2022年第六部分三角函数任意角三角比及诱导公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课学习好资料欢迎下载复习课课时4 任意角三角比及诱导公式课型题学问目标： 让同学熟悉三角函数推广的必要性,经受三角函数的推广的过程,增强对数的懂得才能才能目标： 懂得和把握三角函数的定义,在此基础上探究与争论三角函数定义域、三角函数值的符 号和诱导公式,并能初步应用它们解决一些问题教 情感态度与价值观：通过对任意角的三角函数的学习,初步体会数学学问的发生、进展和运用的过学 程,提高同学的科学思维水平目 标教 材 分 析A保底 B（标准）C培优 把握任意角的三角函数的定义,会求懂得并把握三角函数在各象限把三角函数懂得为以实数的符号及终边相同角的诱

2、导公为自变量的函数,以及单角 的各三角函数值；式,位圆的应用；教学重点懂得任意角的三角函数的定义教学难点会求任意角的三角函数值这节课是在中学学习的锐角三角函数的基础上,进一步学习任意角的三角函 数任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的三角函数的定义是本章教教材分析学内容的基本概念和重要概念,也是学习后续内容的基础,更是学好本章内容的关 键因此,要重点地体会、懂得和把握三角函数的定义在此基础上,这节课又进一步研讨了三角函数的定义域,函数值在各象限的符号,以及诱导公式,这既是对三角函数的简洁应用,也是为学习后续内容做了必要预备；在中学,我们只是学习了锐角三角函数,现在学习的是任意角的三角函数

3、定义的对象从锐角三角 函数推广到任意角的三角函数,从四种三角函数增加到六种三角函数定义的媒介就从直角三角形 学 改为平面直角坐标系为了便于同学体会和懂得,突出定义适用于任意角,通常要把终边显现在四 情 个象限的情形都画出来（留意表示角时不用箭头）,学习时,必需弄清并强调：六个比值的大小都 分 与点 P 在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关,即它们都是以角为自变量,以比值为函数值 析 的函数,符合函数的定义,从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式,可放手让同学探究、争论、争论和归纳,用以培育同学的数 学思维才能考 点 分 析从近几年的高考

4、考察的方一直看,这部分的高考题以挑选、解答题显现的机会较多,有时候也以填 空题的形式显现,它们常常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察,主要题型有三角函数求 值,通过三角式的变换争论三角函数的性质；教学设计可能教学内容设计意图显现的问名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载题与计策教【学问网络】中学我对于第 2 页,共 11 页正角: 按逆时针方向旋转形成的角们学习过锐角三角函1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角数,知道它定义,2、角的顶点与原点重合,角的始边

5、与x 轴的非负半轴重合,终边落在第们都是以锐摸索几象限,就称为第几象限角角为自变如下第一象限角的集合为k360k36090 ,k问题：量,由其所其次象限角的集合为k36090k360180 ,k在的直角三1. 当角形的对应角 确第三象限角的集合为k360180k360270 ,k定后,边的比值为比值第四象限角的集合为k360270k360360 ,k函数值,并与 P 点且定义了角的位终边在 x 轴上的角的集合为k180 ,k置有 的正弦、余关终边在 y 轴上的角的集合为k18090 ,k弦、正切、吗？余切的三角为什终边在坐标轴上的角的集合为k90 ,k么？函数这节学3、与角终边相同的角的集合为

6、k360,k课,我们研2. 利究当 是一用坐过* 4、已知 是第几象限角,确定 n 所在象限的方法：先把各象限均n分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,标法个任意角时定义的三角函数三角函数的定义就原先是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域与利程5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度1. 由于角的用直角三6、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l ,就角的弧度数的肯定值是角形l r定义三角7、弧度制与角度制的换算公式：2360 ,1180,118057.3函数有什么关8、如扇形的圆心角为为弧度制,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,系？面积为

7、 S ,就 lr,C2 rl ,S1lr1r23. 任集合与实数22集之间可以意角 名师归纳总结 9、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,x y ,它建立一一对的正应的关系,弦、余与 原 点 的 距 离 是r rx22 y0, 就 siny, cosx,三角函数可弦、正rr以看成以实切都tany x x0数为自变量有意的函数,如义10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三吗？象限正切为正,第四象限余弦为正- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x,sina,为什11、三角函数线 （如图）：sin, co

8、s,ytan么？12、同角三角函数的基本关系：PT不论 取任1 sin22 cos1何实数,OMA恒有意义,sin212 cos,cos21sin2；所以 sina 的2sintansintancos,cossin定义域为 costanR类似地,13、三角函数的诱导公式：争论 cosa,1 sin 2 ksin,cos 2 kcostana,cota 的定义域tan 2ktank2. 依据2 sinsin,coscos,tantan三角函数的定义以及 x,3 sinsin, coscos, tantany,r 在不同4 sinsin, coscos, tantan象限内的符号,争论5 sin2

9、cos, cos2sinsina, cosa,tana,cota 的6 sin2cos, cos2sin值在各个象限的符号【典型例题】1设6,3,且17的终边与角的终边相同, 就 tan,等于（）A 21B 2C 21D 1 kZ1提示 : 与角终边相同的角的集合是2k2假如是第一象限角, 那么恒有2cos（）A sin20B tan21C sin2cos2D sin22提示 :利用三角函数线3 .如 tan3 ,就4sin2cos的值等于5cos3sin；面积（A）5（ B）5（C）1（D）779753提示 :用公式tansincos4已知扇形的半径为10 ,圆心角为 120 ,就扇形的弧长

10、为为名师归纳总结 20 , 100 32 第 3 页,共 11 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4提示 :利用弧长公式 lr学习好资料S1欢迎下载及扇形面积公式lr ,留意圆心角的单位2化为弧度名师归纳总结 5已知sin54004,就cos0 270 第 4 页,共 11 页554提示：利用诱导公式5例 2如 tan2 ,求（ 1）sin coscos的值；sin（2）2sin2sincoscos2的值解（ 1）cos cossin1tan1232 2sin1tan12（2）原式2sin2sincos22 cos2tan22tan1sin2cos

11、tan14215233例 3如sincos1,4,2,求cossin的值8解：cossin22 cossin22sincos11344, 4 2,cossincossin32例 4已知f sin2cos2 tan3 tansin2（1）化简f；（2）如是第三象限的角,且cos31,求f 的值；25（3）如0 1860 ,求f的值解：（1）fcoscostancostancos（2）cos3sin2sin1,又是第三象限的角5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）cos学习好资料26,欢迎下载6=-1sin211f2255518600636003000

12、cos 6ff0 1860 0 cos 1860 0 300 cos600136002【课内练习】1如 sin 3 ,cos 4 , 就角 2 的终边在（）5 5A第一象限 B其次象限 第三象限 第四象限1 提 示；由 sin 2 2sin cos 24 0,252 2 7cos2 cos sin 0252已知 sin k 1,cos 4 3 k ,且 是其次象限角,就 k 应满意的条件是 Ak 4k 1 k 8k 13 52 22 提示：由 sin 0,cos 0 及 sin cos 1 可得3已知1 sin x 1, 那么 cos x 的值是（）cos x 2 sin x 1A1 B1 2

13、 221 sin x sin x 1 sin x 13 提示：2 1cos x cos x cos x4设 是第三象限角,且 cos cos , 就 是（）2 2 2A第一象限 B其次象限 第三象限 第四象限4 提示：由设 是第三象限角知 是其次、四象限角,再由 cos 02 2可得名师归纳总结 5函数f x 满意fcos 1x 05x,就fsin4,就第 5 页,共 11 页2355 12cos5 6提示：sin4sin2366如角和的终边关于直线xy0对称,且3角的集合是；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 62 k6,kZ学习好资料欢迎下载的终提示

14、：由对称性知,角的终边与6边相同7已知tan1,就2sin1cos23cos710 3提示：将分子写成1sin2cos2然后用弦化切可得8已知角的终边经过点P3,mm0,且sin2m,试判定角4所在的象限,并求cos和tan的值,m0,m5解：由题意,得r32 m,3m22m4故角是其次或第三象限角3,5 ,当m5 时,r2 2,点 P的坐标为 cosx36,tany515r2 24x33当m5 时 ,r2 2,点 P 的坐标为 3,5 ,cosx36, tany515r2 24x339已知：是三角形的内角,如sincos1,求tan的值5解；由sin22 cos11解得sin43或sin43

15、55sincoscoscos555sin4 5 3 50,sin0所以cos所以tansin4cos310已知关于 x 的方程 4x 22m+1x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实数 m 的值解：设直角三角形的两个锐角分别为 、 ,就可得 + =,cos =sin名师归纳总结 方程 4x 22m+1x+m=0 中, =4（m+1 244m=4m120 第 6 页,共 11 页当 m R,方程恒有两实根. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载又 cos +cos =sin +cos = m 1,cos cos

16、=sin cos = m2 4由以上两式及 sin 2 +cos 2 =1,得 1+2m = m 1 24 2解得 m=3当 m= 3 时,cos +cos = 3 10,cos cos = 3 0,满意题2 4意,当 m=3 时, cos +cos =1230,这与 、 是锐角冲突,应舍去 . 综上, m= 3A 组1如cos,0且sin2,0就角的终边所在象限是（）C第三象限D第四A第一象限B其次象限象限1提示： cos0,且sin22sincos0可得D1,3 2y =|sin sinx|cosx| tanx|的值域是x|cosxtanxC 1,3 A1,1 B 1,1,3 2提示：争论

17、角在四个象限的情形3如 fcosx=cos2x,就 fsin15 的值等于名师归纳总结 A1B1C3D3第 7 页,共 11 页22223提示：sin150cos7504运算sin7cos23tan11cos13364345 4提示：利用诱导公式5已知角的终边上一点与点 3,2 关于轴对称,角的终边上一点与点关于原点对称,那么sinsin的值等于5提示：由题设条件求出点、点的坐标,从而依正弦函数的定义求 sin、 sin6已知sin3 =1,求4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载cos cos 2 的值cos cos 1 cos 2

18、 cos cos 解： sin（3 ） sin ,sin 14原式cos cos1 1cos cos 1 cos cos cos 1 cos 1 cos22 2232 1 cos sin7假如角 的终边经过点 M（1,3 ）,试写出角 的集合 A,并求集合 A中最大的负角和肯定值最小的角 . 解：在 0 到 360 范畴内,由几何方法可求得 =60 . A= | =60 +k360 , kZ 其中最大的负角为300 （当 k=1 时）肯定值最小的角为 60 （当 k=0 时）2 28已知 tan 是方程 x x 1 0 的两个根中较小的根,求 的值cos解 ： 由 题 意 知 ：tan 2 2

19、tan 1 0, 解 得 sin 1, 故cos 23cos201 当 cos 3时 , 原 方 程 为 3 x 24 x 3 0, 解 之 得23x 1 3, x 23故 tan 3 ,所以 k 2, k Z32 0当 cos 3时 , 原 方 程 为 3 x 24 x 3 0, 解 之 得23x 1 3, x 23故 tan 3,所以 k , k Z3 6B 组名师归纳总结 1已知点Psincos,tan在第一象限,就在0 , 2,内的取值范畴第 8 页,共 11 页是（）（ B）2,5 43,5 44（A）2,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

20、学习好资料 欢迎下载（C）, 3 5, 3（D）, 3,2 4 4 2 4 2 41D 提示：由 sin cos 0 且 tan 0, 及三角函数线可得；k 3sin2假如满意条件 k 5,就 是（）4 2 kcosk 5其次象限的角 其次或第四象限的角第四象限的角 第一或第三象限的角2 22 提示：sin cos 1 可得31 2 sin 2 cos 2 等于（）A sin2cos2 Bcos2sin2 C （ sin2 cos2 ）Dsin2+cos2 2 23提示：1 2sin 2cos 2 sin 2 cos 2 2sin 2cos 22sin 2 cos2 及 sin 2 cos2

21、0可得4已 知：cos75 0 1 , 且 180 090 , 0就 cos15 032 2 0 0 0 0 04提示；由 105 75 15 ,cos75 0 可知 753是 第 四 象 限 角,所 以0 0 2 0 2 2cos15 sin75 1 cos 75 35在直角坐标系中,O 为坐标原点,角 和 的终边为 OA 和 OB,OA 过点M sin ,cos , 0, ,OA 与 OB 关于直线 y x 对称,就角 的的2集合是；52 k , k Z 提示； OB 过点 cos , sin ,的终边为OB 6已知0,2 ,sin和cos是方程2 xkxk10的两个根,求 k 和的值名师

22、归纳总结 解：sin和cos是方程的两个根30解得k1 或k3第 9 页,共 11 页sincoskkk22 ksincos1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sincos2,k学习好资料欢迎下载1,27如 kZ,求证：sinsinkcos k 1k1cosk1 证明：【法一】如 k 为偶数,就sincos 1,左端sinsincoscossincos如 k 为奇数,就左端sinsincossincos 1cossincos8已知一扇形的周长为cc0,当扇形的弧长为何值时,它有最大面积？并求出面积的最大值解：设扇形的半径为R,弧长为 l,面积为 Sc2

23、. c=2R+l, R=c2llc 就 S=1 Rl= 21 2c2l l=1cll2=1l2cl=1lc 2+216444c2当 l=c 时, Smax= 2c216答：当扇形的弧长为c 时,扇形有最大面积,扇形面积的最大值是 216这节课在设计上特殊留意了以下几点：前后学问的联系,学问的产生、进展过程,如任意角的本 课 小 结三角函数的定义, 由中学所讲 “ 0360 ”的情形逐步过渡到“任意角 ”的情形, 讲清了推广的必要性及意义留意了学问的探究,如三角函数值在各象限的符号,及诱导公这里由同学自己去争论,争论,探究得出一般性结论,培育了同学猎取学问、探究学问的才能,强化了自主学习的意识留意了跟踪练习的设计名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载课 后 作 业课 后 反 思名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页