2022年精心整理线性代数公式大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.n行列式共有n 个元素,绽开后有n 项,可分解为2 n 行列式；2. 代数余子式的性质：、A 和a 的大小无关；、某行（列）的元素乘以 其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行 （列）元素的代数余子式为 A ；3. 代数余子式和余子式的关系：M ij 1 i jA ij A ij 1 i jM ij4. 设n行列式D：将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D ,就 D 1 1 2 D ；n n 1将D 顺时针或逆时针旋转 90 o,所得行列式为 D ,就 D 2 1 2 D；n n 1将D主对角线翻转后（转置）,所得

2、行列式为 D ,就 D 3 D ；将D主副角线翻转后,所得行列式为 D ,就 D 4 D ；5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积n n1；m nA B 12、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积n n1； 12、拉普拉斯绽开式 ：AOACA B、CAOA 1CBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；6. 对于n阶行列式A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 为 k 阶主子式；7. 证明A0的方法：、AA ；1名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学

3、习资料 - - - - - - - - - 、反证法；、构造齐次方程组 Ax 0,证明其有非零解；、利用秩,证明 r A n ；、证明 0 是其特点值；2、矩阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A 0（是非奇特矩阵）；r A n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解；b R , Ax b总有唯独解；A 与 E 等价；A 可表示成如干个初等矩阵的乘积；A 的特点值全不为 0；A A是正定矩阵；A 的行（列）向量组是 R 的一组基；A 是 R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A：AA *A A * A E 无条件恒 成立；3. A A A A A A 1

4、* * 1 1 T T 1 * T T *T T T * * * 1 1 1 AB B A AB B A AB B A4. 矩阵是表格, 推导符号为波浪号或箭头； 行列式是数值, 可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 1如 A A 2O,就：A s、AA 1A 2LAs；A 、 B 可逆：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 11、A1O1A21O；、AA1As1O1；（主对角分块）OBOB、OA1OO；（副对角分块）BBOA1、AC1A11 A CB1；（拉普拉斯）OBOB1、AO1A11O1；（拉普

5、拉斯）CBCAB1B3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n 矩阵 A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯独确定的：F E r O；O O m n等价类：全部与 A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其外形最简洁的矩阵；对于同型矩阵A 、 B ,如r A r BA:B；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必需为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必需为 0；3. 初等行变换的应用： （初等列变换类似, 或转置后采纳初等行变换）、 如 A E : E , X ,就A 可逆,且 X A ；r、对矩阵 , A B 做初等行变化, 当

6、A变为 E 时,B 就变成 A B ,即： , A B E A B ；c、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b ,假如 , : E x , ,就A可逆,且 x A b；r4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：3名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 、初等矩阵是行变换仍是列变换,等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1由其位置打算： 左乘为初、2O,左乘矩阵A ,i 乘A的各行元素；右乘,i 乘nA 的各列元素； 、 对 调 两 行 或 两 列 , 符 号 E i j , 且 E i j , 1 E i j , 例 如

7、 ：11 11 1；1 1、倍乘某行或某列,符号 E i k ,且 E i k 1E i k,例如：1 1 1kk 1 k 0；1 1 、 倍 加 某 行 或 某 列 , 符 号 E ij k , 且 E ij k 1E ij k , 如 ：11 k 1 k1 1 k 0；1 15. 矩阵秩的基本性质：、 0 r A m n min m n ；、r A T r A ；、如A : B,就 r A r B ；、如P、Q可逆,就 r A r PA r AQ r PAQ ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩 ）、 max r A r B r A B r A r B ；（ ）、r A B r A r B ；（ ）

8、、r AB min r A r B ；（ ）、假如A是m n 矩阵, B 是 n s矩阵,且 AB 0,就：（ ）、B的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结4名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 论）；、r A r Bnr B n；行矩阵、如A 、B 均为n 阶方阵,就r ABr A 6. 三种特别矩阵的方幂：列矩阵（向量）、秩为 1 的矩阵：肯定可以分解为（向量） 的形式,再采纳结合律；、型如1ac b 的矩阵：利用二项绽开式；rCn1 1a bn1n C bnmn0m mC a bnm；01001二项

9、绽开式：ab n0 C an1 C an1 1bLm C anmbmLn注：、ab 绽开后有n1项；、Cmn n1 L Lnm1n.m .C0n C n1nnn0Crn 2rCrnC ；1 2 3 g g gL g mm n、组合的性质：CmCnmCm1CmCm1nnnnnnn、利用特点值和相像对角化：7. 相伴矩阵：、相伴矩阵的秩：r A*nr An1；1r An0r An1A A1* A XAX ；、相伴矩阵的特点值：AAX* X A、* AA A 、* AAn11阶子式全部为 0；（两句8. 关于A矩阵秩的描述：、 r An , A中有 n 阶子式不为 0,n话）、r A n , A 中

10、有 n 阶子式全部为 0；、r A n , A 中有 n 阶子式不为 0；9. 线性方程组：Ax b,其中 A 为 m n 矩阵,就：、m 与方程的个数相同,即方程组 Ax b有 m 个方程；、n与方程组得未知数个数相同,方程组 Ax b为 n 元方程；5名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10.线性方程组Axb的求解：B 进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）；、对增广矩阵、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程：a x 1 a x 2 L

11、a x n b 1、a xL L L L L L L L L L L 1 a 22 x 2 L a 2 n x n b 2；a m 1 x 1 a m 2 x 2 L a nm x n b na 11 a 12 L a 1 n x 1 b 1、aM 21 aM 22 LO a 2M n xM 2 bM 2Ax b（向量方程,A 为 m n 矩阵, m 个a m 1 a m 2 L a mn x m b m方程,n 个未知数）x 1 b 1、a 1 a 2 L a n xM 2（全部按列分块,其中 b M）；x n b n、a x 1 a x 2 L a x n（线性表出）、有解的充要条件：r

12、A r A , n（ n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个 n 维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组A ：1,2, L,m构 成nm 矩 阵A1,2,L,m；T1m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T,T,L,T构成mn 矩阵BT M；12mTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Ax b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AX B 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵 A m n 与 B 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax 0 和 Bx 0 同解

13、； P 例 14 6名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.T r A Ar A ；P 例 15 5. n维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 0；、, 线性相关 , 坐标成比例或共线（平行）；、, , 线性相关 , , 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：如 1 , 2 , L , s 线性相关,就 1 , 2 , L , s , s 1 必线性相关；如 1 , 2 , L , s 线性无关,就 1 , 2 , L , s 1 必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如r 维向量组 A 的每个向量上添上 n

14、 r 个重量,构成 n 维向量组 B ：如A线性无关,就 B 也线性无关；反之如 B 线性相关,就 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；7. 向量组A（个数为r）能由向量组 B（个数为 s）线性表示,且 A线性无关,就 r s二版 P 定理 7；向量组A 能由向量组 B 线性表示,就 r A r B ；（P 定理 3）向量组A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r A r A B （P 定理 2）向量组A能由向量组 B 等价 r A r B r A B （P 定理 2 推论）8. 方阵A可逆 存在有限个初等矩阵 P P 2 , L , P,使

15、 A P P 2 L P l；、矩阵行等价：A B PA B（左乘, P可逆）Ax 0 与 Bx 0 同解 r、矩阵列等价：A B AQ B（右乘, Q 可逆）；c、矩阵等价：A B PAQ B（ P 、 Q可逆）；9. 对于矩阵 A 与 B ：、如A 与B 行等价,就A与 B 的行秩相等；、如A 与B 行等价,就Ax0与Bx0同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩；7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 如 A m s B s n C

16、 m n,就：、 C 的列向量组能由 A的列向量组线性表示,B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示,A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组 Bx 0 的解肯定是 ABx 0 的解, 考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；、ABx 0 只有零解 Bx 0 只有零解；、Bx 0 有非零解 ABx 0 肯定存在非零解；12. 设向量组 B n r : b b 2 , L , b r 可由向量组 A n s : a a 2 , L , a s 线性表示为：（P 110题 19 结论） b b 2 , L , b r a a 2 , L , a K（B AK ）其中K为s

17、r ,且 A 线性无关,就 B 组线性无关 r K r ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Q r r B r AK r K , r K r , r K r；充分性：反证法）注：当r s时, K 为方阵,可当作定理使用；13. 、对矩阵 A ,存在 Q ,AQ E m r A m 、Q的列向量线性无关；（P ）、对矩阵 A ,存在 P ,PA E n r A n、P 的行向量线性无关；14. 1 , 2 , L , s 线性相关存在一组不全为 0 的数 k k 2 , L , k s,使得 k 1 1 k 2 2 L k s s 0 成立；（定义）x 1 1 , 2 ,

18、L , s xM 20 有非零解,即 Ax 0 有非零解；x sr 1 , 2 , L , s s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n 的矩阵 A 的秩为 r ,就 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的解集S的秩为：r S n r ；16. 如 * 为 Ax b 的一个解,1 , 2 , L , n r 为 Ax 0 的一个基础解系,就*, 1 , 2 , L , n r 线性无关；（P 题 33 结论）8名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、相像矩阵和二次型1. 正交矩阵 A A T E 或 A 1 A

19、（定义）,性质： 、A 的 列 向 量 都 是 单 位 向 量 , 且 两 两 正 交 , 即a a Tj 10 ii jj , i j 1,2, L n ；、如A 为正交矩阵,就 A 1 A 也为正交阵,且 A 1；、如A、B正交阵,就 AB 也是正交阵；留意：求解正交阵,千万不要遗忘2. 施密特正交化：a a2, L,a rg b r1; b 1a ；b 2a 2b a2g b 1Lb r1,a rb b 1L L Lb ra rb arg b 1b arg b 2b b 1b b 2b r1,br1施密特正交化 和单位化 ；3. 对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关；对于实对称

20、阵 ,不同特点值对应的特点向量正交；4. 、A与B等价 A 经过初等变换得到 B ；PAQ B , P 、 Q 可逆；r A r B , A 、 B 同型；、A与B合同 C ACT B ,其中可逆；x Ax 与 x Bx 有相同的正、负惯性指数；、A与B 相像 P AP1B；5. 相像肯定合同、合同未必相像；如 C 为正交矩阵,就 C ACTB A : B,（合同、相像的约束条件不同,相像的更严格）；6. A 为对称阵,就 A 为二次型矩阵；7. n元二次型 x Ax 为正定：A的正惯性指数为 n ；A与 E 合同,即存在可逆矩阵 C ,使 C ACT E ；A的全部特点值均为正数；A的各阶次序主子式均大于0；aii0,A0；必要条件 9名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页