2022年第六部分三角函数解三角形.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课学问与技能：学习好资料欢迎下载3 解三角形课型复习课课时题通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题；过程与方法： 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导同学通过观看,推导,比较,由特别到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作；教 学 目 标情感态度与价值观：培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培育同学合情推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系 来表

2、达事物之间的普遍联系与辩证统一；A保底 B（标准）C培优 通过对任意三角形边长和角度关系的探 索,把握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简洁的三角形度量问题能够娴熟运用正弦定理、余 弦定理等学问和方法解决一 些与测量和几何运算有关的 生活实际问题；教学重点 正弦定理的探究、余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用；教学难点 勾股定理在余弦定理的发觉和证明过程中的作用；教材分教材分析本章中, 同学应当在已有学问的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发析现并把握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并熟悉到运用它们可以解决一些与测量和几何运算有关的实际问题；本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余

3、弦定理是解三角形的工具,最终落实在解三角形的应用上；学情适当支配一些作业,目的是让同学进一步巩固所学的学问,提高同学分析问题的解决实际问题；分的才能,包括对于实际测量问题的挑选,准时订正实际操作中的错误,解决测量中显现的一些问题析考 本章学问是高考必考内容,重点为正余弦定理及三角形的面积公式,考题敏捷多样；挑选和填空题点 型以考查用正、余弦定懂得三角形为主,难度不大；解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化,分 或用以解决实际问题,难度中等；析名师归纳总结 教教学内容学设计设计意可能显现第 1 页,共 12 页的问题与图计策- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

4、 - 学习好资料 欢迎下载【学问网络】教已知条件所用定理一般步骤C通过回对 于 “ R”1、正弦定理： 在C 中,a 、b 、c 分别为角、C 的对边, R 为顾正弦的熟悉与定理、 余懂得,可以通过图弦定理形帮忙同的外接圆的半径,就有abcC2R的复习,b,学们懂得sinsinsin尝试请2、正弦定理的变形公式：a2 sin,b2Rsin,c2RsinC ； sina,sin同学们2R2R自己推sinCc；到一些2Ra b csin:sin:sinC；推论及应用, 不sinabcsinCabcC,仅仅帮sinsinsinsin3、三角形面积公式：助同学SC1bcsin1absinC1acsin

5、们记忆222公式, 仍4、余弦定理：学在C 中,有a2b2c22 bccos,b2a2c22accos可以加深同学过c2a2b22abcosC cosa2c2b2,cosCa2b22 c们的理程5、余弦定理的推论：a2,解cosb2c22 bc2ac2 ab6、简洁的判定三角形设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边,就：2 c ,就C90；如a2b22 c ,就C90；如a2b2如a2b22 c ,就C907、争论三角形解的情形分析：先由sinBbsinA可进一步求出B；就C180AB 从而帮忙同 学们划 分解三acasinCA1当 A为钝角或直角时,必需ab才能有且只有一解；否就无

6、解；2当 A为锐角时,假如a b,那么只有一解；假如 ab ,那么可以分下面三种情形来争论：（ 1）如absinA,就有两解；（2）如absinA,就只有一解；（3）如absinA ,就无解角形的名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一边和两角正弦定理学习好资料欢迎下载题目类（ 1）由内角和定理求出角A；（ 2）由正弦定理求出b 和 c；型（a, B,C）（有解时只有一解）两边和夹角余弦定理1由余弦定理求出第三边c 2由正弦定理求出小边所对角（a, b,C）正弦定理3由内角和定理求出另一角（有解时只有一解）三边余弦定理

7、（ 1）由余弦定理求出角A, B c （ 2）由内角和定理求出C （a, b,c）（有解时只有一解）两边和其中一正弦定理（ 1）由正弦定理求出B （ 2）由内角和定理求出C 边的对角余弦定理（ 3）再利用正弦定理或余弦定理求（a,b,A）（可有两解、一解或无解）【 典例解析 】题型 1：正、余弦定理例 1（1）在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；（2）在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A0 40,解三角形（角度精确到01 ,边长精确到1cm）；解：（1）依据三角形内角和定理,名师归纳总结 C1800AB 18000 32.00 81.8 0 66

8、.2 ；0 76,第 3 页,共 12 页依据正弦定理,basinB0 42.9sin81.80 sin32.080.1cm ；sinA依据正弦定理,casinC42.9sin66.2074.1cm .sinAsin32.00（ 2）依据正弦定理,sinBb sinA0 28sin400.8999.a20由于00 B 0 180 ,所以B0 64,或B0 116 .当B0 64时,C0 180A0 B 1804000 64 ca sinC20sin76030 cm .sinAsin400,当B1160时,C0 180AB 18004000 116 0 24- - - - - - -精选学习资料

9、 - - - - - - - - - casin C0 20sin24学习好资料欢迎下载13 cm .1）应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,sinA0 sin40点评：应用正弦定理时（可能有两解的情形； （2）对于解三角形中的复杂运算可使用运算器题型 2：三角形面积名师归纳总结 例 2在ABC中,sinAcosA2, AC2,AB3,求tanA的值第 4 页,共 12 页2和ABC 的面积；解法一：先解三角方程,求出角A 的值；sinAcosA2cosA452,2cosA451.2又 0A180, A4560 ,A105.tanAtan4560 1323, 13sinAsin 105s

10、in 4560sin 45cos 60cos 45sin 60246.SABC1ACABsinA123246326 ；224解法二：由 sinAcosA 运算它的对偶关系式sinAcosA 的值；sinAcosA22sinAcos 212sinAcosA1220A180 ,sinA0,cosA0. 另解sin 2A12sinAcosA212sinAcosA3, 2sinAcosA62+得 sin A246；得 cosA246；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而tanAsinA24学习好资料23；欢迎下载64cosA26以下解法略去；点评：本小题主要

11、考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,着重数学考查运算才能,是一道三角的基础试题；两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中, a、 、c 分别是 A、B、C 的对边长, 已知 a、 、c2 2 bsin B成等比数列,且 ac acbc,求 A的大小及 c 的值；分析：因给出的是 a、b、 c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边b2的关系,故可用余弦定理；由 b 2=ac 可变形为 =a,再用正弦定理可求cbsin B的值；c解法一： a、b、c 成等比数列,b 2=ac；又 a 2c 2=acbc, b 2+c 2a 2

12、=bc；在 ABC中,由余弦定理得：cosA= b 2 c 2 a 2= bc= 1 ,2 bc 2 bc 2A=60 ；在 ABC中,由正弦定理得sin B=bsinA, b2=ac, aA=60 ,bsinBb2sin60=sin60 =3；cac2解法二：在ABC中,acsin B ； b2=ac , A=60 由 面 积 公 式 得1 bcsin A= 212bcsin A=b2sin B；b sinB=sin A=3 ；2c评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理；题型 4：正、余弦定理判定三角形外形名师归纳总结 例 4在 ABC中,如 2

13、cos sin AsinC,就ABC 的外形肯定是（）第 5 页,共 12 页A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D. 等 边三角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载形答案： C 解析： 2sin cos Bsin Csin（ ）sinAcosBcosAsinBsin（ ） ,AB另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方向,通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5 ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大

14、值；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C 2 =sinA 2；1 22+ 3 2；cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sinA 2 =1 2sin2A 2 + 2sinA 2=2sinA 2当 sinA 2 = 2,即 A= 3时, cosA+2cosB+C 2取得最大值为3 2；点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果；题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（2022 辽宁卷文,理）如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶；测量船于水面 A处测得

15、B 点和 D0 0点的仰角分别为 75,30,于水面 C处测得 B 点和 D点的仰角均为060, AC=0.1km；摸索究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D的距离（计算结果精确到 0.01km,2 1.414 ,62.449 ）解: 在 ABC中, DAC=30 , ADC=60 DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=180 60 60 =60 ,名师归纳总结 故 CB是 CAD底边 AD的中垂线,所以BD=BA,ACsin60326,第 6 页,共 12 页ABAC,即 AB=在 ABC中,sinBCAsinABCsin1520因此, BD=3260. 33

16、 km；20故 B,D的距离约为0.33km；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【课内练习】1在ABC 中,以下等式总能成立的是bsinCcsinA（）Aacos CccosABasinCcsinACabsinCbcsinBD1D 2在ABC中,如 2cos sin Asin C ,就 ABC的外形肯定是（D.）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形 C.等腰三角形等边三角形3数（2C提示：由 2cosBsin A=sin C得2a2c2b2 a=c, a=b. 2 acABC 中, a、 、c分别为 A、 B、 C的对边,假如 a、

17、 、c成等差列,B=30,ABC的面积为3,那么b等于2）A.123B.1+3 C.223D.2+33B 提示： a、 、c 成等差数列,2 b=a+c. 平方得 a 2+c 2=4b 22ac.又 ABC的面积为 3 ,且 B=30 ,故由 S ABC= 1 acsin B= 1 acsin30 = 1 ac=2 2 2 42 2 23 , 得 ac=6. a 2+c 2=4b 2 12. 由 余 弦 定 理 , 得 cos B= a c b =2 2 ac2 2 24 b 12 b = b 4 = 3 ,解得 b 2=4+2 3 . 又 b 为边长, b=1+ 3 . 2 6 4 24 如

18、 ABC 的 内 角 A 满 足 sin 2 A 2, 就 sin A cos A3 A. 15 B15 C5 D53 3 3 34A 提示：由 0 A 得 sin A 0,又 sin 2 A 2sin A cos A 20,所3以 cos A 05ABC 中,内角 A B C 成等差数列,边长 a 8, b 7,求边 c 及 ABC面积名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解：由 A B C 成等差数列,得 2B A C 又 A B C,B3由余弦定理 b 2a 2c 22 ac cos B 得：

19、49 64 c 22 8 cos3即：c 28 c 15 0,解得 c 3 或 c 5当 c 3 时,S ABC 18 3sin 6 32 3当 c 5 时,S ABC 18 5sin 10 32 36在 ABC 中,a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,已知 c 7 , ABC 的面积2为 3 3,且 tan A tan B 3 tan A tan B 3求 a b 的值2解：由 tan A tan B 3 tan A tan B 3,得 tan A B 1 tan A tan B 3 tan A tan B 3tan A B 3 A B C tan C 3,C3由 c

20、7及 余 弦 定 理 得 ：a 2b 22 ab cos 7 2, 即 ：2 3 2a 2b 2ab 7 22由 S 33 得：1 ab sin 33,即：ab 62 2 3 22 2 7 2解方程组 a b ab 2 得 a b 2 121,所以 a b 11ab 6 4 27已知ABC中,2 2 sin 2Asin 2C）（ ）sin B, ABC外接圆半径为2 . a2b2c2=1 . 2（1）求 C；（2）求 ABC面积的最大值 . 解：（1）由 22 （sin2Asin2C）=（ab）sin B 得22 （a2c22）=（ab）b. 4R24R2R又 R=2 , a2c2=abb2.

21、 a 2+b2c2=ab. cos C=2 ab又0 C180 , C=60 .名师归纳总结 （2） S=1 absin C= 21 23 ab=2 23 sin Asin B=23 sin Asin （120 A）第 8 页,共 12 页=23 sin A（sin120 cos Acos120 sin A）=3sin AcosA+3 sin2A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载= 3 sin2 A3 cos2A+ 3 = 3 sin （2A30 ） + 3 . 2 2 2 2当 2A=120 ,即 A=60 时, Smax= 3

22、3 . 2【解三角形课后练习】A 组1在 ABC中,“sin A sin B ” 是“A B ” 的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件1C 提示： sinAsinBababAB）2R2R2在 ABC中,如a2b2sinABa2b2sinC ,就 ABC是（A 等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形2D 提示：由已知得a2b2sinABa2b2sinC,b2sinABsinCa2sinCsinABsin 2Ab2sinAcosBa2cosAsinB即：sin2BsinAcosBsin2AcosAsinB 所以 si

23、n2BAB或AB2cab,就角 C 的3 , , a b c 是ABC 三边长,如满意等式 abcab大小为（）D1500A0 60B0 90C12003C 提示：由余弦定理可得4在 ABC中,角 A、B、C所对的边分别是a 、b 、c ,如A0 105 ,B450,b2 2,由 c = 42 提示：由正弦定理可得名师归纳总结 5在 ABC中,b2,c3, ABC面积S3,由A = 第 9 页,共 12 页26在 ABC中,角 A、B、C对边分别为a、b、c. 证明：a2c2b2=sin（ACB）. sin证明：由余弦定理a2=b 2+c22bccosA,b2=a 2+c22accosB,-

24、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载a2b 2=b 2a22bccosA+2accosB ,整理得a2c2b2=acosBcbcosA. 依正弦定理有a = csinA,b = csinB,a2c2b2=sinAcosBsinBcosAsinCsinCsinC=sin（ACB）. a b c 成等比数列,sin7在 ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a b c ,如且2cos2B8cosB50,求角 B 的大小并判定ABC 的外形c2 ,解：由 2cos2B8cosB50得4cos2B8cosB30,解得：cosB1或cosB3舍去 ,

25、又B0, 所以 B=3,22a b c成等比数列acos B2 ac22 ba22 ca2c212 ac2 ac2化简得：a2c22ac0,故ac,所以ABC为等边三角形【解三角形课后练习】B 组1在 ABC 中,已 知tan A tan B 3 3 tan A tan B 且 sin A cos A 3,就ABC 是4（） A 正三角形 B 正三角形或直角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形1A 提示：此题要留意 B22在 ABC中,A , BC 3,就 ABC的周长为（）3A 4 3 sin B 3 B 4 3sin B 33 66sin B 3 6sin B 33 62 提示：利用正弦

26、定理可得3在 ABC中,角 A、B、C所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 BC边上的高为 a ,2就名师归纳总结 cb的最大值为（）第 10 页,共 12 页bc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 A 2 2 B 2 C 2 D 4 3A 提示：由1 a a 1 bc sin A 得 a 22 bc sin A2 2 22 2 2 2所以 c b c b a 2 bc cos A a2cos Ab c bc bc bc2sin A 2cos A 2 2 sin A 45在 ABC中,角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c,如

27、三角形的面积 S= 1（a 2+b 24c 2）,就C 的度数是 _. 545 提示：由 S= 1 （ a 2+b 2c 2）得 1 absinC= 1 2abcosC.tanC=1. C=4 2 4 . 46在在 ABC中,A ,B,C 所对的边分别为a b c ,且cosA1A3（1）求sin2B2Ccos2A的值；故sin2B2Ccos2（2）如a3,求 bc的最大值；解： （1）因为cosA1,31 1 2cosBC2cos2A112111 1 2cosA 2cos2A1112399a2（2）b22 ca2cosA12bcb2c2a22 bc2bc33又a3,bc9,当且仅当bc3时,

28、bc9424故 bc 的最大值是9 4解斜三角形应用题的一般步骤：本 课 小结（ 1）分析：懂得题意,分清已知与未知,画出示意图（ 2）建模：依据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解 斜三角形的数学模型（ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解（ 4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载课 后 作 业课 后 反 思名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页