2022年第一讲不等式的基本性质含有绝对值的不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第一讲 不等式的基本性质、含有肯定值的不等式1两个实数大小关系的基本领实 ab. _ ab. _ ab,那么 _；假如 _,那么 ab. 即 ab. _. 2传递性：假如 ab,bc,那么 _即 ab,bc. _. 3可加性：假如 _,那么 acbc. 4可乘性：假如 ab,c0,那么 _；假如 ab,c15乘方：假如 ab0,那么 a n_b6开方：假如 ab0,那么n a_n bnN,n13肯定值三角不等式 1性质 1：|ab|_. 2性质 2：|a|b|_. 3性质 3：_|ab| _. 4肯定值不等式的解法1含肯定

2、值的不等式|x|a 的解集a0a0a0 不等式|x|a 2|axb|c c0和 |axb|c c0型不等式的解法 |axb|c. _；|axb|c. _. 3|x a|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法 利用肯定值不等式的几何意义求解,表达了数形结合的思想；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载利用“ 零点分段法” 求解,表达了分类争论的思想；通过构造函数,利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思想1判定下面结论是否正确请在括号内打“ ” 或“ ” 1|x a|xb|的几何意义是表示数轴

3、上的点x 到点 a,b 的距离之和 2不等式 |a|b|ab|等号成立的条件是ab0. 3不等式 |ab|a|b|等号成立的条件是ab0. 2不等式 |2x1|x2|0 的解集为 _3不等式 1|x1|0 的解集为 _*的解集为A,且3 2A,1 2.A.就 a 的值为 _. x52022 福建改编 设不等式 |x2|aaN题型一肯定值三角不等式定理的应用例 1“ |xA| 2且|yA| 2” 是“|xy|” x,y,A,R的_条件思维升华 对肯定值三角不等式定理的懂得留意以下三点：1两端的等号成立的条件在解题时常常用到,特殊是用此定理求函数的最大 小值时2该定理可以推广为 |ab c|a|

4、|b|c|,也可强化为 |a|b|ab|a|b|,它们常常用于含肯定值的不等式的推证3当 ab0 时, |ab|a| |b|；当 ab0 时, |ab|a|b|. 1设 a,b 是满意 ab|ab| |ab|ab| |ab|a|b| |ab|a|b| 2已知命题 p：|a|1,且 |b|2,命题 q：|ab|a. 如不等式有解,就实数 a 的取值范畴为 _如不等式的解集为 R,就实数 a 的取值范畴为 _ 如不等式的解集为 .,就实数 a 的取值范畴为 _ 已知函数 fx|xa|. 1如不等式 fx3 的解集为 x|1x5 ,求实数 a 的值；2在1的条件下,如fxfx5m 对一切实数x 恒成

5、立,求实数m 的取值范畴肯定值不等式的解法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典例： 5 分不等式 |x1|x1| 3 的解集为 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载A 组 专项基础训练1不等式 |2x1|6 的解集为 _6不等式 |x1|x2|k 的解集为 R,就实数 k 的取值范畴为 _7 如 果关 于x 的 不等式 |x a| |x 4|1 的 解 集 是R ,就 实数a 的 取 值 范

6、畴 是_ 82022 重庆 如关于实数 x 的不等式 |x5|x3|0 的解集为 _10如不等式 |3x b|a 对于一切xR 恒成立,就实数a 的取值范畴是 _第 5 页,共 12 页6对于实数x, y,如 |x1|1,|y2|1,就 |x 2y1|的最大值为 _7设函数fx|x3|xa|,假如对任意xR,fx 4,就 a 的取值范畴是 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载答案基础学问自主学习要点梳理1ab0ab0a b0 ac6 21bababcac3 ab4acbc31|a| |b|2|ab|3|a|b|a|b| 41 x|

7、axa 或 xa x|xR 且 x 0R2 c axb cax bc 或 axb c夯基释疑11232 x|1x1 解析 方法一 原不等式即为 |2x 1|x2|,4x 24x1x 2 4x4, 3x 23, 1x1. 方法二 原不等式等价于不等式组1 x 2,或 2x2,2x1 x2 0,2x1 x2 0.1或 x2, 2x1 x2 0.不等式组 无解,由 得1 2x1,由 得 1x12. 综上得 1x1,所以原不等式的解集为 x|1x1 1 134, 2 0,2 4.,30,3 51 解析由于3 2A,且 1 2.A,所以 |3 22|a,且 |1 22|a,解得 1 2a3 2.又由于a

8、N*,所以a1. 题型分类深度剖析名师归纳总结 例 1充分不必要 2,就有 |xy|xAAy| |xAAy|x A|yA|第 6 页,共 12 页解析如|xA| 2,|yA|2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 2.|xA| 2,|yA| 2是|xy| 成立的充分条件反之,如 |xy|,就可以取 |xA|3 4,|yA| 4使得条件 |xA| 2,|yA| 2得不到满意因此, |x A| 2,|yA| 2是|xy| 成立的充分而不必要条件跟踪训练 1 1 2充分不必要例 2 1 x|x1 或 x4 2 3,0 2x 5,x2,解析

9、1当 a 3 时, fx1,2x3,2x5,x3.当 x2 时,由 fx3 得 2x53,解得 x1；当 2x3 时, fx3 无解；当 x3 时,由 fx3 得 2x53,解得 x4. 所以 fx 3 的解集为 x|x1 或 x4 2fx|x4|. |x4|x2|xa|. 当 x1,2 时, |x4| |x 2| |xa| . 4x2x|xa|. 2ax2a. 由条件得 2a 1 且 2 a2,即 3a0. 故满意条件的 a 的取值范畴为 3,0跟踪训练 2 11 , 2 x|x1 解析 1方法一 不等式等价转化为 |x1|x 3|,两边平方得 x1 2x3 2,解得 x 1,故不等式的解集

10、为 1, 方法二 不等式等价转化为 |x1|x3|,依据肯定值的几何意义可得数轴上点 x 到点 1的距离大于等于到点 3 的距离,到两点距离相等时 x1,故不等式的解集为 1, 2原不等式可化为名师归纳总结 x 3,或3x2,或x2,第 7 页,共 12 页x3x23x3x23x3x 23,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载x.或 1x2 或 x2.不等式的解集为 x|x1 例 3 a4 a4 a 4 解析 由|x1|x 3| |x1x3|4. |x3|x1|x3x1|4. 可得 4|x1|x3|4. 1如不等式有解,就 a4；2

11、如不等式的解集为 R,就 a4；3如不等式解集为 .,就 a 4. 跟踪训练 3 解 方法一 1由 fx3 得|xa|3,解得 a3x a3. 又已知不等式 fx3 的解集为 x|1x5 ,a3 1,所以 解得 a2. a35,2当 a2 时, fx|x 2|,设 gxfx fx5,2x1, x2.所以当 x5；当 3x2 时, gx 5；当 x2 时, gx5.综上可得, gx的最小值为5. x 恒成立,就m 的取值范畴为 ,5从而,如 fxfx5m,即 gxm 对一切实数方法二1同方法一2当 a2 时, fx|x 2|.设 gxfxfx5由|x2|x3|x2 x 3|5当且仅当 3x2 时

12、等号成立 ,得 gx的最小值为5. 从而,如 fxfx5m,即 gxm 对一切实数x 恒成立,就m 的取值范畴为 ,5练出高分A 组名师归纳总结 11,22. x|x3 第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载30,4 解析 由|x2|1|1 得 1|x 2| 11,|x2|0解 得 0x4.不等式的解集为 0,4 |x2|214. 3解析 由肯定值的几何意义知：使|x1|x2|1 成立的 x 值为 x 1,3 ,由几何概型知所求概率为 P31332 61 3. 5, 13, x2解析 由题意知,原不等式可化为x

13、12x461x6 x12x46解得 x3 或 xk 恒成立 AB3,即 |x 1| |x2| 3. 故当 k3 时,原不等式恒成立7, 5 3, 解析在数轴上,结合肯定值的几何意义可知a5 或 a 3. 8, 8 解析|x5|x 3| |5 x|x3|5xx 3|8,|x 5|x3| min8,要使 |x5|x3| 4解析 依据肯定值的几何意义,去掉肯定值号后求解当 x1 2时,原不等式可化为12x2 x10,整理得 30,无解名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载当1 20 ,整理得 4x10,

14、即 x1 4, 1 41 时,原不等式可化为 2x 12x10,整理得 30.此时不等式的解集为 x1. 1原不等式的解集为 x 41 1 x x 4 . 10 5,7 解析|3xb|4. 4b 3 x4b,. 5b7. 3由已知得：0b41,.4b7,3b4 3 345b8B 组 1 2a 4 解析|xa|x 1| |xax1|a1|,要使 |xa|x1|3 有解,可使 |a 1|3, 3a13, 2a4. 23,5 解析|x1|x 3| |x1x3|4,不等式 |x1|x 3| |m1|恒成立,只需 |m1|4,即 3m5. 3 x|2x5 解析 |x 3| |x4|9,当 x3 时, x

15、3x49,即 4 x4 时, x3x49,即 4x5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载综上所述, Ax|4x5 又 x4t1 t6,t0, ,x2 4t1 t6 2,当 t1 2时取等号B x|x2 , A B x|2x5 41,3 解析要使不等式 |x1|x3|a22a1 在 R 上的解集为 .,就 a22a1|x1|x3|min. 又|x1| |x 3|min2,a 22a12,即 a 22a30,1aa 对于一切 xR 恒成立,就需a2. 65 解析|x1|1, 1x11, 0x2. 又 |y2|1,1y2 1,1y3,从而 6 2y2. 由同向不等式的可加性可得6x 2y0, 5x2y11,|x2y1|的最大值为 5. 7, 17, 名师归纳总结 解析如 a3,就 fx2|x3|,不满意题设条件；第 11 页,共 12 页2xa3,x a,如 a3,就 fx3 a,ax3,就 fxa 3,3xa,2xa3,xa,fx的最小值为 a3,所以对任意 xR,fx4 的充要条件是 |a 3|4,解得 a7 或 a1. 故 a 的取值范畴为 , 1 7, 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页