2022年第五章定积分习题课.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第五章 定积分习题课5.1.15.1定积分的概念与性质yfx,定积分的定义及几何意义定积分bfx dxlim 0infixi,表示曲线a例11化xa,xb,y0,所围曲边梯形的面积 1x dx利用定积分定义运算：2 1x dx1答案：5 将 2,12区间 n 等分,i选端点,把21为特别和式的极限5.1.2可积函数类连续函数必定可积；有可积函数必是有界函数界,且只有有限个间断点的函数必定可积5.1.3 定积分的性质：（是运算定积分及证明有关习题的基础）运算性质； 不等式性质； 区间可加性例2比较积分值1x e2dx与1ex

2、 3dx的大小00分析：利用定积分的性质名师归纳总结 例3估量以下定积分的值：ex 2x即x2x在第 1 页,共 9 页4exdx；2x e2xdx00分析： ex在0,4为单调函数； 先求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,02的最大值多练出技巧巧思出硕果5.1.4积分中值定理a,b上 连 续 , 就5.1.5变上限积分与微积分基本公式 变 上 限 积 分 ：fx在dxftdtfx例4dxaa,b上连续,Fx是牛顿莱布尼兹公式：f x 在fx在a ,b上的原函数就bfx dxF bFa a设fx x3dtt3,求：fxx 21分析：相当于两个复合函数

3、求导名师归纳总结 例5设fx为连续函数,就1fxdx等于ffx第 2 页,共 9 页02例6A、f 1 f0,B、2 f1f0,C、2 f2f0 , D、2f1f0 ；2设xf tdt2 ex1, 其 中fx为 连 续 函 数 , 就0例7；设fx为为连续函数,就xf tdtaa；A. ft； B. ftfa ； C. fx； D. fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例8当x0时,多练出技巧4dt巧思出硕果；xt62 t与 x 为同阶无穷小,求0（综合题型,同时仍考查了同阶无穷小判定）填空题：5.2.11. I1x4xdx,就 I 的范畴是（A ）

4、I1101A0I2；BI1；CI0； D222（由x4xx4利用积分不等式1x4xdx1x4dx）101055.2定积分的运算分项积分法,与不定积分一样5.2.2 凑微分法 第一换元法 ,与不定积分一样5.2.3 代入换元法 其次换元法 ,与不定积分不同的是： 换元时,肯定要换限名师归纳总结 5.2.4分部积分法,与不定积分一样第 3 页,共 9 页5.2.5对称区间上奇偶函数的定积分例1运算以下定积分：3arcsinxdx；分析：用凑微分法41x1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 112x多练出技巧1巧思出硕果2x2,用分项积分,dx；分析：2x

5、12012x12x14x凑微分法10 ln x 1 x 2 dx；分析：用分部积分法0 2x 3 e x dx；分析：用分部积分法三次0 3arcsin1 xx dx；分析：用分部积分法, 与代入换元法34 max ,1 x 2 , x 3 dx；分 析 ： 用 区 间 可 加 性 , 在 4 , 1 , 1,1 , ,1 3 上 , 函 数max ,1 x 2 x 3 分别等于 x 2, ,1 x 3x sin x , x 0 2设 f x ,1 x 0,求：0 f x dx；分析：用区间可加性,I n0sin2nx1xdx（ n 为正整数）分析：设法建立递sin推公式,sin2nx1xsi

6、n 2 nxcosxcos2nxsinx1 c o s 2 nxsins i n 2sinxx 1 s i n 2x2 s i na例2设f x为连续函数,且fxdx0,就下面命题正确的a为名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.f x为a,多练出技巧巧思出硕果a上的奇函数；例3B. f x 可能为a,a上的非奇非偶函数；fx；C. f x 为a,a上的偶函数；D.f x必定为a,a上的非奇非偶函数；1xex2dx0例4证明：0xfsinxdx20fsinx dx；dx,求：例5设fx为连续函数, 且fx x33 x1

7、fx 0例621x32dx；1x例7定积分4exdx；0例8运算：2xsin2xdx；0例91运算：2x2x4dx1填空题：名师归纳总结 1.定积分2 0x1dx（D ）f 164第 5 页,共 9 页 0 ； 2 ；1；2.设fx为连续函数, 就2f x x3 x x dx25原式 =2fxfxx3dx2 2 x4dx2x4dx64 522（其中fxfx是偶函数）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 1xtg2 xdx多练出技巧巧思出硕果0 11x25.3.14. 设fxx1,x0,求2fx1dx11,x001e x解：2fx1dx=1f u du

8、=0fu du+1fu du0110=01udu+11udu=0 11eudu+ln1u111011u e0e=u0 1ln1u e0 1+ln1u1 0=ln1e 5.3广义积分无穷积分 无穷限广义积分 定义：afx dx,bfx dx,fx dx；几何意义；收敛与发散5.3.2瑕积分 无界函数广义积分 bfx dx,定义：设fx为a,b 上的无界函数,定义：a（）a为瑕点,（）b 为瑕点,（）c为瑕点,ca,b；几何意义； 收敛与发散例1求广义积分0arctanxdx1x2分析：用定义名师归纳总结 例2用定义争论广义积分0exdx的收敛性第 6 页,共 9 页x- - - - - - -精

9、选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果分析：瑕点有 0 和例3求广义积分x2e1dx 的值4 x 5dxx ln k x 是 收 敛 的 , 就 k 的 取 值 范 围例4已 知 广 义 积 分例5是；dx；运算：04xx45例6广义积分1x3dx；例7设01k2dx1,且 k 为常数,就 k x2例8用定义争论广义积分ex11x2dx的收敛性1ln分析：瑕点为 e例9求广义积分1x11dxx分析：瑕点为：和 填空题：名师归纳总结 1. 01k2dx1,求常数 k得kp1第 7 页,共 9 页x2解：由01kx2dxkarctanx0k21,22.如广义积分11

10、dx收敛,就 p 应满意 （B ）0xpDA0p1；Bp1；Cp1；5.4定积分的应用习题课- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果微元法（元素法）几何应用：平面图形的面积直角坐标 ,参数方程 ,极坐标 ,平面曲线的弧长,体积 平行平面面积为已知的立体的体积 ,旋转体的何体积 物理应用：功,压力,引力例1求由曲线y2x及yx2所围图形的面积分析：找出交点,画出图形,用微元法 ,写出面积的定积分式运算例2试求由曲线x1y2及yxx1所围成平面图形的面积；例3设星形线的参数方程为a3 costa0 ,0t2yasin3t试求：它所成图形的面

11、积S；它的弧长 l ；它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V 分析：充分利用星形线的对称性 求面积与体积时 ,先用直角坐标公式 ,再参变量的替换 ;求弧长时 ,直接用公式 . 名师归纳总结 例4求三叶玫瑰线rasin3的面积 Sr2 d第 8 页,共 9 页分析：用对称性与公式,S31320- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例5求由曲线y多练出技巧2 x巧思出硕果3x2,y与 y 轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积；例6求曲线y4x32与 x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴与 y 轴及直线x3旋转而成的立体体积分析：求旋转的体积,第一是确定旋转半径,进而用元素 法写出体积元素,所谓旋转半径就是所给曲线上任一点到 旋转轴的距离例7 求一质量匀称的半圆弧对位于其中心的单位质量的质点的引力分析：用元素法名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页