2022年第二十讲平面向量的概念及线性运算.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆其次十讲 平面对量的概念及线性运算 考试要求 1. 向量的实际背景, A级要求；2. 平面对量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示,B级要求；3. 向量加法、减法及数乘运算,B级要求；4. 两个向量共线的含义, B级要求；5. 向量线性运算的性质及其几何意义,A级要求 . 课前预备区 回扣教材 夯实基础 学问梳理1向量的有关概念1 向量：既有大小,又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的2 零向量：长度为的向量,其方向是任意的0 与任一向量共线3 单位向量：长度等于的向量4 平行向量：方向相同或的非零向量,又叫共线向量

2、,规定：5 相等向量：长度相等且相同的向量6 相反向量：长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法就 或几何意义 运算律1交换律：加法求两个向量和的运法就ab；2结合律：算法就a bc求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算法就abab 叫做 a 与 b 的差数乘求实数 与向量 a1|a|a|； a；2当 0 时,a 的方向与 a 的方a；的积的运算向；当 0 时,a 的方向与aba 的方向；当 0 时, a0 3共线向量定理名师归纳总结 向量 aa 0 与 b共线的充要条件是存在一个实数 ,使得第 1 页,共 11 页4向量的中线公式：如 P为线段 AB的中点, O为平面内一点

3、,就OP - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5三点共线等价关系A,P,B 三点共线 . AP AB 0.OP 1t OA t OB O 为平面内异于A,P,B 的任一点, tR. OP xOA yOB O 为平面内异于 R,yR,xy1 回来课本A,P,B 的任一点, x1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O,且AOOC BOOD ,就四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点,BC3CD,就 AD用AB和AC表示为 _.3.已知 .ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O,且

4、 OAa,OBb,就 DC_,BC_用 a,b 表示 . 4. 设向量 a 与 b 是两个不共线的向量,且 ab 与3ab 共线,就 _. 5. 在 ABC 中, BD,就 2DC,如 AD1AB2AC12 的值为 _k_. 6. 假如 ABe1e2,BC2e13e2,AF3e1 ke2,且 A,C,F 三点共线,就课堂活动区突破考点研析热点 考点突破 考点一：平面对量的有关概念【例 1】 给出以下命题：如 |a|b|,就 ab；如 A,B,C,D 是不共线的四点,就“” 是“ 四边形ABCD 为平行四边形” 的充ABDC要条件；如 a b,bc,就 ac；如 a b,b c,就 a c. 其

5、中正确命题的序号是 _. 考点二：平面对量的线性运算名师归纳总结 第 2 页,共 11 页【例 2】 1在 ABC 中, AB 边的高为 CD ,如 CB a,CAb,ab0,|a|1,|b|2,就 AD_.2如图,正方形ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆三等分点,那么表示 . EF等于 _用AD,AB3如图,D,E,F 分别是_. ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 就AD BECF 考点三：共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线

6、 . 1如ABab,BC2a8b,CD3ab.求证： A,B,D 三点共线；2试确定实数 k,使 kab 和 akb 共线 . 课堂总结1. 向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多摸索,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线2. 对于向量共线定理及其等价定理,关键要懂得向量平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探究有关的向量满意向量等式 b a,再结合条 件或图形有无公共点证明几何位置 . 课后练习区 精题精练 规范答题 基础练习1.设 a 是非零向量, 是非零实数,给出以下结论：a 与 a

7、的方向相反；a 与 2a 的方向相同； |a|a|； |a| | a.其中正确选项 _填序号 . 2.在.ABCD 中, AB a,AD b,AN 3NC ,M 为 BC 的中点,就 MN _用 a,b表示 . 名师归纳总结 3. 边长为 1 的正三角形ABC 中, |AB BC|的值为 _第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆4. 已知 |a|8,|b|6,且 |ab|ab|,就 |ab|=_. ,R,就 的最大值为 _5. 在 ABC 中,点 D 是 BC 边上的点,ADABAC6. 设四边形ABCD为

8、平行四边形,AB6,AD4. 如点M, N 满意BM3 MC ,DN 2 NC ,就 AM NM7.设 a,b 不共线, AB 2a pb,BC ab,CD a2b,如 A,B,D 三点共线,就实数 p8.向量 e1,e2不共线, AB 3e1e2,CB e2e1,CD 2e1e2,给出以下结论： A,B,C 共线； A,B, D 共线； B,C,D 共线； A,C, D 共线,其中全部正确结论的序号为 _. 才能提升9.在 ABC 中,点 M,N 满意 AM 2MC , BN NC_. .如MN xAB yAC ,就 x_；y10.如图,经过OAB 的重心 G 的直线与 OA, OB 分别交

9、于点 P,Q,设 OP mOA,OQnOB,m,nR,就n 1 m的值为 _. 11.已知向量 a2e13e2,b2e13e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c2e19e2,问是否存在这样的实数 , ,使向量 dab 与 c 共线？12.如图,四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB DC,M,N 分别是 DC ,名师归纳总结 AB 的中点, 已知 AB a,AD b,DC c,试用 a,b,c 表示 BC ,MN ,第 4 页,共 11 页DN CN. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆其次十讲 平面对量的概念及线性运算 考

10、试要求 1. 向量的实际背景, A级要求；2. 平面对量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示,B级要求；3. 向量加法、减法及数乘运算,B级要求；4. 两个向量共线的含义, B级要求；5. 向量线性运算的性质及其几何意义,A级要求 . 课前预备区 回扣教材 夯实基础 学问梳理1向量的有关概念1 向量：既有大小,又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的2 零向量：长度为的向量,其方向是任意的0 与任一向量共线3 单位向量：长度等于的向量4 平行向量：方向相同或的非零向量,又叫共线向量,规定：5 相等向量：长度相等且相同的向量6 相反向量：长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法就 或几

11、何意义 运算律1交换律：加法求两个向量和的运法就ab；2结合律：算法就a bc求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算法就abab 叫做 a 与 b 的差数乘求实数 与向量 a1|a|a|； a；2当 0 时,a 的方向与 a 的方a；的积的运算向；当 0 时,a 的方向与aba 的方向；当 0 时, a0 3共线向量定理名师归纳总结 向量 aa 0 与 b共线的充要条件是存在一个实数 ,使得第 5 页,共 11 页4向量的中线公式：如 P为线段 AB的中点, O为平面内一点,就OP - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5

12、三点共线等价关系A,P,B 三点共线 . AP AB 0.OP 1t OA t OB O 为平面内异于A,P,B 的任一点, tR. OP xOA yOB O 为平面内异于 R,yR,xy1 回来课本A,P,B 的任一点, x1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O,且AOOC BOOD ,就四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点,BC3CD,就 AD用AB和AC表示为 _.解析1 3BC1 3AC1 3AB1 3AB4 3AC.由题意得 AD ACCDACAC3.已知 .ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O,且 OAa,OBb,就 DC

13、_,BC_用 a,b 表示 . 解析 如图,DCABOBOA ba,BCOCOB OAOB a b.4. 设向量 a 与 b 是两个不共线的向量,且 ab 与3ab 共线,就 _. 解析 设 bt3ab ,就1 3t , 1 3. 答案 1,所以 11 3,k_. t ,35. 在 ABC 中, BD 2DC,如 AD1AB2AC,就 12 的值为 _解析 1 3CB1 3AB2 3ACAD ACCDAC,而 CBABAC,所以 AD22 3,就 122 9. 答案 296. 假如 ABe1e2,BC2e13e2,AF3e1 ke2,且 A,C,F 三点共线,就解析 ABe1e2,BC2e13

14、e2,AC ABBC3e12e2. A,C,F 三点共线,AC AF,从而存在实数,使得 ACAF. 3e12e2 3e1 ke2,名师归纳总结 又 e1,e2 是不共线的非零向量,33,因此 k 2. 答案 2 第 6 页,共 11 页2 k,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆课堂活动区突破考点研析热点 考点突破 考点一：平面对量的有关概念【例 1】 给出以下命题：如 |a|b|,就 ab；如 A,B,C,D 是不共线的四点,就“” 是“ 四边形ABCD 为平行四边形” 的充ABDC要条件；如 a b,bc,就 ac；如 a

15、 b,b c,就 a c. 其中正确命题的序号是 _.解析 不正确 .两个向量的长度相等,但它们的方向不肯定相同 .正确 .ABDC,|AB |DC |且AB DC,又 A,B,C,D 是不共线的四点, 四边形 ABCD为平行四边形；反之,如四边形 ABCD 为平行四边形,就 |AB |DC |,AB DC 且AB,DC 方向相同,因此 ABDC .正确 .ab,a,b 的长度相等且方向相同,又a,c 的长度相等且方向相同,故 a c. 不正确 .当 b0 时, a,c 可能不平行 .综上所述,正确命题的序号是 . 考点二：平面对量的线性运算bc,b,c 的长度相等且方向相同,名师归纳总结 第

16、 7 页,共 11 页【例 2】 1在 ABC 中, AB 边的高为 CD ,如 CB a,CAb,ab0,|a|1,|b|2,就 AD_.2如图,正方形ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点F 是 BC 的一个三等分点,那么 EF等于 _用AD,AB 表示 . 解析1ab0,ACB90 ,AB5,CD2 5 5,BD5 5,AD4 5 5,4 5AB4 5CB4 5a4 5b.ADBD41.ADCA2在 CEF 中,有 EFECCF.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1 2DC.由于点 E 为 DC 的中点,所以 EC由

17、于点 F 为 BC 的一个三等分点,所以2 3CBCF1 2DC2 3CB1 2AB2 3DA1 2AB2 3AD.所以 EF_. 3如图, D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,就 ADBECF解析 ：由题意知： ADFE,BEDF, CFED,而 FEEDDF0,ADBECF 0. 考点三：共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . 共线,又它1如ABab,BC2a8b,CD3ab.求证： A,B,D 三点共线；2试确定实数k,使 kab 和 akb 共线 .1证明ABa b,BC2a8b,CD3ab. BDBCCD 2a8b3ab2a8b3a3

18、b5ab5AB.AB,BD们有公共点B,A,B,D 三点共线 . 2解kab 与 akb 共线,存在实数,使 kabakb,即 kaba kb,ka k 1b. a,b 是不共线的两个非零向量,k k1 0, k 210, k 1. 课堂总结1. 向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多摸索,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线2. 对于向量共线定理及其等价定理,关键要懂得向量平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探究有关的向量满意向量等式 b a,再结合条 件或图形有无公共点证明几何位置 .

19、 课后练习区 精题精练 规范答题 基础练习1.设 a 是非零向量, 是非零实数,给出以下结论：a 与 a 的方向相反；a 与 2a 的方向相同； |a|a|； |a| | a.其中正确选项 _填序号 . 名师归纳总结 解析对于 ,当 0 时,a 与 a 的方向相同, 当 0 时,a 与 a 的方向相反, 正确；第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆对于 ,|a|a|,由于 |的大小不确定, 故|a|与 |a|的大小关系不确定；对于 ,| |a 是向量,而 |a|表示长度,两者不能比较大小 . 答案 2.在.

20、ABCD 中, AB a,AD b,AN 3NC ,M 为 BC 的中点,就 MN _用 a,b表示 . 解析 由AN 3NC ,得 4AN 3 AC 3ab,AM a1 2b,所以 MN 3 4a b a1 2b 1 1 1 14a4b. 答案4a4b3. 边长为 1 的正三角形 ABC 中, |AB BC |的值为 _答案：3 4. 已知 |a|8,|b|6,且 |ab|ab|,就 |ab|=_. 解 设AB a,AD b,以 AB,AD 为邻边作平行四边形 ABCD ,如下图所示：就AC ab,DB ab,所以 |AC |DB |. 又由于四边形 ABCD 为平行四边形,所以四边形 AB

21、CD 为矩形,故 ADAB. 在 Rt DAB 中, |AB |8, |AD |6,由勾股定理得|DB|AB| 2 |AD| 28 26 210. 所以 |ab|10. 答案： 10 5. 在 ABC 中,点 D 是 BC 边上的点,ADABAC ,R,就 的最大值为 _解析 D 在边 BC 上,且 ADABAC,0, 0,且 1, 221 4,当且仅当 1 2时,取 “ ” 号 答案 146. 设四边形 ABCD为平行四边形,AB 6,AD 4 . 如点 M, N 满意 BM 3 MC ,DN 2 NC ,就 AM NM【答案】 9 7.设 a,b 不共线, AB 2a pb,BC ab,C

22、D a2b,如 A,B,D 三点共线,就实数 p的值为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解析BC ab,CD a2b,BD BC CD 2ab.又 A,B,D 三点共线, AB,BD共线 .A,B,设AB BD ,2apb 2ab,22,p , 1,p 1. 答案1 8.向量 e1,e2不共线, AB 3e1e2,CB e2e1,CD 2e1e2,给出以下结论：C 共线； A,B, D 共线； B,C,D 共线； A,C, D 共线,其中全部正确结论的序号为 _. 解析由ACABC

23、B 4e12e22CD,且 AB与CB不共线,可得A, C,D 共线,且B不在此直线上 .答案 才能提升9.在 ABC 中,点 M,N 满意 AM 2MC , BN NC_. .如MN xAB yAC ,就 x_；y解析由题中条件得,MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2AB AC1 2AB 1 6AC xAByAC,所以 x1 2,y 1 6. 答案11 6210.如图,经过OAB 的重心 G 的直线与 OA, OB 分别交于点 P,Q,设 OP mOA,OQnOB,m,nR,就11n m的值为 _. 解析 ：设OAa,OB b,由题意知 OG1 3ab,PQOQ OP

24、nbma,PG3 1 2OAOB OGOP1 3m a1 3b,由 P,G,Q 三点共线,得存在实数,即 nbma 3m a1 3 b,从而 m1 3m ,消去 , 使得 PQPGn1 3,得1 n 1 m3. 11.已知向量 a2e13e2,b2e13e2,其中 e1,e2不共线,向量这样的实数 , ,使向量 dab 与 c 共线？解d2e13e22e13e2 22e1 33e2,c2e19e2,问是否存在名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆要使 d 与 c 共线,就应有实数 k,使 d

25、kc,即22e1 33e22ke19ke2,名师归纳总结 即2 22k,得 2. 第 11 页,共 11 页33 9k,故存在这样的实数, ,只要 2,就能使d 与 c 共线 . 12.如图,四边形ABCD 是一个等腰梯形,AB DC,M,N 分别是 DC ,AB 的中点, 已知 AB a,AD b,DC c,试用 a,b,c 表示 BC ,MN ,DN CN. 解BC BA AD DC ab c. 由于 MN MD DA AN ,MN MC CB BN ,所以 2MN MD MC DA CB AN BN AD BC babca2bc.所以MN 1 2ab1 2c. DN CN DM MN CM MN 2MN a2b c. - - - - - - -