2022年第二章分解因式知识点总结及例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式 式. ,这种变形叫做把这个多项式分解因2. 因式分解与整式乘法是互逆关系；因式分解与整式乘法的区分和联系 : 1整式乘法是把几个整式相乘 ,化为一个多项式 ; 2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 . 二. 提公共因式法1. 假如一个多项式的各项含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法 . 如: ab ac a b c 2. 概念内涵 :1因式分解的最终结果应当是“ 积”;2公

2、因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的安排律 ,即: ma mb mc m a b c 3. 易错点点评 :1留意项的符号与幂指数是否搞错 ;2公因式是否提“ 洁净”; 3多项式中某一项恰为公因式 三. 运用公式法,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 . 1. 假如把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式 .这种分解因式的方法叫做运用公式法 . 2. 主要公式 : 1平方差公式 : a2ab22abaabb 2a22abb2ab22完全平方公式 : 2abb2补充：欧拉公式：名师归纳总结 a333bc3 abcabc a222bcbabbcca

3、 2 第 1 页,共 7 页1abc ab2c 2ca2特殊地：（1）当 abc0 时,有 a3b3c33 abc（2）当 c0 时,欧拉公式变为两数立方和公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 因式分解要分解究竟 .如x4y学习必备2欢迎下载2y2就没有分解究竟 . 4xy2x4. 运用公式法 : 1平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方 ; 二项是异号 .2完全平方公式 :应是三项式 ; 其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ; 仍有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的

4、 2 倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤 : 1先看各项有没有公因式 ,如有 ,就先提取公因式 ;2再看能否使用公式法 ;3用分组分解法 ,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的 ; 4因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积,否就不是因式分解 ; 5因式分解的结果必需进行到每个因式在有理数范畴内不能再分解为止 . 四. 分组分解法 : 1. 分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法b. n 如: amanbmbnamn bmnam2. 概念内涵 :分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可连续分解 ,分组后是否可利用公式法连续分解因式 .

5、 3. 留意 : 分组时要留意符号的变化 . 五. 十字相乘法 : 1.对于二次三项式ax2bxc,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积,aa 1a2, cc 1c2, 且满意ba1 c2a2a1c1c 1,往往写成a2c 2的形式 ,将二次三项式进行分解. 名师归纳总结 如: ax2bxca 1xc 1a2xc2第 2 页,共 7 页2. 二次三项式2 xpxq的分解 : ax2pxqxaxbpabqab11b3. 规律内涵 :1懂得 :把x2pxq分解因式时 ,假如常数项 q是正数 ,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同 . - - - - - - -精选学

6、习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2假如常数项 q 是负数 ,那么把它分解成两个异号因数,其中肯定值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同 ,对于分解的两个因数 ,仍要看它们的和是不是等于一次 项系数 p. 4. 易错点点评 :1十字相乘法在对系数分解时易出错;2分解的结果与原式不等 ,这时通常采纳多项式乘法仍原后检验分解的是否正确 . 提公因式法1. 把以下各式因式分解（1）2 a xm2abxm1acxmaxm3a （2） a ab 32 a2 ba22 ab b2. 利用提公因式法简化运算过程例：运算123987268987456987521987136813

7、68136813683. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组2xy32,求代数式 2xy 2x3yx32xy 的值；5x3y4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n n, 322n2n 32n 肯定是 10 的倍数；5、中考点拨：例 1；因式分解 3x x 12p 2x1 2例 2分解因式：4 q32 p题型展现：例 1. 运算： 20002001200120012000200025 及 3 x44x228x5的公因例 2. 已知： x2bxc（b、c 为整数）是 x46 x2式,求 b、c 的值；例 3. 设 x 为整数,试判定105xx x2 是质数仍是合数,请说明理由；【

8、实战模拟】1. 分解因式：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）42 m n33 12 m n22mn学习必备欢迎下载（2） a x 2 n 2abx n 1acx nadx n 1（n 为正整数）3 2 2 2（3） a a b 2 a b a 2 ab b a 2. 运算： 2 11 2 10 的结果是（）100 10A. 2 B. 2 C. 2 D. 13. 已知 x、y 都是正整数,且 x x y y y x 12 ,求 x、 y；4. 证明： 81 727 99 13 能被 45 整除；2 19955.

9、化简： 1 x xx 1 xx 1 xx 1 ,且当 x 0 时,求原式的值；公式法【分类解析】1. 把 a22ab22b分解因式的结果是（ab）2ab2A. ab2B. abC. aba b2D. a22 bb 22 a2. 在简便运算、求代数式的值、解方程、判定多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2x3x2m有一个因式是2x1,求 m的值；3. 在几何题中的应用；断例：已知 a、 、c是ABC 的三条边,且满意a22 bc2abbcac0 ,试判ABC 的外形；4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差肯定是 8 的倍数；5、中考点拨：例 1：因式分解：x34xy2_；_；例 2：

10、分解因式： 2 x y 32 28 x y8xy3题型展现：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1. 已知： a1m1,b1学习必备c欢迎下载3,m2,1 2m222 求 aa2b52 ba2c3c22 bc的值；2y2 的值；例 2. 已知 abc0,ab 3c30,求证： a5bc50xyy29,求 x例 3. 如 x3y327,x2【实战模拟】1. 分解因式：（1） a223 a1 25（2） xxc2y x22yx （3） a2xy 22 a xy 3xy42. 已知： x13,求 x41的值；x4 x22

11、 bc03. 如 a, ,c是三角形的三条边,求证：a2b24. 已知：210 ,求2001 的值；33 bc33 abc,试求5. 已知 a, ,c是不全相等的实数,且abc0,a（1） abc 的值；（2） a11b11c11的值；bccaab分组分解法【分类解析】1. 在数学运算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 22 a a4a1 4 axa21分解因式,所得的结果为（）xx 32B.a2a1 2A. a2a1 22C.a2a1 2D.aa1 2例 2. 分解因式 xx 512. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满意 aba,2c2b22ac证明：以 a、b

12、、c 为三边能构成三角形3. 在方程中的应用名师归纳总结 例：求方程xyxy 的整数解第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、中考点拨例 1.分解因式： 12 mny22x2mn_；例 2分解因式：x2y_ 例 3. 分解因式：x33 x24x12_ 5、题型展现：例 1. 分解因式：m2n21 4 mnn21bd0,求 ab+cd 的值；2 例 2. 已知： ab21,2 cd21,且ac例 3. 分解因式：x32x3【实战模拟】1. 填空题：（ ）分解因式：a23 ab23 b3y33 zxy xz A,（ ）

13、分解因式：x22x4xy4y24y（ ）分解因式：1mn 1mn 3 m n32. 已知： abc0,求a32 a cabc2 b cb3的值；3. 分解因式：a5a14. 已知： x2y22 zA0, 是一个关于x y z 的一次多项式,且 x试求 A 的表达式；5. 证明： ab2ab ab2 1ab 2a1 2b1 2十字相乘法【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： x211x2240 ,求 x 的取值范畴；试求 m 的值,例 2. 假如 x4x3mx2mx2 能分解成两个整数系数的二次因式的积,并把这个多项式分解因式；2. 在几何学中的应用xyx例. 已知：长方形的长

14、、宽为x、y,周长为16cm,且满意22xyy220,求长方形的面积；3、在代数证明题中的应用名师归纳总结 例 . 证明：如 4xy 是 7 的倍数,其中x,y 都是整数,就 8x210xy32 y 是 49 的倍第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数；4、中考点拨例 1.把4x4y25x2y29y2分解因式的结果是_ ；例 2. 因式分解： 6x27x5_ 5、题型展现例 1. 如 x2y2mx5 y6 能分解为两个一次因式的积,就m 的值为（）A. 1 B. -1 C. 1D. 2 例 2. 已知： a、b、c

15、 为互不相等的数,且满意ac24bacb；求证： abbc例 3. 如 x35 x27xa有一因式 x1；求 a,并将原式因式分解；【实战模拟】1. 分解因式：名师归纳总结 （1） a b 2216ab39（2） 15 x2n7n x yn14y2n2第 7 页,共 7 页（3） x23 x222x23 x7222xx1,22x3,哪些是多项2. 在多项式 xxxx 1,2,3,22xx3,式 x22 x410x22x29 的因式？k 的值,并把原式分解因式；3. 已知多项式 2x3x213xk有一个因式,求xy92 y 的值；4. 分解因式： 3x25xy2y2x9y45. 已知： xy05,x3y12,求 3 x212- - - - - - -