2022年第一节模糊数学基本知识数学建模.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一节 模糊数学基本学问一、模糊子集及其运算在经典集合论中,一个元素对于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必 居其一,绝不答应模棱两可； 这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的 常规数学方法的应用范畴, 它只能用来争论那些具有肯定明确的界限的事物和现 象；但是,在现实世界中,并非全部事物和现象都具有明确的界限；譬如,“ 高 与矮” ,“ 好与坏” ,“ 美与丑” , ,这样一些概念之间就没有肯定分明的 界限；严格说来,这些概念就是没有肯定的外延,这些概念被称之为模糊概念,它们不能用一般集合论来描述,而需要用模糊集合论去

2、描述； 一 模糊子集及其表示方法1. 模糊子集有x1 隶属函数：在经典集合论中,一个元素x 和一个集合 A之间的关系只能A或者xA这两种情形； 集合可以通过其特点来刻划, 每一个集合 A 都有一个特点函数 CAx ,其定义如下：1 式所表示的特点函数的图形,如图9-1 所示；由于经典集合论的特点函数只答应取 0 与 1 两个值,故与二规律值 0,1相对应；模糊数学是将二值逻 辑 0,1拓广到可取 0 ,1 闭区间上任意的无穷多个值的连续值规律；因此,也必需把特点函数作适当的拓广,这就是隶属函数 x ,它满意：0 x 1 2 1 式也可以记作 x 0 , 1 ,一般情形下,其图形如图 9-2 所

3、示；2 模糊子集的定义： 1965 年,查德首次给出了模糊子集的如下定义：设 U名师归纳总结 是一个给定的论域 即争论对象的全体范畴 ,A：x0 ,1 是 U到0 ,1 闭区第 1 页,共 7 页间上的一个映射,假如对于任何xU,都有唯独的 Ax 0 ,1 与之对应,就该映射便给定了论域U上的一个模糊子集,A称做的隶属函数, Ax称做 x 对的隶属度；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出,一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划；因此,模糊子集通常有以下几种表示方法：= 1,2, ,

4、n i 0 ,1i=1 ,2, , n 为第 i 个元素 xi 对 3 在3 式中, 的隶属度；集2 查德表示方法：假如论域 U是有限集时,采纳查德记号可以将模糊子表示为：应当留意,4 式的记号决不是分式求和, 而只是一个记号而已, 其“ 分母”表示论域 U中的元素,“ 分子” 是相应元素的隶属度,当隶属度为 0 时,那一项可以不写入；假如论域 U是无限集时,采纳查德记号可以将模糊子集 表示为：在5 式中,“ 积分号” 不是一般的积分,也不代表求和,而是表示各个元 素与其隶属度对应关系的一个总括；3 假如给出了论域 U上的模糊子集 示出了模糊子集； 二 模糊子集的运算及其性质的隶属函数的解析表

5、达式, 就也就表1. 模糊子集的运算论域U上两个模糊子集和B 之间的相等、包含关系及并、交、补运算,分别规定如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载上述记号“ ” 和“ ” 是运算符号,简称为算子,“ ” 表示取最大值,“ ” 表示取最小值2. 模糊子集运算的基本性质对于模糊子集的运算,它具有如下几个基本性质；名师归纳总结 1 幂等律：=,AA=A,=第 3 页,共 7 页2 交换律：=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、模糊子集的 -

6、截集及其性质 一 模糊子集的 - 截集定义：设是论域 U上的一个模糊子集,其隶属函数为 A,x 对的隶属度为 Ax ；对于任 - 0 ,1 ,称集合 =x Ax ,xU 6 为 的强 - 截集；称集合为 的弱 - 截集；有时也将强 - 截集与弱 - 截集统称为 - 截集； 二 模糊子集的 - 截集的性质模糊子集的 - 截集,具有下述几个基本性质：2 对于任意 0,1,都有：3 对于任意 0,1,都有：4 对于任意 0 ,1 ,都有：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、模糊关系与模糊变换 一 模糊关

7、系 1. 模糊关系的概念模糊关系, 是一般关系的推广,其定义如下：设 U和 V 是 两个一般集合, U与 V 的直积 U V= x ,y xU,yV就称 Rx,y 为 x 与 y 具有关系 R的程度；一般地, Rx,y 也可以记为 Rx,y ；特殊地,当 U=V时,就称 R为 U中的模糊关系；当 U和 V 为有限集合时,模糊关 系 R可以用矩阵表示为：在9 式中, rij =Rx i,yj ,r ij 0 ,1 ,i=1 ,2, , m；j=1 ,2, ,n；m为 U中所含元素的个数, n 为 V中所含元素的个数； 8 式所示的矩阵称为模糊关系矩阵,简称模糊矩阵；由于模糊关系就是集合U与 V的

8、直积 U V 上的模糊子集,所以它的相等、包含、并、交、补等运算与模糊子集的概念和运算性质完全相同,这里不再作重复；下面介绍 1 恒等关系 I ：2 零关系 O：2. 模糊关系的合成及其性质 1 模糊关系的合成U中几个重要的特殊关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载W上的模糊关系,其隶属函数为：2 模糊关系合成的基本性质3. 模糊相像关系与模糊等价关系1 模糊相像关系名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载糊相像关系；2 模糊等价关系U,V Rx,z Rz,y Rx,y ,就称 R为 U中的模糊等价关系； 二 模糊变换在10 式中, 0rij 1i=1 ,2, , m；j=1 ,2, , n ；是一个给定的模糊向量=a1,a2, , am 与 11 在11 式中, 0ai1i=1 ,2, , m；就称的合成运算为模糊变换；明显,在 12 式中,有 0bj 1j=1 , 2, , n ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页