE 中,EFCE2CF2211EF平面 CSD,又 EGCD故由三垂线定理的逆定理得FGCD ,从而又可得CGF:因此GF DSCF,而在 Rt CSD 中,CDCS 2SD 2426CD故GFCFDS121CD63在 Rt FEG 中, tanEGFEF3,可得EGF3FG故所求二面角的大小为6- - - - - - -