2022年第二章知识点总结.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点其次章行列式学问点总结一行列式定义1、n 级行列式a ijna 11a 12a 1n(1)等于全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积a a 12j2anjn(2)的代a 21a 22a 2n数和,这里j j2a n1a n2a nnj j2j 是偶排列时,该项前面带正号;当j j2j 是奇排列时,该项前j 是一个n 级排列;当面带负号,即:a ijna 11a 12a 1 nj j 12j n 1j j 12jna 1j 1a 2j2a njn;a 21a 22a 2na n 1a n2a nn2、等价定义a ijni i
2、1 2in 1i i 1 2i na a 1 i22a i n n和a ijni i 1 2i n和 j j 12jn 1i i 1 2inj j 1 2jna a 1 1 i j 22a i j n n3、由 n 级排列的性质可知,n 级行列式共有n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各占一半;4、常见的行列式 1)上三角、下三角、对角行列式a 11a 22a nna 11a 220a 11a 22a nna a 11 22a nn0a nn2)副对角方向的行列式a n 1a 2n1a 1n0a 2, n1a 1na n 1a 2,n1a 1nn n1a a 2,n
3、1a n10a n1 123)范德蒙行列式:1111111jina iaja 1a 2an2 a 12 a 2a2 nn a 1an 2n a nn2二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、互换行列式的两行(列),行列式变号;学习必备精品学问点3、行列式中某一行(列)中全部的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即:某一行(列)中全部的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、如行列式中有两行成比例,就此行列式等于零;5、如某一行(列)是两组数之和,就这个行列式等于
4、两个行列式之和,而这两个行列式除这一行(列)以外全与原先行列式的对应的行(列)一样;6、把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行(列)绽开1、子式1)余子式:在 n 级行列式 D a ij 中,去掉元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n-1 级行列式称为 ija 的余子式,记作 M ij;i j2)代数余子式:A ij 1 M 称为 a ij 的代数余子式;23) k 级子式:在 n 级行列式 D a ij 中,任意选定 k 行和 k 列 1 k n ,位于这些行列交叉处的 k 个元素,按原先次序构成一个 k 级行列
5、式 M ,称为 D 的一个 k 级子式;当 k n 时,在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素依据原来的次序组成的 n k 级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式;2、按一行(列)绽开1)行列式任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即按第 i 行绽开Da A i1ja A i2ja A inij1,2, ;按第 j 列绽开Da A 1a2jA 2a A nj1,2, ;2)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即a Aj1a Aj2a Ajn0ij;或a A 1ja A 2ja A nj0,ij.3、按 k 行( k
6、列)绽开拉普拉斯定理:在n 级行列式中,任意取定k个行(k列) 1kn1,由这 k 行( k 列)元素组成的全部的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值;4、其他性质1)设 A为 n 阶方阵,就 AA ;B ;j,但 ABAB ;2)设 A为 n 阶方阵,就kAknA ;3)设A B 为 n 阶方阵,就ABA B ,但 ABA4)设 A为 m 阶方阵,设 B 为 n 阶方阵,就ABA0A B0B5)行列式的乘法定理:两个n 级行列式乘积等于n 级行列式ja b 2a b nj, , i j1,2, .a 11a 1 nb 11b 1nc 11c 1n其中c ija b 1 1an
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