2022年第一高级中学高中数学平面几何中的向量方法教案新人教A版必修.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案 2.5.1平面几何中的向量湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学方法教案 新人教 A 版必修 4 一、教学分析1. 本节的目的是让同学加深对向量的熟悉 , 更好地体会向量这个工具的优越性 . 对于向量方法 , 就思路而言 , 几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一样 , 不同的只是用“ 向量和向量运算” 来代替“ 数和数的运算”. 这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量 ,对这些向量借助于它们之间的运算进行争论, 然后把这些运算结果翻译成关于点、线、面的相应结果 . 代数方法的流程图可以简洁地表述为 : 就向量方法的流程图

2、可以简洁地表述为 : 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“ 三步曲”, 也是本节的重点 . 2. 争论几何可以实行不同的方法 , 这些方法包括 : 综合方法 不使用其他工具 , 对几何元素及其关系直接进行争论 ; 解析方法以数 代数式 和数 代数式 的运算为工具 , 对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法以向量和向量的运算为工具 , 对几何元素及其关系进行争论 ; 分析方法以微积分为工具 , 对几何元素及其关系进行争论 , 等等 . 前三种方法都是中学数学中显现的内容 . 有些平面几何问题 , 利用向量方法求解比较简洁 . 使用向量方法要点在于用向量表示线段或点 , 依据点与线之间的关系

3、 , 建立向量等式 , 再依据向量的线性相关与无关的性质 , 得出向量的系数应满意的方程组 , 求出方程组的解 , 从而解决问题 . 使用向量方法时 , 要留意向量起点的选取 , 选取得当可使运算过程大大简化 . 二、教学目标1学问与技能：通过平行四边形这个几何模型 曲” .2过程与方法：明白平面几何图形中的有关性质 性运算及数量积表示 . 3情感态度与价值观：, 归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“ 三步, 如平移、全等、相像、长度、夹角等可以由向量的线通过本节学习 , 让同学深刻懂得向量在处理有关平面几何问题中的优越性 , 活跃同学的思维 , 进展同学的创新意识 , 激发同学的学习积极

4、性 , 并体会向量在几何和现实生活中的意义 .教学中要求尽量引导同学使用信息技术这个现代化手段 . 三、重点难点教学重点 : 用向量方法解决实际问题的基本方法; 向量法解决几何问题的“ 三步曲” .教学难点 : 如何将几何等实际问题化归为向量问题 . 四、教学设想（一）导入新课名师归纳总结 思路 1. 直接导入 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景, 当向量和平第 1 页,共 8 页面坐标系结合后, 向量的运算就完全可以转化为代数运算. 这就为我们解决物理问题和几何- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 争论带来了极大的便利名师精编优秀教案. .

5、本节特地争论平面几何中的向量方法思路 2. 情境导入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 , 平面几何图形的很多性质 , 如平移、全等、相像、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 , 因此 , 可用向量方法解决平面几何中的一些问题 . 下面通过几个详细实例 , 说明向量方法在平面几何中的运用 . （二）推动新课、新知探究、提出问题图 1 平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型, 如图 1, 你能观看、 发觉并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？你 能利用所学学问证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法 . 你能总结一下利

6、用平面对量解决平面几何问题的基本思路吗？活动 : 老师引导同学猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系 . 利用类比的思想方法 , 猜想平行四边形有没有相像关系 . 指导同学猜想出结论 : 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 . 老师引导同学探究证明方法 , 并点拨同学对各种方法分析比较 , 平 行四边形是同学熟悉的重要的几何图形 , 在平面几何的学习中 , 同学得到了它的很多性质 , 有些性质的得出比较麻烦 , 有些性质的得出比较简洁 . 让同学体会争论几何可以实行不同的方法 , 这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法 . 图 2 证明 : 方法一 : 如图 2.

7、作 CEAB于 E,DF AB于 F, 就 Rt ADFRtBCE. AD=BC,AF=BE.由于 AC AE 2+CE 2=AB+BE 2+CE 2=AB 2+2AB BE+BE 2+CE 2=AB 2+2AB BE+BC 2. BD 2=BF 2+DF 2=AB-AF 2+DF 2=AB 2-2AB AF+AF 2+DF 2=AB 2-2AB AF+AD 2=AB 2-2AB BE+BC 2. AC 2+BD 2=2AB 2+BC 2. 图 3 方法二 : 如图 3. 名师归纳总结 以 AB所在直线为x 轴 ,A 为坐标原点建立直角坐标系. 第 2 页,共 8 页设 Ba,0,Db,c,就

8、 Ca+b,c. |AC|2=a+b2+c2=a 2+2ab+b 2+c2, |BD|2=a-b2+-c2=a 2-2ab+b2+c2. |AC|2+|BD|2=2a 2+2b2+c2= 2|AB|2+|AD|2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系 . 在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时, 常常考虑用向量的数量积. 通过以下推导同学可以发觉, 由于向量能够运算 , 因此它在解决某些几何问题时具有优越性, 它把一个思辨过程变成了一个算法过程 , 同学可按肯定的程序进行运算操

9、作 , 从而降低了摸索问题的难度 , 同时也为运算机技术的运用供应了便利 . 教学时应引导同学体会向量带来的优越性 . 由于平行四边形对角线平行且 相 等 , 考 虑 到 向 量 关 系 DB = AB - AD , AC = AB + AD , 教 师 可 点 拨 学 生 设AB =a, AD =b, 其他线段对应向量用它们表示 , 涉及长度问题常常考虑向量的数量积 , 为此 ,我们运算 | AC | 2 与| DB | 2. 因此有了方法三 . 方法三 : 设 AB =a, AD =b, 就 AC =a+b, DB =a- b,| AB | 2=| a| 2,| AD | 2=| b| 2

10、. | AC | 2= ACAC = a+b a+b= aa+ab+ba+bb=| a| 2+2ab+| b| 2. 同理 | DB | 2=| a| 2-2 ab+| b| 2. 观看两式的特点 , 我们发觉 , +得| AC | 2+| DB | 2=2| a| 2+| b| 2=2| AB | 2+| AD | 2, 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 . 至此 , 为解决重点问题所作的铺垫已经完成 , 向前进展可以说水到渠成 . 老师充分让学生对以上各种方法进行分析比较 , 争论认清向量方法的优越性 , 适时引导同学归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤 . 由于

11、平面几何常常涉及距离 线段长度 、夹角问题 , 而平面向量的运算 , 特 别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角, 因此我们可以用向量方法解决部分几何问题 . 解决几何问题时 , 先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素 . 然后通过向量的运算 , 特殊是数量积来争论点、线段等元素之间的关系 . 最终再把运算结果“ 翻译” 成几何关系 , 得到几何问题的结论 . 这就是用向量方法解决平面几何问题的“ 三步曲” ,即1 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题 ; 2 通过向量运算 , 争论几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题; 3

12、把运算结果“ 翻译” 成几何关系. 争论结果 : 能 . 能想出至少三种证明方法 . 略 . （三）应用示例图 4 名师归纳总结 例 1 如图 4, ABCD中, 点 E、F 分别是 AD、DC边的中点 ,BE、BF 分 别与 AC交于 R、T 两点 ,第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 你能发觉 AR、RT、TC之间的关系吗名师精编优秀教案. 活动 : 为了培育同学的观看、发觉、猜想才能 , 让同学能动态地发觉图形中 AR、RT、 TC之间的相等关系 , 教学中可以充分利用多媒体 , 作出上述图形 , 测量 AR、RT、TC的长度

13、 , 让学生发觉 AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点, 动态观看发觉 ,AR=RT=TC这个规律不变 , 因此猜想AR=RT=TC.事实上 , 由于 R、T 是对角线 AC上的两点 , 要判定 AR、RT、TC之间的关系 , 只需分别判定 AR、RT、TC与 AC的关系即可 . 又由于 AR、RT、TC、AC共线 , 所以只需判定 AD、AR、AT、与 AC 之间的关系即可 . 探究过程对比用向量方法解决平面几何问题的“ 三步曲” 很简洁地可得到结论 . 第一步 , 建立平面几何与向量的联系 , 用向量表示问题中的几何元素 , 将平面几何问 题转化为向量问题 ; 其次步 , 通过向量运算

14、, 争论几何元素之间的关系 ; 第三步 , 把运算结果“ 翻译” 成几何关系 :AR=RT=TC. 解: 如图 4, 设 AB =a, AD =b, AR =r , AT =t , 就 AC =a+b. 由于 AR 与 AC 共线 , 所以我们设r =n a+b,n R. 又由于 EB = AB - AE =a-1 b, 2ER与 EB 共线 , 名师归纳总结 所以我们设 ER =mEB =ma-1 b. 20, 必需第 4 页,共 8 页由于ARAEER, 所以 r =1 b+ma-21 b. 2因此 n a+b=1 b+ma- b, 2即n-m a+n+m1b=0. 2由于向量 a、b 不

15、共线 , 要使上式为nm0 ,nm1.02解得 n=m= 1 . 3所以 AR =1 AC , 3同理 TC =1 AC . 3于是 RT =1 AC . 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案所以 AR=RT=TC. 点评 : 教材中本例重在说明是如何利用向量的方法找 出这个相等关系的 , 因此在书写时可简化一些程序 . 指导同学在今后 的训练中 , 不必列出三个步骤 . 变式训练图 5 如图 5,AD、BE、CF是 A BC的三条高 . 求证 :AD、BE、CF相交于一点 . 证明 : 设 BE、CF相交于 H, 并设 AB =b,

16、 AC =c, AH =h, 就 BH =h- b, CH =h- c, BC =c-b. 由于 BH AC , CH AB , 所以 h- b c=0, h- c b=0, 即 h-b c= h- c b. 化简得 h c- b=0. 所以 AH BC . 所以 AH与 AD共线 , 即 AD、BE、 CF相交于一点 H. 图 6 例 2 如图 6, 已知在等腰 A BC中,BB 、CC 是两腰上的中线, 且 BB CC, 求顶角A 的余弦值 . 活动 : 老师可引导同学摸索探究 , 上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题 . 可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系 , 找

17、出所需点的坐标 . 假如能比较方便地建立起平面直角坐标系 , 如本例中图形 , 很便利建立平面直角坐标系 , 且图形中的各个点的坐标也简洁写出 , 是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？老师引导同学建系、找点的坐标 , 然后让同学独立完成 . 解: 建立如图 6 所示的平面直角坐标系 , 取 A0,a,Cc,0, 就 B-c,0, OA=0,a, BA =c,a, OC =c,0, BC =2c,0. 由于 BB 、CC 都是中线 , 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以BB =1 BC + BA = 2名师

18、精编优秀教案,a, 1 2c,0+c,a 2=3c22同理CC=3 c,a. 22由于 BB CC ,2所以 9c 2 a=0,a 2=9c 2. 4 42 2 2 2所以 cosA= AB AC a2 c2 9 c2 c 4 . | AB | AC | a c 9 c c 2 5点评 : 比较是最好的学习方法 . 本例利用的方法与例题 1 有所不同 , 但其本质是一样的 ,教学中引导同学认真体会这一点 , 比较两例的异同 , 找出其内在的联系 , 以达融会贯穿 , 敏捷运用之功效 . 变式训练图 7 2004 湖北高考 如图 7, 在 Rt ABC中 , 已知 BC=a.如长为 2a 的线段

19、 PQ以点 A 为中点 ,问: PQ与 BC 的夹角 取何值时 , BP CQ 的值最大 .并求出这个最大值 . 解: 方法一 , 如图 7. 名师归纳总结 AB AC , AB AC =0. CQ最大 , 其最大值为0. 第 6 页,共 8 页APAQ,BPAPAB ,CQAQAC, BPCQAPABAQAC=APAQAPACABAQABAC=-a2- AP AC + AB AP =-a2+ AP AB - AC =-a2+1 PQ 2BC =-a2+a 2cos . 故当 cos =1, 即 =0, PQ 与 BC 的方向相同时 ,BP- - - - - - -精选学习资料 - - - -

20、 - - - - - 名师精编 优秀教案图 8 方法二 : 如图 8. 以直角顶点 A 为坐标原点 , 两直角边所在的直线为坐标轴 , 建立如下列图的平面直角坐 标系 . 设|AB|=c,|AC|=b, 就 A0,0,Bc,0,C0,b, 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点 P的坐标为 x,y , 就 Q-x,-y. BP =x-c,y,CQ =-x,-y-b,BC =-c,b,PQ =-2x,-2y. 0. BPCQ=x-c-x+y-y-b=-x2+y2+cx-by. cos =|PQ|BC|cx2byPQBCacx -by=a2cos . BPCQ=-a2+a 2cos . 故当 co

21、s =1, 即 =0, PQ 与 BC 的方向相同时 , BPCQ最大 , 其最大值为（四）知能训练图 9 1. 如图 9, 已知 AC为O 的一条直径 , A BC是圆周角 . 求证: A BC=90 .证明 : 如图 9. 设 AO =a, OB =b, 就 AB =a+b, OC =a, BC =a- b,| a|=| b|. 由于 AB BC= a+b a- b=| a|2-| b|2=0, 所以 AB BC . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案由此 , 得A BC=90 .点评 : 充分

22、利用圆的特性 , 设出向量 . 2.D、E、F 分别是 A BC的三条边 AB、BC、CA上的动点 , 且它们在初始时刻分别从 A、B、C动身 , 各以肯定速度沿各边向 B、C、A 移动 . 当 t=1 时, 分别到达 B、C、A.求证 : 在 0t 1的任一时刻 t 1, DEF的重心不变 . 图 10 证明 : 如图 10. 建立如下列图的平面直角坐标系, 设 A、B、C坐标分别为 0,0,a,0,m,n. 在 任 一 时 刻 t 10,1, 因 速 度 一 定 , 其 距 离 之 比 等 于 时 间 之 比 , 有| AD | | BE | | CF | t 1= , 由定比分点的坐标公

23、式可得 D、 E、 F 的坐标分别为| DB | | EC | | FA | 1 t 1at 1,0,a+m-at 1,nt 1,m-mt 1,n-nt 1. 由 重 心 坐 标 公 式 可 得 DEF 的 重 心 坐 标 为 a m, m . 当 t=0 或 t=1 时, ABC的重心也为 a m, m , 故对任一 t10,1, D EF3 3 3 3的重心不变 . 点评 : 主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系 , 只要证 A BC 的重心和时刻 t 1 的 DEF的重心相同即可 . （五）课堂小结1. 由同学归纳总结本节学习的数学学问有哪些 : 平行四边形向量加、减法的几何模型 ,用向量方法解决平面几何问题的步骤 , 即“ 三步曲”. 特殊是这“ 三步曲”, 要提示同学懂得领会它的实质 , 达到娴熟把握的程度 . 2. 本节都学习了哪些数学方法 : 向量法 , 向量法与几何法、解析法的比较 , 将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法 , 深切体会向量的工具性这一特点 . （六）作业名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页