2022年第一讲--初识反比例函数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第一讲 初识反比例函数一学问精讲篇：1. 例函数：一般地,假如两个变量 x、 y 之间的关系可以表示成 y或（k 为常数, k 0）的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数2. 函例函数的图象k 的符号k0 k0 y y 图像的大致位置第o x 第o x 经过象限象限象限二. 考点精析篇：考点一：反比例函数的定义：例 1以下哪些式子是反比例函数？1）y6； 2 ）y9； 3 ）y21； 4 ）y10x； 5 ）yx；xx3x26）xy3 .5； 7 ）y2；4k25xykk 1 x例 2. 当k为何值时,函数为反比例函数；名师

2、归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式练习如yk3xk2 10精品资料欢迎下载.为反比例函数,就k_考点二：反比例函数的图象例 3 画反比例函数y2 的图像x分析：依据反比例函数图象的画法及步骤进行；变式练习在同一坐标系中,画出y8 和 xy2x的图象,并求出交点坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 矩形面积为精品资料欢迎下载）4,它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（y y y y ）O x O x O x O x A

3、 B C D变式练习已知反比例函数yk的图象经过点P一 l,2,就这个函数的图象位于 （xA其次、三象限B第一、三象限C第三、四象限D其次、四象限考点三：用待定系数法求反比例函数的表达式由于在反比例函数yk中,只有一个待定系数,因此只需要一组对应值,即可求出 kx的值,从而确定其表达式；例 5. 已知变量 y 与 x 成反比例,并且当（1） y 与 x 间的函数关系式； （2）当x3时,y7；求：x6时, y 的值； 3）当y4时, x 的值；变式练习1、已知反比例函数yk的图象经过点P 2, 3 ,就以下各点也在此函数图x名师归纳总结 象上的是（）yC（ 2, 3）D（3, 2）第 3 页,

4、共 48 页A 3, 2 B（3,2）k上求常数k 的值2、 已知点 A1, k2在双曲线x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6. 已知 y 与x1 成反比例,当精品资料y欢迎下载x1时,1 3,求出函数关系式；2例 7 已知yy 1y2,1y 与 x 成正比例 , y 与2 x 成反比例 ,且 x=2 与 x=3 时,y 的值都等于19.求 x=6 时 y 的值 . 变式练习已知yy 1y2,而 y1与x1成反比例,y 2 与 x2 成正比例,并且x1时,y 2 ； x 0时, y 2 ,求 y 与 x 的函数关系式；考点四：反比例函数的简洁应用

5、例 8 （2022 安徽）如图,函数y 1k 1xb的图象与函数y2k 2（x0）的图象交于A、xB 两点,与y 轴交于 C 点,已知 A 点坐标为（ 2, 1）,C 点坐标为（ 0,3）（1）求函数1y 的表达式和B 点的坐标；y 的大小 . y B （2）观看图象,比较当x0时,1y与C A 名师归纳总结 O x 第 4 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载变式练习： 1.已知：如图,在平面直角坐标系O 中,Rt OCD 的一边 OC 在轴上,C=90 ,点 D 在第一象限, OC=3 ,DC=4 ,反比例函数的图象

6、经过 OD 的中点 A（1）求该反比例函数的解析式； （2）如该反比例函数的图象与B 两点的直线的解析式y D A BOCx第16题图Rt OCD 的另一边 DC 交于点 B,求过 A、k2.如下列图,已知点（1,3）在函数 y= x k 0）的图象上,矩形 ABCD的边 BC 在 x 轴上,kE是对角线 BD的中点,函数 y= x k0）的图象经过 A、E两点,点 E 的横座标为 m.（ 1）求 k 的值；（2）求点 C的横坐标（用 m 表示）名师归纳总结 （2）当 ABD=45 时,求m的值第 5 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

7、精品资料 欢迎下载三. 反馈巩固篇：1. 如函数 y m 1 x m 2 m 1 是反比例函数,就 m的值是 . 2假如 y 是 z 的反比例函数,x 是 z 的正比例函数,那么 y 是 x 的（）A正比例函数 ; B反比例函数C既不是正比例函数又不是反比例函数; D 不能确定是什么函数k3. 已知反比例函数 y 的图象经过（ 1, 2）就 kx4如图,函数 y 1 x 1 和函数 y 2 2的图象相交于点 M2,m,N-1 ,n ,如 y 1 y ,就xx 的取值范畴是（）Ax 1 或 0 x 2 Bx 1 或 x 2C1 x 0 或 0 x 2 D 1 x 0 或 x 22、如 图 , 已

8、 知 一 次 函 数 y kx b k 0 的 图 像 与 x 轴 , y 轴 分 别 交 于（,）、（ ,）两点,且又与反比例函数ymm0的图像在第一象限交于C 点,xC 点的横坐标为2. 求一次函数的解析式；名师归纳总结 求 C 点坐标及反比例函数的解析式.第 6 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲精品资料欢迎下载K” 的意义反比例函数性质及“一学问精讲篇：（1）反比例函数性质（1）点与函数的对应性：（2）函数增减性：（3）函数对称性：2. “K ” 的意义 : 代数意义：几何意义：点P 是双曲线yk上任意一点,从P 点向 x

9、 轴和 y 轴引垂线 PA、PB,就xS矩形ABCD=_=_ ；SAPOSBPO=_=_ ；二考点精析篇：名师归纳总结 考点一：反比例函数的性质x2时 ,y_, 当x2时 ,y 的取值范第 7 页,共 48 页例 1. 考察函数y2的图象 , 当x围是 _ _ ;当y1时,x的取值范畴是 _ _ ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载变式练习：1. 以下函数： y x； y 2 x ； y 1； y x 当 2x 0 时, y 随 x 的增大x而减小的函数有（）A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个2. 在反比例函数 y 1 k的图象

10、的每一条曲线上,y 都随 x 的增大而增大,就 k 的值可以x是（）A1 B0 C1 D2 2例 2. 在函数 y a 1（a 为常数）的图象上有三点 ,3 y 1 , ,1 y 2 , 2 , y 3 ,就函数x值 y 1 , y 2 , y 3 的 大小关系是（）A. y 2 y 3 y 1 B. y 3 y 2 y 1C. y 1 y 2 y 3 D. y 3 y 1 y 23变式练习 1. 如 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是双曲线 y 上的两点,且 x 1 x 2 0,就xy 1_y （填 “ ” “ ” “ ” ）y3, 是 函 数y2图 象 上 的 三 点 , 且2.

11、 已 知 点A x 1,y 1,B x 2,y 2,C x 3,xx 10x 2x ,就y 1,y 2,y 的大小关系是考点二：“ K ” 的几何意义 题型一、已知 K 求点的坐标名师归纳总结 例 3.如正方形 OABC的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在函数y1x0的图第 8 页,共 48 页x象上,就点 E 的坐标是（,）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式练习 l.（南通）如图 ,精品资料欢迎下载A 2004A 2005都是等腰直角三POA 1、P A A 2,P A A 3, ,P 2005角形 , 点1P 、P 在函数y4

12、xx0的图象上 , 斜边OA 1,A A 2,A A 3,A 2004A 2005都在x 轴上, 就点A 2005的坐标是 _. yk（x0,常数k0）的图象经过点A , ,2. 如图,在平面直角坐标系中,函数xB m,n,（m1）,过点 B 作y 轴的垂线, 垂足为C如ABC的面积为 2 ,就点 B 的坐标为 _y A1,2 题型二、面积不变性C Bm,n x O 例 4. 如图, P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点过这三点分别作y 轴的垂线, 得到三个三角形名师归纳总结 P A 0、P A 0、P A 0,设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3,就 第 9 页,共 48 页 A S

13、1S2S BS2S 1S3 C S 1S3S DS 1S 2S 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式练习： 如图 , 直线 l 和双曲线精品资料k欢迎下载B亮点 ,P 是线段 AB 上的点yk x0交于 A、（不与 A、B 重合） , 过点 A、 、P 分别向 x 轴作垂线 , 垂足分别是 C、D、E , 连接OA、OB、OP , 设 AOC 面积是 S 1、B OD 面积是 S 2、P OE 面积是 S3就（）A. S 1 S 2 S 3 B. S1 S 2 S 3 C. S1 S 2 S 3 D. S1 S 2 S 3例 5 如 图 , 在 X

14、 轴 的 正 半 轴 上 依 次 截 取 OA 1 A A 2 A A 3 A A 4 A A , 过 点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5分别作X 轴的垂线与反比例函数A P A 4、的图象相交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5,得直角三角形OP A 1、A P A 2、A P A 3、A P A 5,并设其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4、S 5,就S 的值为 _. y y 2 xP1 P2 P3 P4 P5 变式练习O A1 A2 A3 A4 A5 x y1的图象相Y A ：正比例函数 yx 与反比例函数x名师归纳总结 交于 A、C两点 ABx 轴于B CD5y 轴于

15、 D 如图 ,D O B X 第 10 页,共 48 页就四边形 ABCD 的面积为 C A. 1 B.3 C.2 D.22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6 如图,已知双曲线ykk精品资料欢迎下载OAB 斜边 OB 的中点 D ,与直角边0经过直角三角形xAB 相交于点 C 如OBC 的面积为 3 ,就k_变式练习 1. 如图,已知双曲线ykk0经过直角三角形OAB斜边 OA的中点 D,且与直x角边 AB相交于点 C如点 A的坐标为（6 ,4）,就 AOC的面积为（）A12 B9 C6 D4 2如图, ABCD 的顶点 A B 的坐标分别是（

16、,）,（ , ）,顶点 C , D 在双名师归纳总结 曲线yk上,边 AD 交 y 轴于点 E ,且四边形BCDE 的面积是ABE 面积的 5 倍,就第 11 页,共 48 页xk_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解：如图,过 C、D 两点作 x 轴的垂线,垂足为 F、G,DG交 BC于 M点,过 C点作 CHDG,垂足为 H,ABCD是平行四边形,ABC=ADC,BO DG,OBC=GDE,HDC=ABO, CDH ABO（ AAS）,CH=AO=1, DH=OB=2,设 C（m+1,n）,D（m,n+2）,就（ m+1）n=m（

17、n+2）=k,解得 n=2m,就 D的坐标是（ m,2m+2）,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7. 如图, 双曲线y2 xx0精品资料欢迎下载,ABC90,OC 平经过四边形 OABC的顶点 A、C分 OA与x轴正半 轴的夹角, ABx轴,将ABC 沿 AC 翻折后得到AB C,B 点落在 OA上,就四边形 OABC 的面积是. 变式练习如图,双曲线ykk0经过矩形 QABC 的边 BC 的中点 E ,交 AB 于点xD ；如梯形 ODBC 的面积为 3 ,就双曲线的解析式为_. 名师归纳总结 - - -

18、 - - - -第 13 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三 反馈巩固篇：1、一次函数ykxb 与反比例函数ykx 的图象如上图所示,就以下说法正确选项（A. 它们的函数值 y随着x的增大而增大B. 它们的函数值 y 随着 x的增大而减小C. k0名师归纳总结 D.它们的自变量x第 14 页,共 48 页2、已知点 P 是反比例函数ykk0的图像上任一点,过P .点分别作 x 轴, y 轴的平x行线,如两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2,就k的值为（）A 2 B2 C2 D 43、反比例函数ykk0的部分图象如下列图,A、B是图象上两点,AC

19、x 轴于点xC, BDx 轴于点 D ,如AOC 的面积为S ,1BOD 的面积为S ,就S 和 1S 2的大小关系为（）AS 1S 2 B S 1=S 2. C S 1S D 无法确定4、反比例函数yk的图像过点P m n ,其中m n 是一元二次方程x2kx40 的两x个根,那么点P 的坐标是. 5、已知点 P（2,2）在反比例函数ykk0的图象上,x（）当x3时,求 y 的值；（）当 1 3 时,求 y 的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、如图 2,在反比例函数y2（精品资料欢迎下载P 1,P 2,P 3,P 4,它们的横坐标x0）的

20、图象上,有点x依次为 1,2,3,4 分别过这些点作x 轴与 y 轴y 的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1,S 2,S 3,就S 1S 2S 3P1P3P4x P2第三讲O 1 2 （图 2）3 4 直线与双曲线一学问精讲篇：（一）一次函数： 1 、表达式：2、一次函数的图象是,其中必过点（,）,解析式中 b 的几何意义为其图像与 y 轴交点的纵坐标；在以下表格中画出相应图象：ykb0b0b0xk0名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - k0精品资料欢迎下载 3 、增减性：当 k 0 时, y 随

21、x 的增大而,这时函数的图象从左到右； 当 k 0,b 0 时 , 一次函数图象过 _ 象限, 当 k 0 , b 0 时, 一次函数图象过 _ 象限当 k 0 时, y 随 x 的增大而,这时函数的图象从左到右；当k0, b0时, 一次函数图象过_象限,当,时, 一次函数图象过_象限k0b0（二）反比例函数：1、表达式：2、反比例函数的图象是名师归纳总结 ykk0ykk0第 16 页,共 48 页xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3、增减性：（1）当k0时,图象在象限,在每个象限内y 随 x 的增大而,这时在每个象限内函数的图象

22、从左到右；y 随 x 的增大而,这时在（2）当k0时,图象在象限,在每个象限内每个象限内函数的图象从左到右；4、 k 的意义：5、一次函数与反比例函数交点的求法 : 联立解方程二考点精析篇：名师归纳总结 考点一：判定反比例函数和一次函数在同始终角坐标系中的图像x 第 17 页,共 48 页例 1、正比例函数y2 kx与反比例函数ykx1在同一坐标系中的图象不行能是y y y y O x O x O x O A B C D ）变式： 1、如图,函数yk2x1与 yykxk 在同一坐标系内的图象大致是（yyxyOxOxOxOA B C D 2、函数ykxb与ykb在同一坐标系中的图象大致是（）xy

23、yyOxOxOxOxA B C D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、函数ykx3与yk精品资料欢迎下载与的图象可能是（）x A B C D 考点二：反比例函数与一次函数的综合（一）直线的旋转例 2、2022. 河池） 如图, 在平面直角坐标系中,矩形 O E F G的顶点 F的坐标为4 ,2 ,将矩形 O E F G绕点 O 逆时针旋转,使点F 落在 y 轴上,得到矩形 O M N P,OM 与 GF 相交于点 A ；如经过点 A 的反比例函数ykx0的图象交于 EF 点 B ,就点 B 的坐标为；x变式 1、（2022. 甘孜州 如图 , 平面

24、直角坐标系中, OB 在 x 轴上,ABO90,OA2. 将A O B绕点 O 逆时针旋转到ABO, 点 A 的对应点 A 落在 x 轴上 , B 的对应点恰好落在双曲线yk x0 上, 就 kx变式 2、2022. 恩施 如图 ,A O B的顶点 O 在原点 , 点 A 在第一象限 , 点 B 在 x 轴的正半轴名师归纳总结 上, 且AB6,AOB60, 反比例函数ykk0的图象经过点, 将A O B绕点O第 18 页,共 48 页x顺时针旋转 120 , 顶点 B 恰好落在yk的图象上 , 就 kx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下

25、载（二）直线的翻折名师归纳总结 例 3、（2022 湖北荆州, 16,4 分）如图,双曲线y2 x x0经过四边形 OABC的顶点 A 、第 19 页,共 48 页C ,ABC90, OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,AB /x轴, 将ABC 沿 AC 翻折后得ABC, B 点落在 OA 上,就四边形的面积是 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载6,OA4,分别以 OB ,OA变式 1、（2022 年怀化 24,10 分）在矩形 AOBC 中,OB所在直线为 x 轴和 y 轴建立如下列图的平面直角坐标系,F 是边 BC 上的一

26、个动点（不与名师归纳总结 B , C 重合）,过 F 点的反比例函数ykk0的图像与 AC 边交于点 E . 第 20 页,共 48 页x（1）求证：AEAOEFBO；（2）是否存在这样的点F ,使得将CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上？如存在,求出此时的OF 长；如不存在,请说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品资料欢迎下载第 21 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2 、（ 2022 浙 江 金 华 ） 如 图 , 将 一 块 直

27、角 三 角 板 OAB 放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,kB 2 0, , AOC 60,点 A 在第一象限, 过点 A 的双曲线为 y,在 x 轴上取一点 P ,x过点 P 作直线 OA 的垂线 l ,以直线 l 为对称轴,线段 OB 经轴对称变换后的像是 O B . （1）当点 O 与点 A 重合时,点 P 的坐标是 . （2）设 P t , 0 当 O B 与双曲线有交点时,t 的取值范畴是 . 解：（1）当点 O 与点A 重合时,名师归纳总结 AOB=60 ,过点P 作直线 OA的垂线 l ,以直线 l 为对称轴,线段OB经轴对称变换后的第 22 页,共 48 页像是 OB

28、AP=OP ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 AOP 是等边三角形,B（ 2,0）,BO=BP=2,点 P 的坐标是（ 4,0）,名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（三）与多边形的结合名师归纳总结 例：已知： 等腰三角形 OAB 在直角坐标系中的位置如图,点 A 的坐标为333,点 B 的第 24 页,共 48 页坐标为60,. （1）如三角形 OAB 关于y轴的轴对称图形是三角形OAB,请直接写出A 、 B 的对称点A 、 B 的

29、坐标；（2）如将三角形OAB 沿 x 轴向右平移a 个单位,此时点 A 恰好落在反比例函数y6x3的图像上,求a 的值；（3）如三角形 OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转度（090）. 当30 时点 B 恰好落在反比例函数yk的图x像上, 求 k 的值问点 A 、B 能否同时落在中的反比例函数的图像上,如能,求出的值；如不能,请说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载变式：（2022 茂名）阅读下面材料,然后回答疑题：名师归纳总结 在平面直角坐标系中,以任意两点Px 1,y 1,Qx2,y 2为端点的线段的中点坐标为1, ,B,

30、1b第 25 页,共 48 页x 12x2,y12y 2. 如图,在平面直角坐标系xoy中,双曲线y3 x x0 和ykx0的图像关于 y 轴对称,直线y1 x 25与两个图像分别交于Aax2两点,点 C 为线段 AB 的中点,连接OC 、 OB . 1 求a b k 的值及点 C 的坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如在坐标平面上有一点精品资料C、B欢迎下载D,使得以O、D为顶点的四边形是平行四边形,恳求出点 D 的坐标（2）将线段 OC平移,使点O（0,0）移到点 B（1,3）,就点 C（-1 ,2）移到点 D（0,5）,此时四边形 OC

31、DB是平行四边形；将线段 OC平移,使点C（-1 ,2）移到点 B（1,3）,就点 O（0,0）移到点 D（2,1）,此时四边形 OCBD是平行四边形；线段 BO平移,使点 B（1,3）移到点 C（-1 , 2）,就点 O（0,0）移到点 D（-2 ,-1 ）,此时四边形 BODC是平行四边形综上所述,符合条件的点D坐标为（ 0,5）或（ 2,1）或（ -2 ,-1 ）名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三反馈巩固篇：1、在同始终角坐标系中,函数ykxk与ykk0的图象大致是 ）xABCD2、（

32、2022 义乌）如图,矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 、 y 轴的正半轴上,点 D 为对角线 OB 的中点,点 E 4 , n 在边 AB 上,反比例函数 y k k 0 在第一象限内的图像经x过点 D 、 E ,且 OA 2 AB . （1）求边 AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和 n的值；（3）如反比例函数的图像与矩形的边 BC 交于点 F ,将矩形折叠,使点 O 与点 F 重合,折痕分别与 x 、 y 正半轴交于点H 、 G ,求线段 OG 的长 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - -

33、3、（ 2022 天门）如图,一次函数精品资料x欢迎下载y 11 的图像与x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,与反比例函数y 2k的图像的一个交点为M 2,m x（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 B 到直线 OM 的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第四讲 反比例函数中的面积问题一学问精讲篇：名师归纳总结 1. 图象上任意一点,如图过点A 引 x 轴与 y 轴的垂线,垂y A x 第 29 页,共 48 页足分别为 B,C,就有S 矩形ABOCx yk,C O B SABO1xy1k2

34、2（ x 轴2双曲线的一个分支上任意两点与原点围成的三角形的面积等于这两点与坐标轴或 y 轴）作垂线所构成的梯形的面积；如图：SABOS梯形ABEF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3直线与双曲线的交点与原点围成的三角形的面积等于矩形的面积加 |k|减去 S ABC二考点精析篇：考点一：反比例函数与矩形面积例 1. （山东荷泽）如图1,P 是反比例函数ykk0 的图象上一点,过P 点分别向 xx轴、y 轴作垂线, 所得到的图中阴影部分的面积为6,就这个反比例函数的解析式为（）A .y6B. y6C. y3D. y3 xxxx图 1 变式练习 . 如图 2,已知正方形OABC 的面积为9,点 O 为坐标原点,点A 在 x 轴上,点名师归纳总结 C 在 y 轴上,点 B 在函数 yk