2022年第节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第四节精品资料欢迎下载相关变化率隐函数及由参数方程确定的函数的导数教学目的 ： 熟识隐函数的概念;把握隐函数的求导法就；把握由参数方程所确定的函数的求导方法 . 教学重点 ：隐函数的导数 ;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率 ;对数求导法教学难点 ：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法,幂指函数的求导法教学内容 ：一、隐函数的导数显函数 形如 y fx的函数称为显函数 例如 y sin x y ln x +e x隐函数 由方程 Fx y 0 所确定的函数称为隐函数例如 方程 x y 3 1 0 确定的隐函数为 y y 3 1 x假如在

2、方程 Fx y 0 中 当 x 取某区间内的任一值时 相应地总有满意这方程的唯独的y 值存在 那么就说方程 Fx y 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不行能的 但在实际问题中 有时需要运算隐函数的导数 因此 我们期望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1求由方程 e y xy e 0 所确定的隐函数 y 的导数解 把方程两边的每一项对 x 求导数得e y xy e 0即 e y y y xy 0从而 yx ye y x e y 0例 2求由方程 y52y x 3x 7 0 所确定

3、的隐函数 y fx在x 0 处的导数 y |x 0名师归纳总结 解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0第 1 页,共 5 页由此得y121 x 6y 4 25由于当 x 0 时从原方程得y 0 所以y|x0121 x 6| x015y422例 3求椭圆x2y21在,233处的切线方程1692解把椭圆方程的两边分别对x 求导得x2yy089从而y9x16y当 x 2 时y33代入上式得所求切线的斜率2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ky|x23精品资料欢迎下载4所求的切线方程为于是y333 x2即3 x4y83024解把椭圆

4、方程的两边分别对x 求导得x2yy089将 x 2y33代入上式得211y043k y |x 23 4所求的切线方程为y33x3x2即3x4y83024例 4求由方程y1siny0所确定的隐函数y 2的二阶导数于是解方程两边对x 求导得4 siny31dy1cosydy0dx2dxdy2得dx2cosy上式两边再对x 求导d2y2 sinydydx y 2dx22cos2cosy 隐函数求导方法小结：名师归纳总结 （1）方程两端同时对x 求导数,留意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待. 第 2 页,共 5 页（2）从求导后的方程中解出y 来. （3）隐函数求导答应其结果中含有y. 但求某一

5、点的导数时不但要把x 值代进去,仍要把对应的 y 值代进去 . 对数求导法这种方法是先在y fx的两边取对数然后再求出y 的导数设 y fx两边取对数得ln y ln fx两边对 x 求导得1ylnf xyyfx ln fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载对数求导法适用于求幂指函数 y ux vx的导数及多因子之积和商的导数 例 5求 y x sin x x0的导数 解法一 两边取对数 得 ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1 x21ycosxlnxsinx1yx于是yycosxlnxsinx1xxsinx cosx

6、lnxsinxx解法二 y x这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 sin x e sin xln xye sinxlnxsinxlnxxsinxcosxlnxsinxx例 6求函数yx1 x2 的导数x3 x4 解先在两边取对数假定 x4得ln y1 lnx 1 lnx 2 lnx 3 lnx 4 2上式两边对x 求导得1y111x12x13x14y2x于是yyx11x12x13x142当 x1 时y 1x 2x 当 2x3 时yx3x 4x 3x 4x 用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说此题应分x 4 x 1 2 x 3 三种情形争论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设

7、 y 与 x 的函数关系是由参数方程x t 确定的就称此函数关系所表达的函数为由y t参数方程所确定的函数名师归纳总结 在实际问题中需要运算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t第 3 页,共 5 页有时会有困难因此我们期望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设 xt具有单调连续反函数tx且此反函数能与函数yt构成复合函数yx 如 xt和 yt都可导就dydydtdy1 dxtdxdtdxdt tdt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即dy t或dydy精品资料欢迎下载dt dxdxtdxdt如 xt和 yt都可导就dy t

8、点处的切线方程dx t例 7求椭圆xacos 在相应于 sin tt4yb解dyb sintbcos ttbcottdxacos tasinab sin4b2所求切线的斜率为dyt4bdxa切点的坐标为x 0acos4a2y 022切线方程为yb2bxa22a2xv 1t即bx ay2 ab0例 8抛射体运动轨迹的参数方程为yv 2t1 gt 22求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v2t 2 g t解先求速度的大小速度的水平重量与铅直重量分别为x t v1 y t v2 gt所以抛射体在时刻tt 的运动速度的大小为gt2vx2y t2v 1 2 v2再求速度的方向设 是切线的倾角就轨

9、道的切线方向为所确定tandyy tv 2gtdxxt v 1已知 xt, yt如何求二阶导数y . 由 xtdy tdxtd2yddyd tdtdx2dxdxdt tdxt t2 t tt1 tt t3 t tt 例 9运算由摆线的参数方程xa tsintya 1cos t 的函数 y fx的二阶导数名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解dyy ta 1cos t精品资料欢迎下载asintdxx ta tsinta 1cos tt 2nsintcottt 2nn 为整数 t 21cos t2d2yddydcottdt

10、dx2dxdxdt2dx1211ta 1cos ta1cos2sin2n 为整数 三、相关变化率设 x xt及 y yt都是可导函数 而变量 x 与 y 间存在某种关系 从而变化率 dx 与 dy 间dt dt也存在肯定关系 这两个相互依靠的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是争论这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率例 10 一气球从离开观看员 500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min 分 当气球高度为 500m 时 观看员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升 t秒后 其高度为 h 观看员视线的仰角为 就tan h500其中 及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得sec2 d 1 dhdt 500 dt已知 dhdt 140 米/秒 又当 h 500米时 tan 1 sec 22 代入上式得2 dt d500 1 140所以 ddt 500 70 0 . 14 弧度 /秒即观看员视线的仰角增加率是每秒 0 14 弧度小结 ：本节叙述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法,函数的求导问题 . 利用取对数的方法解决了幂指摸索 ：对幂指数函数yv x u x 0你有几种求导方法？作业 ：见习题册名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页