2022年等比数列高三一轮复习教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 3.3 等比数列【考点及要求】等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项 . 懂得等比数列的概念 , 把握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 , 并能解决简洁的实际问题 . 等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式是解决等比数列的有关运算、论证 , 等比数列的有关性质的基础和动身点 , 这类问题往往解法敏捷、多变 , 是高考试题的生长点 , 选择题、填空题和解答题都可能显现 . 【要点回放】等比数列1.定义 ：a n 1 q（常数 q 为公比） n N （留意隐含条件 : a n 0, q 0）a nn 1 n m2.通项公式：

2、a n a 1 q 推广 : a n a m q3.等比中项： 假如在 a 与 b 间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,G ab . ab 0 . na 1 q 14.前 n 项和公式：S n a 1 1 q n q 1, 且 q 0（易错点 :不分类争论 ）1 q留意 :应用前 n项和公式时 ,肯定要区分 q 1 与 q 1 的两种不怜悯形 ,必要的时候要分类争论 . 5.等比数列 a n 的一些常用性质1对于任意正整数 p , q , r , s,假如 p q r s,就有 a p a q a r a s；假如 p r 2 q,

3、2就有 a p a r a q22对于任意正整数 n ,1 有 a n a n 1 a n 13对于任意非零实数 b ,数列 ba n 是等比数列,就数列 a n 是等比数列4已知数列 b n 是等比数列,就 a nb n 也是等比数列；下标成等差数列的项构成等比数列名师归纳总结 连续如干项的和也构成等比数列: . 第 1 页,共 13 页6证明数列为等比数列的方法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1定义法 :如an1q nN数列an为等比数列an2等比中项法 :如a21ana n2 nN且anan1an20 数列a n为等比数列n3通项法 :如a n

4、cqnc ,q 均是不为0 的常数,nN数列a n为等比数列4前 n 项和法 :如S nAqnA A ,q 为常数,且q0 ,q1数列a n为等比数列7解决等比数列有关问题的常见思维方法1方程的思想 “知三求二 ”问题 2分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对q1 和q1 争论a 10 ,q1 或a 1,0 0q1 时 ,等比数列an为递增数列a n1a na 1qn1 q1 a n为递减数列a 10 ,q1 或a 1,00q1 时,等比数列【基础训练】1.（江苏卷） 在各项都为正数的等比数列an中,首项 a1=3,前三项和为 21,就 a3+ a4+a5= （C ） A 33 B 72

5、C 84 D 189 n 32. 已知等比数列 a n 中,a 3 3,a 10 384,就该数列的通项公式 a n 3 23.命题甲 : ,2 1 x 1 x,2 x 成等比数列,命题乙 : lg ,lg x 1,lg x 3 成等差数列,就甲是乙2的 必要不充分 条件；（填“ 充分不必要”、“ 必要不充分”、“ 充要” 或“ 既不充分也不必要” ）4.（04 年上海卷 .文理 12）如干个能唯独确定一个数列的量称为该数列的“ 基本量 ” .设a n是公比为 q 的无穷等比数列 ,以下 a n 的四组量中 ,肯定能成为该数列“基本量 ”的是第 组.写出全部符合要求的组号 S1 与 S2; a

6、2与 S3; a1与 an; q 与 an. 其中 n 为大于 1 的整数 , Sn为an 的前 n 项和 . 5. 05 重庆卷 有一塔形几何体由如干个正方体构成,构成方式如下列图,名师归纳总结 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点；已知最底层第 2 页,共 13 页正方体的棱长为2,且该塔形的表面积含最底层正方体的底面面积超过 39,就该塔形中正方体的个数至少是 C A 4；B 5；C 6；D 7. 6.设数列 an的前 n 项和为S （nN*）,关于数列an有以下三个命题：（1）如 an既是等差数列又是等比数列,就ana n1nN*；- - - - - - -精选学习资

7、料 - - - - - - - - - （2）如S nan2bna bR,就 an 是等差数列；（3）如S n11n,就 an是等比数列 . . 这些命题中,真命题的序号是【例题讲练】题型等比数列中基本量的运算q1321n328n1n9例 1:数列a n为等比数列 ,求以下各值 , 1已知a3a636a 4a718an1,求n.22 已知a2a 836a 3a 715 ,求公比q .3 已知q,2S 815 12,求a 1.思维分析 :运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二 ”问题解1a4a 7a3qa6qq a3a618,a3a636,q2a3a6a3a3q3a31q336,a332an

8、a 3n3222 a 3a 7a 2a 836a 3a715 ,a 3,a7是方程x215x360 两根,1a3,3a 712 或a 312 ,a7,3q44 或q41q22 或q423S 8a 1128a 115 15 12a 1 12 121212变式 1.设一个等比数列的首项为aa0,公比为 qq0,其前 n 项和为 80,而其中最大的一项为54,又其前 2n 项和是 6560,求 a 和 q. 名师归纳总结 思维分析 :运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类争论思想, a 1qn154 3 第 3 页,共 13 页解:如 q=1,就 na=80,2na=160冲突,q1于是a 1

9、1qn80 1 2 得qn81 又q0 ,q1an1q2na 11q65602 11qqn81 代入 1 3 得1aq1 及a8154qa,2q3变式 2.设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案:q342变式 3.已知等比数列 an 中, a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 剖析：利用等比数列的基本量a1,q,依据条件求出a1 和 q. 解：设 an 的公比为 q,由题意知名师归纳总结 a 1a1qa 1q27,4,12 3,.a 1a 1qa1q28,

10、解得a1,1或a14, an=2n1或 an=23n. 1 2.q2q评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 例 2. 已知等比数列a n的公比为q 前 n 项和为S , 且S S S 成等差数列 . 求3 q 的值； 求证 :a 2,a a 成等差数列 . （答案 : 3 q =1）2题型等比数列的判定和证明例 1. （04 全国）数列an的前 n 项和记为 Sn,已知a 11 ,a n1nn2S nn证明：（）数列Sn是等比数列；（）S n14 an.n证明：（）an1S n1S n,an1nn2Sn,n2 S nn S n1S n,整理得nS n12 n1S n,所以Sn12

11、S n.故Sn是以 2 为公比的等比数列 . n1nnan n2 .（） 由（） 知Sn14Sn1n2.于是S n14n1Sn1n1n1n1又a23 S 1,3故S 2a 1a 2,4第 4 页,共 13 页因此对于任意正整数n,1都有S n14 an.评注 : 换元法体会肤浅, 函数观点应用不当均会造成失误. 例 2.已知数列a n,Sn是它的前 n 项和,且S n14a n2 nN,a 11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1设b nan12a nnN,求证:数列b n是等比数列2设cnan,求证 :数列c n是等差数列2n思维分析 :证明数列是等

12、差数列仍是等比数列.应紧扣定义式 ;而数列的前 n 项和 Sn已知可求 an 名师归纳总结 - - - - - - -解:1 S n14 a n2,S n24 a n12S n2S n14 an14 a n即a n24a n14 a nan22a n12 a n12a n,而b na n12a nb n12 b n, 由此可得b n是等比数列且首项b 1a 22 a 1,3 公比q2 ,b n32n12cnbn,cn1cnan1anb n132n132n2n12n2n2n14可知nc是首项c 1a 11,公差d3的等差数列 ,cn3 n 412244变式 1:数列an,b n的通项公式分别是a

13、 n2n,b n3 n2 ,它们公共项由小到大排列的数列是nc,写出nc的前 5 项证明cn是等比数列思维分析 :简洁证明nc是等比数列 ,由定义式 ,只需找出c n中任意相邻两项关系即可. 解1 cn的前 5 项为 :8、32、128、512、2048 （2）设amb pcn,cnm 23p,2而a m12m 22 3p2 32p1 1am1 不在bn中 ,又a m24m 24 3p2 3 4p2 ,2a m2在bn中am2是cn中的项即c n1项,c n14 c n,故c n是等比数列变式 2.已知数列 an为等差数列, 公差 d 0,an的部分项组成以下数列：a1k ,ak, ,2ak,

14、恰为等比数列,其中 nk11,k25,k317,求 k1 k2 k3 kn. 剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得ak,然后列方程求得 nkn. 第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设an的首项为a1,a1k 、ak、a 2k成等比数列, （ a14d）3 2a1（a116d）. 名师归纳总结 - - - - - - -得 a1 2d,qak23. ak 1aka1（ kn1）d,又 a nka1n3n1,kn2 3 n11. k1k2 kn2（13 3n1） n213nn3nn1. 13评述：运用等差 （比）数列的定义转化为关于kn 的方程是解题的

15、关键,转化时要留意：ak是等差数列中的第 nkn 项,而又是等比数列中的第n 项（双重身份）.变式 3.设各项均为正数的数列 an和 bn满意 5a ,5b ,5an1成等比数列, lgbn,lgan+1,lg bn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an、 bn. 剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+1=bnb n1递推出 an=bn1bn（ n2）. 解： 5a ,5b ,5an1成等比数列,（ 5b ）2=5a 5an1,即 2bn=an+an+1. 又 lgbn,lgan+1,lgbn+1 成等差数列, 2lgan+1=lgbn+lg bn+1,即 an+12=

16、bnbn+1. 由及 ai 0,bj0（i、jN*）可得an+1=bnbn1. an=b nbn（n2） . 将代入可得2bn=bn1bn+bnbn1（n2）,2b n=bn1+bn1（n2） . 数列 bn 为等差数列 . b1=2,a2=3,a22=b1b2, b2=9 . 2bn=2 +（n1）（9 22 ） =1 （n+1）（n=1 也成立） . 2第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - bn=n1 2. an=bn1bn=n2n1 2=nn1（n2）. 2222又当 n=1 时, a1=1 也成立 . an= n n 1 . 2变 式 4. 设 二

17、次 方 程 a n x 2 a n 1 x 1 0 n N 有 两 根 , , 且 满 足6 2 6 3 试用 a 表示 a n 1 求证 : a n 2是等比数列 ; 3当 a 1 7时 ,求数列 a n 的通项6总结 :要证一个数列是等比数列 ,可求得其通项公式 ,从而判定其是等比数列 .,但要证明不是等比（等差）数列只要举出反例；题型 等比数列的性质应用题型例:解以下各题：（1）an 是等比数列,且 an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,就 a3+a5= A .A 、5 B、10 C、15 D、20 （ 2）如 an 是由正数组成的等比数列,且 a5a6=81 ,就 log3a1

18、+log 3a2+ +log 3a10= 20 .（3）等比数列 an的前 10 项和为 32,前 20 项和为 56,就它的前 30 项和为 C .A 、72 B、73 C、74 D、88 （4）已知正项等比数列 S99=6（ 2 33-1）. an ,前 n 项的和为 Sn,如 S3=6,a7+a8+a9=24,那么名师归纳总结 - - - - - - -题型等比数列的实际应用例: 甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷嬉戏, 规章如下 : 如掷出的点数之和为3 的倍数时 , 原掷骰子的人连续掷；如掷出的点数不是3 的倍数时 , 由对方接着掷 . 第一次由甲开头掷. 如第 n 次由甲掷的概率为nP ,

19、 求nP ；求前 4 次抛掷中甲恰好掷3 次的概率 . 第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （答案 : P = n111n128 81 . 关键是找出相邻两项之间的关系）223题型等比数列的综合问题x例 : 如图 , OBC的三个顶点坐标分别为0,0、1,0、0,2, 设P 线段 BC的中点 , 2P 为线段 CO 的中点 , P 为线段OP 的中点 , 对于每一个正整数n,P n3为线段P P n1的中点 ,令P nx n,y n,an1y nyn1yn2.y 2 求a a 2,a 及a ；求证 :yn41yn,nN；P2P14 如记b ny4n4y 4

20、,nN , 证明 :b n是等比数列 . （答案 : a =2）O 变题 :（湖南04）如图,直线l1:ykx1kk0,k1与l2:y1x1相222交于点 P.直线 l 1 与 x 轴交于点 P1,过点 P1 作 x 轴的垂线交直线l2 于点 Q1,过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线l1 于点 P2,过点 P2作 x 轴的垂线交直线l2 于点 Q2, ,这样始终作下去,可得到一系列点P1、Q1、 P2、Q2, ,点 Pn（n=1,2, ）的横坐标构成数列x n.（）证明xn111xn1 ,nN*；（）求数列x n的通项公式；2k（）比较2|PPn| 2与 4k2|PP 1|25的大小 . （）

21、证明：设点Pn 的坐标是x nyn,由已知条件得点 Qn、Pn+1 的坐标分别是：名师归纳总结 xn,1xn1,xn1,1x n1.kxn11k.N*.11x n1,2222由 Pn+1 在直线 l 1 上,得1xn122所以1x n1 kxn11 ,即xn111xn1 ,n22k（）解：由题设知x 111,x1110 ,又由（）知xn1kk2 k所以数列x n1是首项为1x,1公比为1 的等比数列 . 2 k第 8 页,共 13 页从而xn111n1,即xn121n,nN*.k2k2k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ykx1k,（）解：由y1x1,

22、得点 P 的坐标为（ 1,1）. ,.5.22所以2|PP n|22xn1 22 kx n1k1 2812n212n22 k2k4k2|PP 12 |54k2111 201 254k29 .k（i）当|k|1,即k1或k1时,4 k2|PP 1|251+9=10. 222|2而此时0|1|,1所以2|PP n|281210. 故2|PP n| 24k2|PP 12k（ii ）当0|k|1,即k1,00,1时,4k2|PP 1|250 , an an1=5 n2. 当 a1=3 时 ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列a1 3; 当 a1=2 时 , a3=12, a

23、15=72, 有 a3 2=a1a15 , a1=2, an=5n3. 8.06 山东）已知 a1=2,点 an,an+1在函数 fx=x 2+2x 的图象上,其中 =1,2,3,（1）证明数列 lg1+ an是等比数列；（2）设 Tn=1+a1 1+ a2 1+an,求 Tn 及数列 an的通项；（3）记 bn= 1 1,求 bn数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ 2=1. a n a n 2 3 T n 12 n 1 2 n 1.2 T n 3 , a n 3 1 ; 1a n n 为偶 数9.（ 06 北京）设数列 an 的首项 a1=a 4 1 ,且 a n 1a 2n 1n 为奇 数

24、 , 41记 b n a 2 n 1,n l,2, 3, 4（I）求 a2,a3；（II ）判定数列 bn 是否为等比数列,并证明你的结论；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （III ）求lim nb 1b 2b 3b n解：（I） a2a1+1=a+1 ,a3= 41a2=1a+1 ；81=1a1, 422（II ）1 a4=a3+ 41 = 23 a+ 81 , 所以 a5= 21 a4= 4a+3 16, 所以 b1=a11=a1, b2=a31=1a1, b3=a544424444猜想： bn 是公比为1

25、 的等比数列 2证明如下：1 1 1 1 1 1由于 bn+1a2n+1= a2n= a2n1= bn, nN* 4 2 4 2 4 2所以 bn 是首项为 a1, 公比为 1 的等比数列 4 2（III ）lim n b 1 b 2 b n lim n b 1 11 1 2 1n 1 b 11 2 a 14 2 2110.（05 京）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,a n 1 S ,n=1,2,3, ,求3（ I）a2,a3,a4的值及数列 an的通项公式；名师归纳总结 （ II）a 2a 4a 6a 2n的值 . 1a 1a 24,解：（I）由 a1=1,a n11S ,

26、n=1,2,3, ,得3a21S 11a 11,a31S 2333339a41S 31a 1a2a316,3327a （n2）,第 11 页,共 13 页由a n1a n1S nS n11a （n2）,得an14333又 a2=1 ,所以 an= 31 4 3 3n2n2, 1n12项数为n 的等比数列, 数列 an 的通项公式为an1 4 3 3n2n2；（ II ）由（ I ）可知a a 4,a 2n是首项为1 ,公比为 34 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 2a 4a 6a 2n=11 4 2 n34 2 3342 n1317311. 全国卷 设正项等比数列a n的首项1a1,前 n 项和为S ,且.210 2S 302101 S20S 100；（）求an的通项；（）求nS n的前 n 项和T ；解：（）由210S 302101S 20S 100得210S 30S 20S 20S 10,即2 10 a21a22a 30a 11a 12a20,可得21010 qa 11a 12a20a 11a12a20.由于an0,所以2 10 q10,1解得q1,因而ana 1qn11,n1 2,22n（）由于an