2022年第三章基本初等函数.docx

《2022年第三章基本初等函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第三章基本初等函数.docx（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三章基本初等函数（三角函数）3.1 任意角三角函数一、学问导学1角：角可以看成由一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形 .角的三要素是：顶点、始边、终边 角.角可以任意大小,按旋转的方向分类有正角、负角、零2弧度制：任一已知角 的弧度数的肯定值 l,其中 l 是以 作为圆心角时所对圆弧r的长, r 为圆的半径 .规定：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为.零.用“ 弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3弧度与角度的换算：3602rad；11800. 1745rad；1rad1805

2、7 . 30用弧度为单位表示角的大小时,弧度（rad）可以省略不写.度不行省略 .4弧长公式、扇形面积公式：l,rS 扇形1lr1|r2,其中 l 为弧长, r 为圆的半22径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形 .5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角,角终边上任意一点P 的坐标是x,y,它与原点的距离是rr0,那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是siny,cosx,tany,cotx,secr,cs cr.这六个函数统称rrxyxy为三角函数 . 6三角函数的定义域名师归纳总结 三角函数xxx定义域,kZZ第 1 页,共 24 页ysinxR yco

3、sxR ytanxk2ycotxxxk,k,kZysec xxk2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ycsc x学习必备欢迎下载xxk,kZ7三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如下列图（各象限注明的函数为正,其余为负值）可以简记为“ 一全、二正、三切、四余” 为正 .二、疑难学问导析1在直角坐标系内争论角（1）角的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“ 角的顶点为原点,角的始边为 x 轴的非负半轴 .否就不能如此判定某角为第几象限 .如角的终边落在坐标轴上,就说

4、这个角不属于任何象限 .（2）与 角终边相同的角的集合表示 .k 360 , k Z,其中 为任意角 .终边相同的角不肯定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角有很多多个,它们相差 360 整数倍 .2值得留意的几种范畴角的表示法“ 0 90 间的角” 指 0 90；“ 第一象限角” 可表示为k 360 k 360 90 , k Z；“ 小于 90的角” 可表示为 90 .3在弧度的定义中 l 与所取圆的半径无关,仅与角的大小有关 .r4确定三角函数的定义域时,主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键 . 当终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个为 0.5依据三角函数的定义可知： （1）一个角

5、的三角函数值只与这个角的终边位置有关,即角与 k 360 k Z 的 同 名 三 角 函 数 值 相 等 ；（ 2 ）x r , y r, 故 有c o s ,1 s i n 1,这是三角函数中最基本的一组不等关系 .6在运算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范畴以及相应三角函数值的正负情形进行争论 . 因此,在解答此类问题时要留意：（1）角的范畴是什么？（2）对应角的三角函数值是正仍是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲 例 1如 A、B、C 是ABC 的三个内角,且ABACC2,就以下结论中正确的个数是（）cotAcotC.tantanC.cosAcos C.s

6、inAsinC.A1B.2 C.3 D.4错解 ：ACsinAsinC,tanAtanC应选 B错因 ：三角形中大角对大边定理不熟识,对函数单调性懂得不到位导致应用错误名师归纳总结 正解 ：法 1AC在ABC 中,在大角对大边,ca,sinCsinA第 2 页,共 24 页法 2 B、C、D,所以选 A .考虑特别情形,A为锐角, C为钝角,故排除- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 已知,角的终边关于学习必备欢迎下载.y 轴对称,就与的关系为名师归纳总结 错解 ：, 角的终边关于 y轴对称,2错因 ：把关于 y 轴对称片认为关于 y轴的正半轴对称

7、2 .+ k,（kz 第 3 页,共 24 页正解 ：,角的终边关于y 轴对称22k,kZ即2k,kz 说明 ：（1）如,角的终边关于 x轴对称,就与的关系为2k,kZ（ 2 ） 如,角 的 终 边 关 于 原 点 轴 对 称 , 就与的 关 系 为2k1 ,kZ（3）如,角的终边在同一条直线上,就与的关系为k,kZ 例 3已知sin23,cos24,试确定的象限 .55错解 ：sin230 ,cos240,2是其次象限角,即552k22 k,kz .从而4 k4k2,kz .故是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因 ：导出2是其次象限角是正确的,由sin23,0cos24

8、0即可确定,55而题中sin23,cos24不仅给出了符号,而且给出了详细的函数值,通过其值可进55一步确定2的大小,即可进一步缩小2所在区间 .正解 ：sin230 ,cos240,2是其次象限角,55又由sin232sin3知2k322k,kz52444k34 k2,kz,故是第四象限角.2 例 4 已知角的终边经过P4 a3, aa0 ,求sin,cos,tan,cot的值 .错解 ：x4 a,y3 a,r2 xy25 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin3 a3,cos4 a学习必备欢迎下载3,cot4a44,tan3 a5 a55 a5

9、4 a43 a3错因 ：在求得 r 的过程中误认为 a 0正解 ：如 a 0,就 r 5 a,且角 在其次象限sin 3 a 3 , cos 4 a 4 , tan 3 a 3 , cot 4 a 45 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3如 a 0,就 r 5 a,且角 在第四象限sin 3 a 3 , cos 4 a 4 , tan 3 a 3 , cot 4 a 45 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3说明 ：（1）给出角的终边上一点的坐标,求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）此题由于所给字母 a 的符号不确定,故要对 a 的正负进行争论 . 例 5（1）已知 为第三象

10、限角,就 是第 象限角, 2 是第 象限角；2（2）如 4,就 是第 象限角 .解：（1）是第三象限角,即 2 k 2 k 3 , k Z2k k 3 , k Z,4 k 2 2 4 k 3 , k Z2 2 4当 k 为偶数时,为其次象限角2当 k 为奇数时,为第四象限角2而 2 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上 .（2）由于 3 4,所以 为其次象限角 .2点评 ：为第一、 二象限角时,为第一、 三象限角,为第三、 四象限角时,为其次、2 2四象限角,但是它们在以象限角平分线为界的不同区域 . 例 6 一扇形的周长为 20 cm ,当扇形的圆心角 等于多少时, 这个扇形的面积最

11、大？最大面积是多少？名师归纳总结 解：设扇形的半径为rcm ,就扇形的弧长l202rcm第 4 页,共 24 页扇形的面积S120l2 rr rl522525cm2.2所以当r5 cm 时,即10 cm ,2时S maxr点评 ：涉及到最大（小）值问题时,通常先建立函数关系,再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. 例 7 已知是第三象限角,化简1sin1sin；1sin1sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原式 1sin22 1学习必备1欢迎下载1sin2sinsin2sin1sin1sin2coscos又是第三象限角,cos0；所

12、以,原式2sin2tancos点评： 三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母； （2）尽可能不含根式； （ 3）尽可能使三角函数名称最少； （4）尽可能求出三角函数式的值 . 此题的关健是如何应用基本关系式脱去根式,进行化简 . 例 8 如角 满意条件 sin 2 ,0 cos sin 0,就 在第（）象限A.一 B. 二 C.三 D.四sin 2 0 sin cos 0 sin 0解：角在其次象限 . 应选 B.cos sin 0 cos sin cos 0 例 9 已知 cos cos,且 tan 0 .（1）试判定 sincos 的符号；cossin （2）试判定 lgsin co

13、s 的符号 .解：（1）由题意,1 cos 0,1 sin 0sincos 0 , cossin 0,所以 sincos 0 .cossin （2）由题意知 为其次象限角,sin cos 1,所以 lgsin cos 0 .四、典型习题导练1已知钝角的终边经过点Psin2,sin4,且cos10 5.,就的值为）3Aarctan1Barctan1CarctanD2242角 的终边与角 的终边关于y 轴对称,就 为（）A.- B. -C.（2k +1） - kZD.k - （kZ）3. 如 sin tg 0,k Z,就角 的集合为（）名师归纳总结 A 2k2,2k +2 B. 2k2,2k+2第

14、 5 页,共 24 页C. 2k2,2k+2 2kD.以上都不对4当 0x时,就方程 cos cosx=0的解集为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.6,5B.3,2学习必备 D.欢迎下载 C.326335以下四个值 :sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是 A.cos3tg3ctg3sineB.sin3 cos3tg3 ctg3C.cot3tan3cos3sin3D.sin3tan3cos3cot3 6已知 x0, 2,就下面四式 : 中正确命题的序号是. sinxxtgxsincosxcosxcossinx sin 3x+cos 3

15、x1cossinxsincosxcosx 7有以下四组角：1k + 2；2k- 2； 32k 2；4-k + 2 k z 其中终边相同的是（）A.1 和2B.1、2 和3 C.1 、2 和4D.1、2 、3 和4 8 如 角 的 终 边 过 点 si n30 , - cos30 , 就 sin 等 于 （）A. 1 2B. 1 2 C. 2 D.33 39函数 y= 2 cos x 1 的定义域是 _,值域是 _. 33.2 三角函数基本关系式与诱导公式一、学问导学1同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21；商数关系：tansin；倒数关系：tancot1cos同角三角函数的基本关

16、系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于 1 的平方；（2）对角为倒数关系；名师归纳总结 （3）每个三角函数为相邻两函数的积. 余弦记忆口诀第 6 页,共 24 页2诱导公式 kz 角函数正弦2ksincos函数名不变 sin cos sincos符号看象限sincos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 sin学习必备欢迎下载coscossin22cossin函数名不变符号看象限3 cos sin cos2sin32诱导公式可将“ 负角正化,大角小化,钝角锐化”. 3诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数,求这个角其他

17、三角函数；（2）化简：要求是能求值就求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母 . 二、疑难学问导析1三角变换的常见技巧“1” 的代换；sincos,sincos,sincos三个式子,据方程思想知一可求其二（由于其间隐含着平方关系式sin2cos21）；2在进行三角函数化简和三角等式证明时,细心观看题目的特点,敏捷恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦 .尽量化同名,同次,同角；3已知角 的某个三角函数值,求角 的其余 5 种三角函数值时,要留意公式的合理挑选 .在利用同角公式中的平方关系并要开方时,要依据角的范畴来确定符号,常要对角的范畴进行争论 .解决此类问题时,要细心求证角的范

18、畴 . 三、典型例题导讲名师归纳总结 例 1已知sincos1,（0,）,就cot_ 第 7 页,共 24 页5错解 ：两边同时平方,由sincos12与sincos1,得255sincos2sin22sincoscos24sincossincos24sincos49sincos7255sin4,cos53,cos53,进而可求 cot54,进而可求 cot5.解得：cot34 4或sin.解得：cot3错因 ：没有留意到条件0,时,由于sincos0所以sincos的值为正而导致错误. 正解：sincos1,（0,）,5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

19、- 两边同时平方,有sincos3学习必备欢迎下载1联立,12 250 与sincos5求出sin4 5,cos3,cot54例 2如 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a1,0b1,求 tanA 的值错解 ：由sinAasinB得 tan A=atan B cosAbcosBb错因 ：对题目最终要求懂得错误.不清晰最终结论用什么代数式表示名师归纳总结 正解 ：由sinAasinB2+2 得 a 2sin 2B+b 2cos 2B=1 第 8 页,共 24 页cosAbcosBcos 2B=a21sin 2B=1b22tan 2B=12b2a2b2a2ba1B 为锐

20、角 tan B=12b2a1得 tan A=atan B=a1b2bb2 a1例 3如函数fx1cos2xasinxcosx的最大值为2,试确定常数a 的值 . 4sin2x22解:fx2cos2xasinxcosx4cosx221cosxasinx221a2sinx,其中角满意sin11a244由已知有1a24 .44解之得,a15.点评 ：本试题将三角函数“2,” 诱导公式有机地溶于式子中,考查了同学对基础学问的把握程度,这就要求同学们在学习中要脚踏实地,狠抓基础. 例 4已知 tan2=2,求（1） tan4的值；（2）6sin 3sincos的值2cos- - - - - - -精选学

21、习资料 - - - - - - - - - 解：（1） tan2=2, tan1学习必备欢迎下载4; 2tan2221 43tan 22所以tan4tantan4tan1=4 311 4 31 7；17. 1tantan1tan4（2）由 I, tan=4 , 所以 6sin 3 3sincos 2cos=6 tan 3tan1=64 34 33262点评 ：此题设计简洁明白,入手简洁,但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要名师归纳总结 求娴熟应用,运算精确. sin26=7第 9 页,共 24 页例 5化简：sin4 n1cos 4 n41nz 4错解 ：原式sinn4cos n4s

22、in4cos4sin24cos4cos4cos40错因 ：对三角函数诱导公式不完全懂得,不加争论而导致错误. 正解 ：原式sinn4cos n4（1）当n2 k1 kz,时原式sin k4+cos k4sin4cos4cos4cos4=0 （2）当n2 kkz ,时原式sin k4+cos k4sin4+cos4=0 例 6如sin61,就cos22=（ ）33A7B11 C 37 D 993错解 ：cos22=cos32=cos32=1239- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 错因 ：诱导公式应用符号错. 学习必备欢迎下载正解 ：cos22=cos63

23、2.应选 A. 3=cos32=1+2sin2=79例 7已知2x0,sinxcosx1. 5（1）求 sinxcosx 的值；名师归纳总结 （2）求3sin2x2sinxcosx 2cos 2x的值 . 2 cosx1,.第 10 页,共 24 页222tanxcotx解法一 ：（1）由sinxcosx1,平方得sin2x2sinxcosx525即2sinxcosx24.sinxcosx212sinxcosx49 25.725又2x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0 ,故sinxcosx5（2）3sin2xsinx 2cosx 2cos2x2sin2xsinx1222 x120,

24、cotxsincosxtanxcosxsinxsinxcosx2cosxsinx1221108255125解法二 ：（1）联立方程sinxcosx1,5sin2cos2x1.由得sinx1cosx ,将其代入,整理得25cos2x5cosx5cosx3或cosx4.2x0,sinx43,555cosx.5故sinxcosx7.5（2）3sin2xsinx 2cosx2 cosx222tanxcotx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2sin2xsinx1学习必备欢迎下载2 xsincosxcosxxsinxx3sinx sinxcos2cos34241

25、085555125点评 ：本小题主要考查三角函数的基本公式、学问,以及推理和运算才能 . 三角恒等变换、 三角函数在各象限符号等基本 例 8 1 化 简 ：sec sin2 12csc cos2 21 +cos 2 csc 2 12 设 sin + 2 = 4, 且 sin2 0 求 sin ,tan sin 2 cos 2解 ： 原 式 = tan 2 cot 2 +cos 2 csc 2=cos 2 +sin 2 +cos 2 csc 2 =1+cot 2=csc 22 解 ： 由 sin + 2 =-14 cos =- 14 sin2 0 2k 2 2k +k k + 2 k z 为 第

26、 一 象 限 或 第 二 象 限 的 角1 cos =- 4 0 为 第 三 角 限 角sin =-1 cos 2 4 15tan = cos = sin 15 点 评 ：本 题 要 求 同 学 们 熟 练 掌 握 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 ,在 求 值 过 程 中 特 别 注意 三 角 函 数 值 的 符 号 的 探 讨 . 点评： 有部分同学可能会认为不等式组（* ）两者没有公共部分,所以定义域为空集,缘由名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是没有正确懂得弧度与实数的关系,总

27、认为二者格格不入,事实上弧度也是实数 . 例 9 已知sin472,cos27,求sin及tan3. 1025解法一 :由题设条件,应用两角差的正弦公式得72sin42sincos102即sincos75由题设条件,应用二倍角余弦公式得7cos2cos2sin2cos4sincos3sin7cossin故25cos51 5cossin3 5,.因此,tan3 4,由两角和的正切公式由式和式得sin5tan4tan3tan3133 44348253.143311334解法二： 由题设条件,应用二倍角余弦公式得7cos212sin2解得sin29,即sin3（因25255由sin472,可得sin

28、cos7105由于sin7cos0 ,且cossin70,55故在其次象限,于是sin3. 5从而cossin74（以下同解法一）. 三个式子, 据方程思想知一可求其二5,sin5cos,sincos点评 ：sincos为其间隐含着平方关系式sin2cos21）,在求值过程中要留意符号的争论. 四、典型习题导练1 当 0x 时,就方程 cos cosx=0 的解集为 名师归纳总结 A.,5 B.,2 C.D.2第 12 页,共 24 页663333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2在ABC 中,已知tanA2B学习必备欢迎下载sinC,给出以下四个论

29、断：tanAcotB2110sinAsinB2Csin2AcosBcos2Acos2Bsin2其中正确选项A B. C. D.3设 0 x 2 ,且 1 sin 2 x sin x cos x ,就7 5 3A. 0 x B. x C. x D. x4 4 4 4 2 214 曲线 y 2 sin x cos x 和直线 y 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依4 4 2次记为 P1,P2,P3, ,就 |P2P4| 等于（）AB 2 C3 D45已知函数 fx 2sinxcosxcos2x1 求 f 的值； 2 设0,f 2,求 sin 的值4 2 26已知在ABC中, sinA（sinB

30、cosB） sinC0,sinBcos2C0,求角 A、B、C的大小 . 7已知3 4（1）求 tan, tancot103的值；（2）求5sin228sin2cos2211cos228的值；2 sin3.3 三角函数的恒等变换一、学问导学1.两角和、差、倍、半公式名师归纳总结 （1）两角和与差的三角函数公式cos第 13 页,共 24 页sinsinsincoscoscoscossinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tantantan学习必备欢迎下载1tantan（2）二倍角公式sin 2 2 sin cos2 2 2 2cos 2 cos

31、sin 2 cos 1 1 2 sin2 tantan 2 21 tan（3）半角公式2 1 cos 2 1 cos 2 1 cossin,cos,tan2 2 2 2 2 1 cossin 1 costan2 1 cos sin2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形,常见于化简求值和恒等式证明 .恒等式证明就是利用公式排除等式两边的差异,有目的地化繁为简,使左右相等, 常用方法为：（ 1）从一边开头证得它等于另一边,一般由繁到简； （2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值） . 二、疑难学问导析1两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律,常用于解决求值、化简和证明题 . 2 倍 角 公 式 的 内 涵 是 揭 示 具 有 倍 数 关 系 的 两 个 角 的 三 角 函 数 的 运 算 规 律 . 如sin22sincos成立的条件是 “是任意角,2是的 2 倍角” ,精髓表达在角的 “ 倍数” 关系上 . 3公式使用过程中（1）要