2022年第八章向量代数与空间解析几何教案3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的： 将同学的思维由平面引导到空间,使同学明确学习空间解析几何的意义和目的；使同学对（自由）向量有初步明白,为后继内容的学习打下基础；教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2. 空间两点间的距离公式 3. 向量的概念 4. 向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2. 向量平行与垂直的关系 教学内容：一、向量的概念1向量： 既有大小,又有方向的量；在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向；在数学上只争论与起点无关的自由向量（以后

2、简称向量）；2 量的表示方法有 : a 、 i 、 F 、 OM 等等；3 向量相等 a b：假如两个向量大小相等,方向相同,就说（即经过平移后能完全重合的向量） ；4 量的模： 向量的大小,记为 a 、 OM ；模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量；零向量的方向是任意的；5 量平行a /b：两个非零向量假如它们的方向相同或相反；零向量与如何向量都平行；6 负向量： 大小相等但方向相反的向量,记为 a二、向量的线性运算名师归纳总结 1加减法abc： 加法运算规律：平行四边形法就（有7bc第 1 页,共 24 页时也称三角形法就） ,其满意的运算规律有交换率和结合率见图a4 - -

3、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2abc即ab优秀教案欢迎下载c3向量与数的乘法 a ：设 是一个数,向量 a 与 的乘积 a 规定为 1 0 时,a 与 a 同向,| a | | a | 2 0 时,a 0 3 0 时,a 与 a 反向,| a | | | a |其满意的运算规律有：结合率、安排率；设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量,那么a 0 aa定理 1：设向量 a 0,那么, 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯独的实数 ,使 ba例 1：在平行四边形 ABCD 中,设 AB a,AD b,试用a 和 b 表示向量 MA 、 M

4、B 、 MC 和 MD , 这里 M 是平行四边形对角线的交点； （见图 7 5）图 74 解：abAC2AM,于是MA1ab ba2由于MCMA,于是MC1ab 2又由于aMD1bBD2MD,于是2由于MBMD,于是MB1 2 ba三、空间直角坐标系1将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）名师归纳总结 如图 7 1,其符合右手规章；即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2角度第 2 页,共 24 页转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 间直角坐标系共有

5、优秀教案欢迎下载x 轴、 y 轴、 z 轴,坐标面分别八个卦限, 各轴名称分别为：为 xoy面、yoz面、zox 面；坐标面以及卦限的划分如图 72 所示；图 71 右手规章演示 图7 2 空间直角坐标系图 图 7 3 空间两点 M 1M 2 的距离图 3空间点 M x , y , z 的坐标表示方法；通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来；留意：特殊点的表示a 在原点、坐标轴、坐标面上的点；M1b 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法；4空间两点间的距离；如x 1,y1,z 1、M2x2,y2,z2为空间任意两点,就M1M2的距离（见图73）,利用直角三角形勾股定理为：d2M1M22

6、M1N2NM22x 2x 1而M1p2pN2NM2M1P2PNy 2y 1NM2z 2z 1所以名师归纳总结 dM1M2,yx 2x 12y2y 12z 2z 12第 3 页,共 24 页特殊地：如两点分别为Mx,z,o 0 ,00 d三点为顶点的三角形是一个等腰三角形；oMx2y22 z2例 1：求证以M143, 1, 、M7 ,1,2、M35 ,23, 证明 :M1M22 47 231 2 12 214M2M32 572 21 2 32 26M3M12 54 223 2 3126- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于M2M3M3M1优秀教案欢迎下载

7、,原结论成立；例 2：设 P 在 x 轴上,它到1P0,2,3 的距离为到点P 20 ,1,1的距离的两倍,求点P 的坐标；解：由于 P 在 x 轴上,设 P 点坐标为x,0 ,0x21212x22211PP 2PP 1x22232xPP 12 PP 2x2112x22x1所求点为： ,100,100,四、利用坐标系作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法, 使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系；设 a = M 1M 2 是以 M 1 x 1 , y 1 , z 1 为起点 、M 2 x 2

8、 , y 2 , z 2 为终点的向量,i、j、k 分别表示 图 7 5 沿 x,y,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图 75,并应用向量的加法规章知：M1M2x2x 1i + y2y1j+z 2z 1k a 在三条坐标轴上的投影ax、ay、az 就或a = ax i + ayj + azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式；有序数组 ax、ay、az与向量 a 一一对应,向量叫做向量 a 的坐标,并记为a ax,ay,az ；名师归纳总结 上式叫做向量a 的坐标表示式；z 1终点为M2x2,y2,z2的向量可以表示为第 4 页,共 24 页于是,起点为M1x

9、 1,y1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M1M2x2x 1,y2y 1,z 2z 1优秀教案欢迎下载特殊地,点Mx,y,z 对于原点 O 的向径OMx ,y ,z 留意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区分；向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az,向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 axi 、 ayj 、 azk. 2向量运算的坐标表示设aax,ay,az,bb x,b y,bz即aaxiayjazk,bbxibyjbzk就bx1 加法：abaxb xiaybyjazkbzk减法：abaxbxiaybyjaz

10、bz乘数：aaxiayjazk或abaxbx,ayby,azbzabaxbx,ayby,azbzaax,ay,aza, 即平行： 如 a 0 时,向量b/a相当于b,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比例即b xb ybza xayaz五、向量的模、方向角、投影名师归纳总结 设aax,ay,az,可以用它与三个cos、cos、cos称为方向余弦；第 5 页,共 24 页坐标轴的夹角、（均大于等于0,小于等于）来表示它的方向, 称、为非零向量a 的方向角,见图76,其余弦表示形式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载1 模a

11、a2a2a2xyz2 方向余弦axM1M2cosacosa2a2a20时,有由性质 1 知ayM1M2cosacos,当axyzazM1M2cosacoscosaxa2a x2a2aaxyz21cosaya2ay2a2aaxyzcosaza2az2a2aaxyz任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos与非零向量a 同方向的单位向量为：a0a1ax,ay,azcos,cos,cosaa的模、方向余弦、方向角以及与例： 已知两点 M 12,2,2 、 M21,3,0,运算向量M1M2M1M2同向的单位向量；解：M1M21-2 ,3-2, 0-2 =-1 ,1,-2 M1M21 212222

12、cos1,cos1,cos2222,cos,cos2,3,334设0 a 为与M1M2同向的单位向量,由于a0cos即得a01,1,22223 向量在轴上的投影名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 轴上有向线段的值：设有一轴优秀教案欢迎下载满意u , AB 是轴 u 上的有向线段,假如数AB ,且当 AB 与轴 u 同向时 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 是负的,那么数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值 ,记做 AB,即 AB ；设 e 是与 u轴同方向的单位向量,就AB e2 设 A、B、C 是 u 轴上任

13、意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC AB BC3 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和 b,任取空间一点 O,作 OA a,OB b, 规定不超过 的 AOB称为向量 a 和 b 的夹角,记为 b 4 空间一点 A 在轴 u 上的投影：通过点 A 作轴 u 的垂直平面, 该平面与轴 u 的交点 A叫做点 A 在轴 u 上的投影；5 向量 AB 在轴 u上的投影： 设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u上的投影分别为点 A 和 B ,那么轴 u上的有向线段的值A B叫做向量 AB 在轴 u上的投影,记做Prj uAB；2投影定理Pr性质 1：向量在轴 u 上的投影等于向

14、量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：j uABABcos性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即Prj ua1a2Prja1Prja2性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法；即PrjuaPrja小结： 本节叙述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步学问,引导同学对向量（自由向量）有清晰的懂得,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算,空间直角坐标系 （轴、 面、卦限）,空间两点间距离公式；本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（留意分向量与向量的坐标的 区分 ）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念；

15、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载作业：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载其次节 数量积 向量积教学目的： 让同学搞清晰数量积与向量积的概念及其应用,把握向量平行、垂直等重要的结论,为空间曲面等相关学问打好基础；教学重点： 1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2. 向量平行、垂直的应用 教学难点： 1. 活学活用数量积、向量积的各种形式 2. 向量平行与垂直的相应结论 教学内容：一、数量积：

16、名师归纳总结 Wa定义：ababcos,式中为向量 a 与 b 的夹角；0第 9 页,共 24 页b物理上： 物体在常力F 作用下沿直线位移s,力 F 所作的功为Fscosc其中为 F 与 s 的夹角；性质： .aaa2d. 两个非零向量a 与 b 垂直ab的充分必要条件为：ab. abba. ab cacbc. acac为数几个等价公式：. 坐标表示式： 设aax,ay,az,bbx,b y,bz就abaxbxaybyazbz. 投影表示式：abaPrjabbPrjba. 两向量夹角可以由cosab式求解eab例子： 已知三点 M1,1,1、A2,2,1和 B2,1,2,求AMB- - -

17、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载提示：先求出向量 MA 及 MA ,应用上求夹角的公式；二、向量积：a 概念： 设向量 c 是由向量 a 与 b 按以下方式定义：c 的模 c a b sin,式中 为向量 a 与 b 的夹角；c 的方向垂直与 a 与 b 的平面,指向按右手规章从 a 转向 b； 留意： 数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量；b 公式：c a bf 性质： . a a 0. 两个非零向量 a 与 b 平行 a b 的充分必要条件为：a b 0. a b b a. a b c a c b c. a c a c a c 为数

18、c 几个等价公式：. 坐标表示式：设 a a x , a y , a z ,b b x , b y , b z 就a b a y b z a z b y i a z b x a x b z j a x b y a y b x ki j k. 行列式表示式：a b a x a y a zb x b y b zd 例子： 已知三角形 ABC 的顶点分别为： A1,2,3、B3,4,5和 C2,4,7,求三角形 ABC 的面积；解：依据向量积的定义,S ABC1ABACsinC1ABAC22由于 AB 2,2,2 , AC 1,2,4 名师归纳总结 因此ABACijk4i46j2k2214第 10

19、页,共 24 页222于是S ABC1124126 2ABAC22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 小结：优秀教案欢迎下载（留意共线、向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）共面的条件）作业：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载第三节 平面及其方程教学目的： 介绍最简洁也是非经常用的一种曲面平面,平面是本书特别重 要的一节,本节让同学明白平面的各种表示方法,同学在学习时领 会各种特殊位置平面的表示方法,会求出各种位置上的平面,明白 平面

20、与其法向量之间的关系；教学重点： 1. 平面方程的求法 2. 两平面的夹角 教学难点： 平面的几种表示及其应用 教学内容：一、平面的点法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量；平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直；2平面的点法式方程已知平面上的一点 M 0 x 0 , y 0 , z 0 和它的一个法线向量 n A , B , C ,对平面上的任一点M x , y , z ,有向量 M 0 M n,即n M 0M 0代入坐标式有 ：A xx 0Byy0Czz00（1）M3（0,2, 3）的平面方程 ；此即平面的点法式方程；2（ 1,3, 2）和例 1：求过三点

21、M （2, 1,4）、M解：先找出这平面的法向量n ,jkkinM1M2M1M334614i9j231由点法式方程得平面方程为名师归纳总结 14x29y1 z4 0第 12 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：14x9优秀教案15欢迎下载yz0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示；平面的一般方程为：AxByCzD0几个平面图形特点：1）D0：通过原点的平面；2）A0：法线向量垂直于x 轴,表示一个平行于x 轴的平面 ；同理： B0 或 C0：分别表示一个平行于y 轴或 z 轴的平面 ；3）AB0：方程为C ZD0,法线

22、向量0 ,0 ,C ,方程表示一个平行于xoy面的平面 ；同理 ：A XD0和BYD0分别表示平行于yoz面和 xoz 面的平面 ；4）反之：任何的三元一次方程,例如：5 x6y7z110都表示一个平面,该平面的法向量为n56,7 2z8垂直,求此平面方程；例 2：设平面过原点及点6,32,且与平面4xy解：设平面为AxByCzD0,由平面过原点知D0由平面过点6,32 知6A3 B2 C0,2 3Cn4,12 4AB2 C0AB所求平面方程为2x2y3 z0三两平面的夹角定义： 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角；设平面1:A 1xB 1yC 1z2D 10,2:A 2xB2yC2zD2

23、0n 1A 1,B 1,C1 ,nA 2,B2C2依据两向量夹角余弦公式有：cosA 12|A 1A 2B 1B2C 1C2|C22B 12C 12A 22B22三、几个常用的结论名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案A 1欢迎下载1和n2A 2,B2,C2设平面 1 和平面 2 的法向量依次为n 1,B 1,C1 两平面垂直：A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0（法向量垂直）A 1 B 1 C 12 两平面平行：（法向量平行）A 2 B 2 C 23 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点

24、 P 0 x 0 , y 0 , z 0 , 平面的方程为Ax By Cz D 0,就点到平面的距离为Ax 0 By 0 Cz 0 DdA 2 B 2 C 2例 3：争论以下各组里两平面的位置关系： 1 x 2 y z 1 0 , y 3 z 1 0 2 2 x y z 1 0 , 4 x 2 y 2 z 1 0 3 2 x y z 1 ,0 4 x 2 y 2 z 2 0解： 1 cos 1 | 2 12 02 2 1 12 11 32 |3 2 160,两平面相交,夹角 arccos 1601n 2 , ,1 1,n 2 4 , 2 , 2 2 1 14 2 2两平面平行 M ,1,1 0

25、 1 M 1,1 0, 2两平面平行但不重合；（3）2 1 1两平面平行4 2 2M ,1,1 0 1 M ,1,1 0 2 所以两平面重合 小结： 平面的方程三种常用表示法：点法式方程,一般方程,截距式方程；两平面的夹角以及点到平面的距离公式；作业：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载第四节 空间直线及其方程教学目的： 介绍空间曲线中最常用的直线,与平面同为本章的重点 教学重点： 1. 直线方程 2. 直线与平面的综合题 教学难点： 1. 直线的几种表达式 2. 直线与平面的综合题 教学内容：一

26、、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线；故其一般方程为：A 1xB 1yC 1zD 10A 2xB 2yC 2zD20二、 空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量；M已知直线上的一点M0x0,y0,z 0和它的一方向向量sm ,n,p,设直线上任一点为x,y ,z ,那么M 0M与 s 平行,由平行的坐标表示式有：xx 0yy0zz0mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）如设xx 0yy0zz0t（ t 为参数 ）mnp就可将对称式方程变成参数方程xx0mtyy0ntzz0pt；（写时参照书上注释）三种形式可以互换,按详细要求

27、写相应的方程；名师归纳总结 例 1：用对称式方程及参数方程表示直线x 2 xyyz 13 z0 40第 15 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：在直线上任取一点x0,y0,z 0优秀教案01欢迎下载y y0z 03 z 02 60 0解得,取x0y00,z02,即直线上点坐标 ,10 ,2 ,13 对称式方程为：因所求直线与两平面的法向量都垂直取sn1n24 ,x41y0z2参数方程：x y z1t 24 t例 2 始终线过点A2,3 4,且和 y 轴垂直133 t相交,求其方程解：由于直线和y 轴垂直相交 , 所以交点为B,03

28、,0 sBA20,4 ,所求直线方程：x22y03z44两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角；设两直线L 和L 的方向向量依次为s 1m 1,n 1,p 1和s 2m 2,n2,p2,两直线的夹角可以按两向量夹角公式来运算cos2 m 1m 1m 2pn1 n22 m 2p 1p2p2z152 n 12n2 212两直线L 和L 垂直：m 1m 2n 1n 2p1p20（充分必要条件）两直线L 和L 平行：m 1n 1p1（充分必要条件）m2n2p2例 3：求过点3 ,2,5且与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为sm ,n,p

29、 ,依据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直,所以可以取sn1n 24,3 ,1所求直线的方程x43y32三、直线与平面的夹角名师归纳总结 当直线与平面不垂直时,直线与它在平面上的投影直线的夹角n20,C2称为直线第 16 页,共 24 页与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为；设直线 L 的方向向量为sm ,n,p ,平面的法线向量为A ,B,直线与平面的夹角为,那么- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinA2BAm2BnCpn优秀教案欢迎下载2Cm22p2直线与平面垂直：s/n相当于ABC（充分必要条件）mnp直线与平面平

30、行：sn 相当于AmBnCp0（充分必要条件）平面束方程：A 1x过平面直线xyz10 0的平面束方程为0xyz1B 1yC1zD1A 2xB2yC2zD2四、杂例：例 1：求与两平面 x4z3 和 2xy 5z1 的交线平行且过点（ 3,2,5）的直线方程；解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行,故直线的方向向量 s肯定与两平面的法线向量垂直,所以sijk4 i3jk104215因此,所求直线的方程为x 3 y 2 z 54 3 1例 2：求过点 （2,1,3）且与直线 x 1 y 1 z 垂直相交的直线方程3 2 1解：先作一平面过点（2,1,3）且垂直于已知直线（即以已知直线

31、的方向向量为平面的法线向量）,这平面的方程为3 x22 y1z3 0再求已知直线与这平面的交点；将已知直线改成参数方程形式为x= -1+3 ty=1+2tz=-t3 ,从而求得交点为 72,13,3 7并代入上面的平面方程中去,求得t77以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - s221,13, 33 76,2优秀教案欢迎下载,1 4 777故所求直线方程为x2y1xz43z10在平面xyz0上的投影直线的方程21例 3：求直线yxyz10解：应用平面束的方法设过直线xyz10的平面束方程为z10xyz10xyz1xyz10即x 1zx1y1这平面与已知平面y0垂直的条件是