2022年第九章立体几何的综合问题教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案9.13 立体几何的综合问题【教学目标】1、初步把握“ 立几” 中“ 探干脆”“ 发散性” 等问题的解法2、提高立体几何综合运用才能,能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系,能对图形进行分解、组合和变形；【点击双基】1.如 Rt ABC 的斜边 BC 在平面 内,顶点 A 在 外,就ABC 在 上的射影是A. 锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面 ABC 时,为一条线段,结合挑选肢,知选 D. 答案： D 2.长方体 AC1的长、宽、高分别为3、 2、1,从 A 到 C1 沿长方

2、体的表面的最短距离为A1D 11B 1C 1DCA.1+3B.2+10A2 C.32B3D.23解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案： C 3.设长方体的对角线长为4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60 ,就长方体的体积是A.272B.82C.83x,由 22+2D.16 2x=22 ,解析： 先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为2+x2=4V=2 2 22 =82 . 答案： B 4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上,就这个球的体积是_. a 3. 解析：易知球的直径2R=3 a.所以 R=3 a.所以 V= 24 R 3=3 32答案：3

3、 3 a25.已知 ABC 的顶点坐标为 面积是 _. A（1,1,1）、B（2,2,2）、C（3, 2,4）,就 ABC 的名师归纳总结 解析： AB =（1, 1,1）, AC =（ 2,1,3）,cos AB , AC =3614=42 ,7第 1 页,共 5 页sinA=7. S ABC =1 | AB |AC |sinA= 213 14 7= 6. 7272答案：6 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案【典例剖析】【例 1】 在直角坐标系0）, OS =（0,0,1）. O xyz 中, OA=（0,1,0）, AB =（1

4、,0,0）, OC =（2,0,（1）求 SC 与 OB 的夹角 的大小；（2）设 n=（1,p,q）,且 n平面 SBC,求 n；（3）求 OA 与平面 SBC 的夹角；（4）求点 O 到平面 SBC的距离；（5）求异面直线 SC 与 OB 间的距离 . 解：（ 1）如图, SC = OC OS =（2,0, 1）, OB = OA + AB =（ 1,1,0）,就| SC |=22021 2=5 ,|OB |=1 21202=2 . zSOAycos =cos SC , OB =|SCOBC | =x2500=10 , =arccos 510. SC|OB25（2） n平面 SBC, n

5、SC 且 n BC ,即nSC =0,nBC=0. SC =（ 2,0, 1）, BC =OC OB =（ 1, 1,0）,2 q=0,1 p=0. p=1,即 n=（1,1,2）. q=2,（3）OA 与平面 SBC 所成的角 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余, 故可先求 OA 与n 所成的角 . OA =（0,1,0）,|OA |=1,|n|=121 222=6 . cos OA ,n=OAn=116=6 ,6n|6 6. | OA |即 OA ,n=arccos6. = arccos 26（4）点 O 到平面 SBC 的距离即为 OC 在 n 上的投影的肯定值,名师归纳总结 -

6、 - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - d=|OC |n|=2= 6. 名师精编优秀教案n63（5） OC 在异面直线SC、OB 的公垂线方向上的投影的肯定值即为两条异面直线间的距离,故先求与SC、OB 均垂直的向量m. 设 m=（x,y,1）,m SC 且 m OB ,就 mSC =0,且 mOB =0. m|= 2=6. 2x1=0,即x=1 ,2x+y=0,y=1 . 2m=（1 ,21 ,1）, d2=| OC |m63特殊提示借助于平面的法向量,可以求斜线与平面所成的角,求点到平面的距离,类似地可以求异面直线间的距离 .此题选题

7、的目的是复习如何求平面的法向量,以及如何由法向量求角、求距离 . 【例 2】 如图,已知一个等腰三角形ABC 的顶角 B=120 ,过 AC 的一个平面 与顶点 B 的距离为 1,依据已知条件, 你能求出AB 在平面 上的射影AB1 的长吗 .假如不能, 那么需要增加什么条件,可以使AB 1=2. BB 1C A解：在条件“ 等腰ABC 的顶角 B=120 ” 下,ABC 是不能唯独确定的,这样线段AB1也是不能确定的,需要增加以下条件之一,可使 AB1=2： CB1=2； CB= 5 或 AB= 5 ；直线 AB 与平面 所成的角BAB 1=arcsin 5 ；5 ABB1=arctan2；

8、 B1AC=arccos 15 ； AB1C= arccos 7 ； AC= 15 ； B14 8到 AC 的距离为 1 ； B 到 AC 的距离为 5 ；二面角 BACB1 为 arctan2 等等 . 2 2摸索争论此题是一个开放型题目,做这类题的思维是逆向的,即如 果,再回过来考虑依据这一结果能否推出 AB1=2. AB1=2,那么能够推出什么结名师归纳总结 【例 3】 （2004 年春季北京）如图,四棱锥SABCD 的底面是边长为1 的正方形,第 3 页,共 5 页SD 垂直于底面ABCD ,SB=3 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精

9、编 优秀教案SMDC（1）求证： BC SC；（2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；（3）设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 . B规律思维剖析： 此题主要考查直线与平面的位置关系等基本学问,考查空间想象才能、才能和运算才能. （1）证法一：底面ABCD 是正方形,BCDC .SD底面 ABCD ,DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 . 由三垂线定理得 BCSC. 证法二：底面 ABCD 是正方形,BCDC .SD底面 ABCD ,SDBC.又 DCSD=D,BC平面 SDC. BCSC. （2）解法一： SD底面 ABCD ,且 ABCD

10、 为正方形,A 1SB1C 1M可以把四棱锥SABCD 补形为长方体A1B1C1SABCD ,如上图,面 CASD 与面 BSC所成的二面角就是面 ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角,A又 SD A1S, CSD 为所求二面角的平面角 . 在 Rt SCB 中,由勾股定理得 SC= 2 ,在 Rt SDC 中,由勾股定理得 SD=1. CSD=45 ,即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45 . 解法二：如下图,过点 S作直线 l AD,lSMSCBC,BC A1S, SCA1S. Bl 在面 ASD 上. DC底面 ABCD 为正方形, l AD BC. l 在面 BSC 上

11、. ABl 为面 ASD 与面 BSC 的交线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案SDAD,BC SC, lSD,lSC. CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角 . （以下同解法一）. （3）解法一：如上图,SD=AD=1, SDA=90 , SDA 是等腰直角三角形 . 又 M 是斜边 SA 的中点,DM SA. BAAD,BA SD,ADSD=D,BA面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射影 . 由三垂线定理得 DM SB. 异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90 . 解法二：如下图,取 AB 的中点 P,连结 MP 、DP. S在 ABS 中,由中位线定理得MDC PM BS. DM 与 SB 所成的角即为DMP . A P B 又 PM 2= 3 ,DP4DP 2=PM 2+DM2= 5 ,DM 2= 2 . 4 42. DMP =90 . 异面直线DM 与 SB 所成的角为90 . 【学问方法总结】【作业】名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页