2022年第二十一讲应用问题解题技巧.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次十一讲 应用问题解题技巧应用问题是中学数学的重要内容它与现实生活有肯定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题 应用问题涉及较多的学问面,要求同学敏捷应用所学知识,在详细问题中,从量的关系 分析 入手,设定未知数,发觉等量关系列出方程,获得方程的解, 并代入原问题进行验证这一系列的解题程序,要求对问题要深化的懂得和 分析 ,并进行严密的推理, 因此对进展制造性思维有重要意义下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧1直接设未知元在全面透彻地懂得问题的基础上,依据题中求什么就设什么是未知数,或要求

2、几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法例 1 某校中学一年级举办数学竞赛,参与的人数是未参与人数的 3 倍,假如该年级学生削减 6 人,未参与的同学增加 6 人,那么参与与未参与竞赛的人数之比是 21求参与竞赛的与未参与竟赛的人数及中学一年级的人数分析 本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及中学一年级人数由已知条件易知,可直接设未参赛人数为 x,那么参赛人数便是 3x于是全年级共有 x+3x 人由已知,全年级人数削减 6 人,即 x+3x-6 , 而未参与人数增加 6 人时,就参与人数是未参与人数的 2 倍,从而总人数为x+6+2x+6 由,自然可列出

3、方程解 设未参与的同学有所以x 人,就依据分析,两式应当相等,所以有方程x+6+2x+6=x+3x-6,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x+6+2x+12=4x-6,所以 3x+18=4x-6 ,所以 x=24 人 所以未参与竞赛的同学有 24 人,参与竞赛的学校生有3 24=72 人 全年级有同学4 24=96 人 说明 本例如按所求量次序设参与人数为 x 人,就未参与人数为例 2 一工人在定期内要制造出肯定数量的同样零件,如他每天多做做多少个零件？定期是多少天？分析 如直接设这个工人要做 x

4、个零件,定期为 y 天,就他每天做另一方面,假如他每天少做 5 个,就要增加 3 天工期,因此,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 明显,将此两式联立,解出学习必备欢迎下载x,y 即可解 设工人要做x 个零件,定期为y 天,就他每天做x/y 个,依 分析 有方程组整理得 2+得将 x=50y 代入得y=27 , x=50y=1350 ,答 工人要做 1350 个零件,定期为 27 天例 3 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等起初每辆汽车乘了22 人,结果剩下 1 人未上车；假如有一辆汽车空着开走,那么全部旅客

5、正好能平均分乘到其他各车上已知每辆汽车最多只能容纳32 人,求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解 设起初有汽车m 辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n 人由于 m2,n32 ,依题意有名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载22m+1=nm-1 所以由于 n 为自然数,所以 23/m-1 为整数,因此m-1=1 ,或 m-1=23 ,即 m=2 或 m=24. 当 m=2 时, n=45 不合题意,舍去所以旅客人数为：；当 m=24 时, n=23 符合题意 nm-1=23 24-1=529 人答

6、起初有汽车24 辆,有乘客529 人留意 解方程后所得结果必需代入原题检验根的合理性,并依据情形做详细争论2间接设元假如对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得简单解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法例 4 如进货价降低8,而售出价不变,那么利润可由目前的p增加到 p+10 ,求p名师归纳总结 分析 此题如直接设未知元为x,就不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,就第 4 页,共 9 页下降后的进货价为0.92x 由于售出价不变,它可用以下方程式表示：x1+p =0.92x1+10+p- - - - - - -精选学习资料 - - - -

7、 - - - - - 学习必备 欢迎下载解 设原进货价为 x,就下降 8后的进货价为 0.92x 依据题意售货价不变,故有以下方程x1+0.01p=0.92x1+0.01p+10,约去 x 得1+0.01p=0.921+0.01p+10 ,所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,所以即 0.0008p=0.012,0.01-0.0092p=0.92+0.092-1,所以 p=15 答 原利润为 15例 5 甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB 两端同时相向起跑第一次相遇时离 A 点 100 米,其次次相遇时离 B 点 60 米,求圆形跑道的总长分析与解 如图 17

8、6 ,设圆形跑道总长为 2S,又设甲乙的速度分别为 V,V,再设第一次在 C 点相遇,就其次次相遇有以下两种情形：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1甲乙其次次相遇在化简得由,得解此方程得B 点下方 D 处,此时有方程组S=0 舍去 ,S=240 所以 2S=480 米经检验是方程的解2如甲乙其次次相遇在解此方程组得B 的上方 D处,就有方程组S=0 舍去 ,S=360 所以 2S=720 米经检验也是方程的解名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - -

9、 - - - - - 这样,两人可能在学习必备欢迎下载480 米或D 点处相遇,也可能在D点处相遇,故圆形跑道总长为720 米3设帮助元有时为明白题便利, 可设某些量为帮助量,得出要求的值参与列方程和运算, 最终把这些帮助量约去,例 6 从两个重量分别为 m 千克和 n 千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块, 把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克？分析与解 设切下的重量是 x 千克, 并设重 m 千克的铜合金中含铜的百分数为 q1,重 n千克的铜合金中含铜的百分数为 q2,就切下的两块中分别含铜 xq 1 和 xq2,而混合

10、熔炼后所得两块合金中分别含铜 xq1+n-xq 2和 xq 2+m-xq 1故依题意有方程解此方程得答 切下的重量为 mn/m+n 千克 名师归纳总结 例 7 甲乙两邮递员分别从A,B 两地同时以匀速相向而行,甲比乙多走了18 千米 km ,第 7 页,共 9 页相遇后甲走4.5 小时到达 B 地,乙走 8 小时到 A 地,求 A,B 两地的距离解 设甲速为 a 千米 /小时,乙速为b 千米 /小时, A,B 两地的距离为2S,依题意有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以所以 S-9/S+9=3/4 ,所以 S=63 千米 , 2S

11、=126 千米 答 A,B 两地相距 126 千米练习二十一1已知甲、乙、丙三人甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的 a 倍,乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的 乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？b 倍求丙单独做这件工作是甲名师归纳总结 2有甲乙两容量均为20 升 L的容器,甲容器内装满纯酒精,而乙为空容器自甲内第 8 页,共 9 页倒出如干酒精于乙内,再将乙其余部分注满水,将此混合溶液注满甲容器,最终自甲容器回注入乙容器62/3 升,就两容器内所含纯酒精量相等,问第一次自甲容器倒出多少酒精？3某人骑自行车从A 地先以每小时12 千米的速度下坡后,再以每小时15 千米的速度走平路到 B 地,共用了55 分钟回来时他以每小时8 千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B 地到 A 地共用了 11/2 小时,求地面上A,B 两地相距多少千米？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4有一块长方形的场地,长比宽多学习必备欢迎下载2 米的道路围围着,已知道路4 米,四周有一条宽的面积和这块土地的面积相等求这块场地的周长是多少米？5一个四位数是奇数,它的千位数字小于其他各位数字,十位数字等于千位数字和个名师归纳总结 位数字之和的2 倍,求这个四位数第 9 页,共 9 页- - - - - - -