2022年第十八章勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C90已知AC6,BC8求 AB 的长已知AB17,AC15,求BC的长；AB2AC28解析：直接应用勾股定理a2b2c2解：ABAC2BC210BC题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“ 知二求一” 的题；把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理！2 2 2 2 2 2

2、2依据勾股定理 AC BC AB , 即 AC 9 15 ,所以 AC 144 ,所以 AC=12. 例题 2 如图（ 8）,水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC 的长是 0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B 恰好落到 D 点,并求水池的深度 AC. 解析：同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知ACD 中, ACD=90 ,在 Rt ACD 中,只知道CD=1.5 ,这是典型的利用勾股定理“ 知二求一” 的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：2CD2AD2解：如图 2,依据勾股定理,AC设水深 AC= x 米,那么 AD=

3、AB=AC+CB=x+0.5 x21.52x0.52解得 x=2. 故水深为 2 米. 题型三：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3,正方形 ABCD 中, E 是 BC 边上的中点, F 是 AB 上一点,且FB1AB那么 DEF 是直角三角形吗？为什么？4解析：这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意可以发觉规律,没有任名师归纳总结 何条件,我们也可以开创条件,由FB1AB可以设 AB=4a ,那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a, 那么第 1 页,共 4 页4在 Rt AFD 、Rt BEF 和 Rt CDE 中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和 D

4、E 的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定DEF 是否是直角三角形；具体解题步骤如下：解：设正方形ABCD 的边长为 4a,就 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在 Rt CDE 中,DE2CD2CE24 a22a 220a2同理EF25a2,DF225a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - EF2DE25a220a2优质资料欢迎下载25a2EF2DE2DF2DEF=90 . DEF 是直角三角形,且注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题；题型四：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD 中 AB=8cm,B

5、C=10cm, 在边 CD 上取一点E,将ADE 折叠使点D 恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE 的长 . 解析：解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；具体解题过程如下：解：依据题意得 Rt ADE Rt AEF AFE=90 , AF=10cm, EF=DE 设 CE=xcm ,就 DE=EF=CD CE=8x 在 Rt ABF 中由勾股定理得：AB2BF2AF2,即82BF2102,BF=6cm CF=BC BF=106=4cm 在 Rt ECF 中由勾股定理可得：EF2CE2CF2,即8x2x2426416x+2 x =2 x +16 x=3cm, 即 CE=3 cm 注：

6、此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积；题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直 例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边,他测得 AD=80cm ,AB=60cm ,BD=100cm ,AD 边与 AB 边垂直吗？如里你只有长为 20cm 的直尺,怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直？解析：由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量；我们通常截取部分长度来验证；如图5,矩形 ABCD 表示桌面外形,在AB 上截取 AM=12cm, 在 AD 上截取 AN=9cm 想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 MN ,测量 MN 的长度；假如 MN

7、=15, 就AM2AN2MN2,所以 AD 边与 AB 边垂直；1222 a ,所以 A 不是直角；假如 MN=a 15,就9212281144225, a2 225,即92利用勾股定懂得决实际问题例题 6 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高 4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：第一要弄清晰人走过去,是头先距离灯 5 米仍是脚先距离灯 5 米,可想而知应当是头先距离灯 5 米；转化为数学模型,如图 6 所示, A 点表示掌握灯,BM 表示人的高度,BC MN,BC AN当头（ B 点）距离 A

8、有 5 米时,求 BC 的长度；已知 AN=4.5 米,所以 AC=3 米,由勾股定理,可计算 BC=4 米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开；题型六：旋转问题：名师归纳总结 例 1：如图, P 是等边三角形ABC 内一点, PA=2,PB=2 3,PC=4,求 ABC 的边长 .第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载分析：利用旋转变换,将BPA 绕点 B 逆时针挑选 60 ,将三条线段集中到同一个三角形中,依据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形 . 变式：如图,ABC 为等腰直角三角形,BAC=

9、90 , E、 F 是 BC 上的点,且 EAF=45 ,2 2 2摸索究 BE、CF、EF 间的关系,并说明理由 . 题型七：关于翻折问题例 1、如图,矩形纸片ABCD 的边 AB=10cm , BC=6cm ,E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 . 变式：如图, AD 是 ABC 的中线, ADC=45 ,把 ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C 的位置, BC=4, 求 BC的长 . 题型八：关于勾股定理在实际中的应用例 1、如图,大路 MN 和大路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学, AP=160

10、 米,点 A 到大路 MN的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,四周 100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在大路 MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；假如受到影响,已知拖拉机的速度是 18 千米 /小时,那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例 5、如右图 119,壁虎在一座底面半径为2 米, 高为 4 米的油罐的下底边沿A处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫, 便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而是围着油罐,沿一条螺旋路线,从 背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的偷袭得到胜利,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少

11、路程才能捕到害虫 运算器运算）.（ 取 3.14,结果保留 1 位小数,可以用变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体,把全部面都分为 9 个小正方形,其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,就它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟？三、课后训练：名师归纳总结 1如图,在高2 米,坡角为30 的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需_米第 3 页,共 4 页C D E D B O 第 1 题第 2 题A F 第 3 题B C 第 4 题A 2种盛饮料的圆柱形杯（如图）,测得内部底面半径为2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6 ,问吸管要做；3已知：

12、如图,ABC 中, C = 90,点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点,ODBC,OE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载AC ,OFAB ,点 D、E、F 分别是垂足,且 的距离分别等于 cm BC = 8cm ,CA = 6cm ,就点 O 到三边 AB ,AC 和 BC4在一棵树的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,就这棵树高_米；A 205.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为 20dm、

13、 3dm、2 32dm,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B 点 去 吃 可 口 的 食 物 , 就 蚂 蚁 沿 着 台 阶 面 爬 到 B 点 最 短 路 程 是B_. 第 5 题4假如 Rt 两直角边的比为 512,就斜边上的高与斜边的比为（）A 、6013 B、 512 C、1213 D、60169 5已知 Rt ABC 中, C=90 ,如 a+b=14cm,c=10cm,就 Rt ABC 的面积是（）2 2 2 2A 、24 cm B、 36 cm C、48 cm D、60 cm6等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,就三角形的面积为（）A 、56 B

14、、48 C、40 D、32 7某市在旧城改造中,方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价 a 元,就购买这种草皮至少需要（）A 、450a 元 B、 225a 元 C、150a 元 D、300a 元A E D B20m 30m C150第 7 题图 B F C 第 10 题第 8 题图 A8已知,如图长方形 ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,就 ABE 的面积为（）2 2 2 2A 、6 cm B、8 cm C、10 cm D、12 cm9在 ABC 中, AB=15 ,AC=13 ,高

15、 AD=12 ,就 ABC 的周长为（）A 42 B32 C42 或 32 D37 或 33 10. 如图,正方形网格中的ABC ,如小方格边长为 1,就 ABC 是 （）（A）直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对摸索题：如图, 有一块塑料矩形模板 ABCD ,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A 、D 重合）,在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？如能,请你求出这时 AP 的长；如不能,请说明理由 . 再次移动三角板位置,使三角板顶点 P 在 AD 上移动,直角边 PH 始终通过点 B,另始终角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q,与 BC 交于点 E,能否使 CE=2cm ？如能,请你名师归纳总结 求出这时 AP 的长；如不能,请你说明理由. 第 4 页,共 4 页- - - - - - -