2022年第二轮专题复习五-排列、组合、二项式定理、概率与统计.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次轮专题复习五【考点注视】排列、组合、二项式定理、概率与统计1 突出运算才能的考查；高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目,均是用数值给 出的挑选支或要求用数值作答,这就要求平常要重视用有关公式进行详细的运算；2 有关排列、组合的综合应用问题；这种问题重点考查规律思维才能,它一般有一至两个附 加条件,此附加条件有鲜明的特色,是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法,平常留意训练一题多解；它一般以一道挑选题或填空题的形式显现,属于中等偏难（理科）的题目；3 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题；这种问题重点

2、考查运算才能,特殊是 有关指数运算法就的运用,同时仍要留意懂得其基本概念,它一般以一道挑选题或填空题 的形式显现,属于基础题；4 有关概率的实际应用问题；这种问题既考察规律思维才能,又考查运算才能；它要求对四 个概率公式的实质深刻懂得并精确运用；文科仅要求运算概率,理科就要求运算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道挑选题或填空题、一道解答题）的形式显现,属于中等 偏难的题目；5 有关统计的实际应用问题；这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的懂得和把握,它一般以一道挑选题或填空题的形式显现,属于基础题；【疑难点拨】1 学问体系：加法原理排列随机大事的概率：离散型随机变量乘法原理组合1 等可

3、能性大事的概率的分布列、期望2 互斥大事的概率与方差3 相互独立大事的概率统计二项式定理4 独立重复试验正态分布抽样方法：简洁总体分布的估量：随机,系统,分层条形图、直方图线性回来2学问重点：（1）分类计数原理与分步计数原理；它是本章学问的灵魂和核心,贯穿于本章的始终；（2）排列、组合的定义,排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程；排列数公式的推导 过程就是位置分析法的应用,而组合数公式的推导过程就对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法；（3）二项式定理及其推导过程、二项绽开式系数的性质及其推导过程；二项式定理的推导过 程表达了二项式定理的实质,反映了两个基本计数原理及组合思想的详细应用,二

4、项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法赋值法（令 x 1）的应 用；相互独立大事（4）等可能大事的定义及其概率公式,互斥大事的定义及其概率的加法公式,的定义及其概率的乘法公式,独立重复试验的定义及其概率公式；互斥大事的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用,数原理的应用；相互独立大事的概率乘法公式对应着分步相乘计（5）（理科）离散型随机变量的定义,离散型随机变量的分布列、期望和方差；（6）简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样,总体分布,正态分布,线性回来；2 学问难点：1 排列、组合的综合应用问题；突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原

5、理）在本章学问中的核心位置；在通法上要求,第一要仔细审题,分清是排列（有序）仍是组合（无序）,或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特点,精确合理地利用两个基本原理进行“ 分类与分步”,分类时要不重不漏,分步时要独立连续；在两个公式的应用中要深刻懂得其定义中的“ 全部” 的含义,特殊是组合名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数“Cm学习必备欢迎下载” 已包含了m个元素“ 全部” 可能的组合的个数,故在平均分堆过程中就会产生n重复,而平均安排给不同的对象过程中就不用再排序；同时在本节中要留意强调转化化归数学思想的应用；2

6、二项式定理的运算；突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法就和二项绽开式的通项公式,深刻懂得“ 第k 项” “ 常数项” “ 有理项” “ 二项式系数”“ 系数” 等基本概念的区分与联系；3 概率、分布列、期望和方差的运算；突破此难点的关键在于：第一要运用两个基本原理认真审题, 弄清晰问题属于四种类型大事中的哪一种,然后精确地运用相应的公式进行运算,其中要留意排列、组合学问的应用；（理科）对于分布列要熟记一个基本型（）和三个特殊型（a b,二项分布,几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望,就必先求分布列,而求分布列的难点在于求概率,求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变

7、量“【经典题例】k ” 所对应的详细随机试验的结果；例 1：将8名同学安排到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少支配 2 名同学,那么互不相同的安排方法共有多少种？ 思路分析 依据宿舍的人数,可分为三类：“2 6” 型不同的安排方法有 C 8A 22 2种；“3 5”型不同的安排方法有 C 8A 32 2种；“4 4” 型不同的安排方法有 C 8 4种；就由加法原理得,不同的安排方法共有 C 8 2A 2 2C 8 3A 2 2C 8 4 238 种； 简要评述 此题表达了“ 先选后排” 通法的应用,属于排列组合混合问题；要留意（不）平均安排与（不）平均分堆的联系与区分；DGC形例 2：在正方形 A

8、BCD中,E,F,G,H分别为各边的中点,O为正方形中心,在此图中的九个点中,以其中三个点为顶点作三角形,在这些三角中,互不全等的三角形共有多少个？HEOF角 思路分析 依据三角形的类型分为三类：直角三形有RtHAE,RtDAE,RtDAB共3种；以边DAB 为底的三角形OAB,GAB共2种；过中点和中心的三角形有HGB,DGB,GBO共3AB种；由加法原理得,共有3238 种不同类型的三角形； 简要评述 此题表达了“ 转化化归数学思想” 的应用,属于排列组合中的几何问题,在详细方法上是运用了“ 穷举法（将全部的情形全部列出）” ；例 3：在多项式 1 x 16x 5的绽开式中,含 x 项的系

9、数为多少？3 思路分析 解 1 1x6 1x516x15x220x315x10x210x3,所以含3 x 项的系数为10605 15205 ；11 C x22 C x41x ,所以含3 x 项的系数为解 2 1x6 1x51x25 1x1 C 515；0 C C33 11 C C2 122 C C11 13 C C00 15；解 3 由组合原理5555 简要评述 此题重点考查对二项式定理的本质的懂得和运算才能；例 4：从数字0,1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（答应重复）组成一个三位数,其各位数字之和等于6的概率为多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学

10、习资料 - - - - - - - - - 思路分析 此题的基本领件是由学习必备欢迎下载0 的条件下组成三位数,根6 个不同的数字答应重复而且含据乘法原理可知基本领件的全体共有 5 6 6A 分为六类：数码 5,1, 0组成不同的三位数有180个；设三个数字之和等于 6 的大事为 A ,就2 1A C 个；数码 4, 2, 0组成不同的三位数有2 1 1 1A C 个；数码 4,1,1 组成不同的三位数有 C 个；数码 3,3,0 组成不同的三位数有 C 个；数3码3,2,1组成不同的三位数有 A 个；数码 2,2,2 组成不同的三位数有 1个,依据加法原理,大事 A 共有2 A C12 A

11、C1C1C13 A 3120个；故P A 201；18092232 简要评述 此题考查等可能性大事的概率和互斥大事的概率,重点在于利用排列组合学问求各个基本领件的总数；100 2 100例 5：如 1 2 e 0 e 1 1 x e 2 1 x e 100 1 x , e i R i 1,2,3, , 就e 0 e 1 e 2 e 100,e 0 e 1 e 2 e 100；100 100 思路分析 将条件等式的左右两边比较,可知变形 1 2 3 21 x ；100利用赋值法,令 1 x 1,就有 e 0 e 1 e 2 e 100 3 2 1 1；100 100令1 x 1,就有 e 0 e

12、 1 e 2 e 100 3 2 1 5； 简要评述 此题考查二项绽开式系数的性质,在详细方法上是运用了通法“ 赋值法”；例 6：从1,3,5,7 中任取 2 个数字,从0,2,4,6,8中任取 2 个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的不同四位数共有 个； 思路分析 由已知,此四位数的末位只能是 0 或 5,且 0 不能在首位,故 0,5 为特殊元素,而1 2 3且二者中至少要选一个；依据题意,可分三类：有 5无 0 ,不同的四位数有 C C A 个；有 0 无2 1 3 1 1 35 ,不同的四位数有 C C A 个； 0,5 同时存在,当 0 在末位时,不同的四位数有 C C

13、 A 个,1 1 1 2当5在 末 位 时 , 不 同 的 四 位 数 有 C C C A 2 个 ； 所 以 满 足 条 件 的 不 同 的 四 位 数 共 有1 2 3 2 1 3 1 1 3 1 2C C A 3 C C A 3 C C 4 A 3 C A 2 300 个； 简要评述 此题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题,基本解题模型为： 分为三类；第一类,两个中一个都不考虑；其次类,两个中考虑一个；第三类,两个都考虑；留意在详细求解中其中“ 先选后排”“ 位置分析法” 等通法的运用；例 7：鱼塘中共有 N 条鱼,从中捕得 t 条,加上标志后立刻放回塘中,经过一段时间,再

14、从塘中捕出n条鱼,发觉其中有 s 条标志鱼；（1）问其中有s条标志鱼的概率是多少？（2）由此可估量塘中共有多少条鱼（即用 t n s 表示N ）？n 思路分析 （1）由题意可知,基本领件总数为 C N；鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼 t 条,s无标志的鱼 N t 条,从而在捕出 n 条鱼中,有标志的 s 条鱼有 C 种可能,同时无标志的s n sC C N tn s s n s n n s 条鱼有 C N t 种可能,就捕出n条鱼中有s条鱼共有 C C N t 种可能；所以概率为 C N；s n nt, N（2）由分层抽样可知,t N s （条）； 简要评述 此题考查等可能性大事的概率和统计学

15、问,重点要留意 “ 鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性；例 8：某宾馆有6间客房,现要支配4 位旅行者,每人可以进住任意一个房间,且进住各房间名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是等可能的,求以下大事各的概率：（1）大事 A ：指定的 4 个房间各有 1人；（2）大事 B ：恰有 4 个房间各有 1人；（3）大事C：指定的某房间中有 2人；（4）大事 D ：一号房间有 1人,二号房间有 2 人；（5）大事 E ：至少有 2 人在同一个房间； 思路分析 由于每人可以进住任一房间,进

16、住哪一个房间都有 6 种等可能的方法, 依据乘法原理, 4 个人进住6个房间有 6 种方法,就（41）指定的 4 个房间中各有 1人有 A 种方法,44P A A 44 16 54；4 4（2）恰有4个房间各有1人有 C A 种方法,4 4 P B C A6 4 418 5；（ 3）从4人中选2人的方法有 C 4 2种 , 余 下 的 2 人 每 人 都 可 以 去 另 外 的5个 房 间 中 的 任 一 间 , 有 5 种 方 法 ,22 2P C C 46 4 5216 25；（4）从 4 人中选 1人去一号房间的方法有 C 种,从余下 3人中选 2 人 11 2去二号房间的方法有 C ,

17、再余下的 1人可去 4个房间中的任一间,2 P D C C6 34 427 1；（5）从正面考虑情形较复杂,正难就反,“ 至少有 2 人在同一个房间” 的反面是“ 没有 2 人在13P E P B 1 P B 同一个房间,即恰有 4 个房间各有 1人” ,18； 简要评述 此题考查等可能性大事的概率和互斥大事的概率,留意排列组合学问的运用；1例 9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题,已知该题被甲解出而乙解不出的概率为 4 ,被乙1 2解出而丙解不出的概率为 12 ,被甲、丙两人都解出的概率是 9 ；（1）求该题被乙独立解出的概率；名师归纳总结 （2）（文科）求该题被解出的概率；（理科）求解出该

18、题人数的分布列和数学期望；第 4 页,共 8 页 思路分析 （1）设A B C 分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的大事；由已知就有P A B1,P A 1P B 1,P A 1,344P B C1,P B 1P C 1,P B1,12124P A C2.即P A P C2.由此方程组解得P C2.所以该题被乙独立解993出的概率为P B 1；（2）（文科）记 D 为该题被解出,它对应着甲、乙、丙三人中至少有一4人解出该题,就P D1P D11P A 1P B1P C12 3 15；3 4 36（理科）P0P A P B P C1,P3P A P B P C1,618P1P A P B

19、P CP A P B P CP A P B P C17,36P 2P A P B P CP A P B P C P A P B P C11；36- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以随机变量0的分布列为：211学习必备5欢迎下载2310P1；117116363618期望为E111731 18636364 简要评述 此题考查相互独立大事的概率和互斥大事的概率,同时考查函数方程数学思想和运算才能；理科仍考查分布列和数学期望,在解题过程中特殊要留意,真正弄清每一个随机变量“k ” 所对应的详细随机试验的结果；例 10：某一汽车前进途中要经过3 个红绿灯路口；

20、已知汽车在第一个路口,遇到红灯和遇到绿1 1灯的概率都是 2 ；从其次个路口起,如前次遇到红灯,就下一次遇到红灯的概率是 3 ,遇到绿2 3 2灯的概率是 3 ；如前一次遇到绿灯,就下一次遇到红灯的概率是 5 ,遇到绿灯的概率是 5 ；求：（1）汽车在其次个路口遇到红灯的概率是多少？（2）（文科）在三个路口中,汽车遇到一次红灯,两次绿灯的概率是多少？（理科）汽车在经过三个路口过程中,所遇到红灯的次数的期望是多少？ 思路分析 依据相互独立大事同时发生的概率的乘法公式可得,（1）P 111137；232515（2）（文科）P 212213212334；23525325575,就有（理科）要求期望,

21、就必需先求分布列；设汽车所遇到红灯的次数为随机变量P01222,P31111,2552523318P 112213212334,235253255753P211212313137,故得分布列233235253900121P2343718257590所以E0213423731649；25759018450同时仍考查互斥 简要评述 此题重点考查相互独立大事的概率乘法公式的本质同时发生,大事的概率；在详细解题中留意与递推有关的概率的运算；【热身冲刺】名师归纳总结 一、挑选题：第 5 页,共 8 页1用0,1,2,3,4,这五个数字组成没有重复数字的全部五位数中,如按从小到大的次序排列,就数字1234

22、0应是第（ D）A6个B8个C9个D10个2从5位男老师和 4 位女老师中, 选出3位老师分别担任3 个班级的辅导员,每班一位辅导员,要求这3位辅导员中男、女老师都要有,就不同的选派方案共有（B）A210种B420种C630种D840种- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3有两排座位,前排 11个座位,后排 12个座位；现支配 2 人就座,规定前排中间的 3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,那么不同的排法的种数是（ B ） A 234 B 346 C 350 D 3634长方体8个顶点中,以任意 3个为顶点的全部三角形中,锐角三角形

23、共有（A ） A 8 个 12 个 C 16 个 D 20 个5从编号为1,2,3,4,5,6 的六的小球中任取 4个,放在标号为 A B C D 的四个盒子里,每盒一球,且 2 号球不能放在 B 盒中, 4 号球不能放在 D 号盒中,就不同的放法种（C） A 96 B 180 C 252 D 2802 1 3 x 2 26x 绽开式中的常数项是（C） A 15 B 15 C 20 D 207某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5 ；现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16件,就此样本的容量为（B） A 40 B 80 C 1

24、60 D 3208某校高三年级举办一次演讲竞赛,共有 10位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他班级有5位；如实行抽签的方式确定他们的演讲次序,就一班的3位同学没有被排在一起,而二班的 2 位同学恰好被排在一起（指演讲的序号相连）的概率是D1（A ） 1 1 11216202419某人射击一次命中目标的概率是 的概率是3 ,就此人射击 5 次,有 3次命中目标且恰有两次连续命中（D）80 64 40 24 A C D 243 243 243 24310在17世纪的一天,保罗与梅尔进行赌钱嬉戏；每人拿出 6 枚金币,然后玩骰子,商定谁先胜三局谁就得到 12枚金币（每局均有胜败）；竞

25、赛开头后,保罗胜了一局,梅尔胜了两局,这时一件意外的事情中断了竞赛,于是他们商议这12枚金币应当怎样安排才合理；据此,你认为合理的安排方案是保罗和梅尔分别得到金币（ D）1；如从中摸A6枚,6枚 5枚,7枚C4枚,8枚D3枚,9枚二、填空题：11如12 2005a 0a xa x2a 2005x2005,xR ,就a 0a 1a 0a2a 0a2005；（2003）12口袋内装有10个相同的小球,其中5个小球标有数字0 , 5个小球标有数字13名师归纳总结 出5的小球,那么摸出的5个小球所标数字之和小于2 或大于3的概率是（63 ）第 6 页,共 8 页13抛掷一枚硬币如干次,每次正面对上得1

26、分,反面对上得2 分；521（文科）就恰好得到3分的概率为（8 ）（理科）就恰好得到5分的概率为（32 ）14已知从甲地到乙地的海底光缆有15 个接点, 其中有一个接点发生故障,为了准时排除故障,需要尽快肯定故障发生点；以A B C 三个接点为例,检查接点B 的方法如下：在接点B 处分别检查AB BC 两段,如两段都有问题,就可肯定B 点存在问题；如只有一段存在问题,就接点正常；设至少需要检查的接点数为x 个,就 x 的最大值为；（3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、解答题：15某仪器显示屏上的每个指示灯均以红色或蓝色来表示两种

27、不同的信号,已知一排有 10个指示灯；求分别满意以下条件时,显示屏共能显示的不同的信号数的种数；（1）要求每次显示其中的3个,且恰好有2 个相邻的同时显示；992；（2）要求每次显示其中的4 个,且恰有 2 个相邻的同时显示；简解（1）2 A 823448或2 C C1 223448；（2）3 1 4C C 32168016已知3x22 3 xn绽开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大（1）求绽开式中二项式系数最大的项；（ 2）求绽开式中系数最大的项；简解由题意,1n 3 12n992,n5,T r1210 4rr C 5x35r3x2r3rr C x3,（1）绽开式中二项式系数最大的项

28、是T 32 32 C x1822223906 x ,T 43 33 C x3270x3；k 3k C 5k 31k C 51,4,T 5344 C x26405x26为所求的系数（2）由k 3k C 5k 31k C 51.解得3.5k4.5,k33最大的项；17甲、乙两人参与一次测试,已知在备选的 10道试题中,甲能答对其中的 6道题,乙能答对其中的8道题,规定每次测试都从备选题中随机抽取出 3题进行测试,至少答对 2 题才算合格；（1）（文科）分别求甲、乙两人测试合格的概率；（理科）求甲答对测试题数 的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率；简解 （1）（ 文科）

29、甲合格的概率为P 12 1C C 6 43 C 62,乙合格的概率为P 22 1C C 8 23 C 814；3 C 1033 C 1015（理科）名师归纳总结 0123；第 7 页,共 8 页P1311301026所以E011321319；3010265（2）两人中至少有一人合格的概率为P11P 11P 211211444；3154518设掷一颗匀称的正方体玩具两次,此玩具的六个表面分别刻有数字1,2,2,3,3,3 ；（文科）求掷得的点数之和小于5的概率；（理科）设为掷得的点数差的肯定值,求E简解 （文科）P11212213225；（理科）6666666612012P14166363636

30、14 16 6 7E 0 1 2所以 36 36 36 9；19在n个大小相同的匀称的球中,有白球 m 个；（1）不放回地逐个抽取 s 个小球,求其中恰有 t 个白球的概率；（2）每次抽取后又放回地逐个抽取 s 个小球,求其中恰有 t 个白球的概率；（3）（理科）每次抽取后又放回地逐个抽取s 个小球,求其中白球个数的期望和方差；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 8 页,共 8 页简解1 P 1t s tC C n m;2P 2t C smt 1ms tt C st m ns nm s t；s C nnn3B s ,m,Esmsm,Dsm1msm n2m ；nnnnnn20甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.5,被甲解出而乙解不出的概率为0.05；（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）（文科）求恰有 1人能解出这道题目的概率；（理科）求解出该题人数的期望与方差；简解10.9;2 （文科） 0.5；（理科）E1.4,D0.34；- - - - - - -