自动控制原理课件第二章ppt.ppt

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1、第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质一、拉普拉斯变换及其主要性质二、传递函数的定义及求取二、传递函数的定义及求取拉氏变换可以简化线性微分方程的拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为求解。还可将线性定常微分方程转换为复数复数S域内的数学模型域内的数学模型传递函数。传递函数。第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型三、典型环节的传递函数三、典型环节的传递函数第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质一、拉普拉斯变换及其主要性质:1 1拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯

2、变换的定义：dtetfst )(0设函数设函数f(t)当当t 0时有定义，且积分时有定义，且积分在在s的某个的某个域内收敛，则它的拉氏变换定义为：域内收敛，则它的拉氏变换定义为：)()()()(0tfLsFjsdtetfsFst 记为：记为：为一复参量为一复参量式中，式中， 2 2拉普拉斯变换的主要性质：拉普拉斯变换的主要性质：1）线性性质：）线性性质：若若 、 是常数，是常数，)()()()(2211sFtfLsFtfL )()()()(2121sFsFtftfL 则有，则有，2）微分性质）微分性质:)0()0()0()()0()()()()1(21 nnnn(n)ffsfssFs(t)fL

3、fssF(t)fLsFtfL则有：则有：若若)()()( 0)0()0()0()0()(2)1(sFs(t)fLsFs(t)fLssF(t)fLffffnnn 有有时，时，当初始条件当初始条件3）积分性质）积分性质:)(1)()()(0sFsdttfLsFtfLt 则有：则有：若若第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型4）位移性质）位移性质:)()()(asFf(t)eLsFtfLat 则有：则有：若若5）延迟性质）延迟性质:)()(0)()(sFedttfLsFtfLs 时有：时有：则当则当若若6）初值定理）初值定理:)0()(lim)(lim)(lim)()(0fssF

4、tfssFsFtfLsts 则有：则有：存在，存在，且，且若若7）终值定理）终值定理:)()(lim)(lim)()()(0 fssFtfsssFsFtfLst则则有有：平平面面的的左左半半部部，的的所所有有奇奇点点都都在在，且且若若第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型3.拉氏逆变换拉氏逆变换:)()()()()()(1sFLtfsFtftfsF 记为记为的拉氏逆变换，的拉氏逆变换，是是的拉氏变换，则称的拉氏变换，则称是是若若4.卷积定理卷积定理:)()()()()()()()( )()()()()()()()()()(2121121212211212121tftfsFs

5、FLsFsFtftfLsFtfLsFtfLdftfdtfftftf 则则有有：并并且且若若 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型5.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换:aseLsstLstLtLstLstLsLat 17cos6sin51)(41213121112222322）指指数数函函数数）余余弦弦函函数数）正正弦弦函函数数）单单位位脉脉冲冲函函数数）单单位位加加速速度度函函数数）单单位位斜斜坡坡函函数数）单单位位阶阶跃跃函函数数 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型6.部分分式展开定理部分分式展开定理:一般，象函数一般，象函数F(s)是复变数

6、是复变数s的有理代数分式，即可以的有理代数分式，即可以表示成如下形式：表示成如下形式：)()()(sqspsF )()()()(,)(1221121nnnssksskssksFsssnsF ，则，则个单极点：个单极点：只有只有）如果）如果issiisFssk )()(其中其中，则，则个重极点个重极点，其中有，其中有个极点：个极点：有有）如果）如果mnsssmsssnsF 2121,)(2)()()()()()(1111 , 1111, 11, 1nnmmmmmmssksskssksskssksF 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型nmssnnssmmssmmmssmii

7、imssmmssmmsFssksFssksFssdsdmksFssdsdiksFssdsdksFssk )()()()()()()!1(1)()(!1)()()()(11111111111 , 11, 111, 11, 1其中其中第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型输出拉氏输出拉氏变换变换二、二、传递函数的定义及求取传递函数的定义及求取系统的结构图系统的结构图输入输入输入拉氏输入拉氏变换变换输出输出传递函数的定义：传递函数的定义：零初始条件下，系统输零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(

8、t)c(t)R(s)C(s)G(s)=零初始条件零初始条件: :系统的输入量、输出量及其各阶导数在系统的输入量、输出量及其各阶导数在t t=0=0时的值均为零。时的值均为零。0)0()0()0()0(0)0()0()0()0()()( nnccccrrrr即即求取系统传递函数的步骤求取系统传递函数的步骤: :1 1）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）；2 2）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换；）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换；3 3）求输出量与输入量的拉氏变换之比）求输出量与输入量的拉氏变换之比系统传递函数。系统传递函数。r(

9、t)b(t)rb(t)rb(t)rbc(t)a(t)ca(t)ca(t)camm)(m(m)nn)(n(n) 11101110式中式中，c(t)系统输出量系统输出量r(t)系统输入量系统输入量ai(i=1,2,n), bj(j=1,2,m)为常系数为常系数设线性定常系统的微分方程为设线性定常系统的微分方程为: :对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式为系统传递函数的一般表达式为(a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an )C(s)=(b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm )R(s)R(s)

10、C(s)G(s)=b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bma0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an（nm）例例求图示求图示RLC电路的传递函数。电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：解：输出量：输出量：输入量：输入量： uruci=CducdtLdidtur= R i + uc根据基尔霍夫定律：根据基尔霍夫定律：得得RCducdt+ uc= urLCd2ucdt2+拉氏变换：拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2 Uc (s) + Uc (s)= Ur (s)传递函数为传递函数为:G(s)=1LCs2 +RCs +1Uc (s)Ur (s)=dh

11、(tdh(t) )1 1= =q qi i(t(t) )dtdtA Ah(th(t) )2A2A+ +a ah h0 0例例求液位控制系统的传递函数求液位控制系统的传递函数.将上式两边求拉氏变换：将上式两边求拉氏变换：设设解：解：得得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa =bh02传递函数为传递函数为H(s)Abs+1b=Qi(s)传递函数性质：传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，传递函数取决于系统的结构和参数，与外

12、施信号的大小和形式无关。与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量S的有理分式。的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运不能反映非零初始条件下系统的运动过程。动过程。将传递函数中的分子与分母多项式分将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K (s z1)(s z2) (s zm)(s s1)(s s2)(s sn)式中：式中：n=mK 为根轨迹增益为根轨迹增益S = S1,S2 ,Sn传递函数的极点传递函数的极点S = Z1,Z2 ,

13、Zm传递函数的零点传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。分方程的特征根。首首1 1标准型（即标准型（即零、极点形式）：零、极点形式）：首首1 1标准型标准型在根轨迹法中使用较多在根轨迹法中使用较多尾尾1 1标准型标准型：为系统增益为系统增益KsTsTsTsTsssssKsRsCsGji)1()12)(1()1()12)(1()()()(2222122221 尾尾1 1标准型在频率法中使用较多标准型在频率法中使用较多系统的根轨迹增益系统的根轨迹增益jnjimiKpszs

14、KsRsCsG)()()()()(*11* （5）传递函数与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）（6）不同物理系统（机械、电气、液压）可不同物理系统（机械、电气、液压）可用形式相同的传递函数来描述用形式相同的传递函数来描述相似原理，相似原理，能用相同数学模型描述的系统能用相同数学模型描述的系统相似系统相似系统。应用意义：可用模拟机进行系统研究应用意义：可用模拟机进行系统研究（7）传递函数的拉氏反变换为系统的

15、脉冲响应。）传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应。系统的输入是单位脉冲信号系统的输入是单位脉冲信号 (t)(t)时，系统时，系统的输出称为的输出称为脉冲响应脉冲响应。)()()()()(1)()(111sGLsRsGLsCLtgtLsR 输输出出输输入入 一般可将自动控制系统的数学模型看一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个作由若干个典型环节典型环节所组成。研究和掌握所组成。研究和掌握这些这些典型环节典型环节的特性将有助于对系统性能的特性将有助于对系统性能的了解。的了解。三、三、典型环节的传递函数典型环节的传递函数K= -R1R2比例环节实例比例环节实例(a)-+urR1ucR2由运算放大

16、器构成的比例环节由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)1比例环节比例环节C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)比例环节系数比例环节系数拉氏变换拉氏变换:比例环节的传递函数比例环节的传递函数:微分方程微分方程:K比例环节方框图比例环节方框图KR(S)C(S)特点特点:输出不失真输出不失真,不延迟不延迟,成比例地成比例地R(s)C(s)G(s)=K复现输入信号的变化复现输入信号的变化.-+R1R0urucC惯性环节实例惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节运算放大器构成的惯性环节R1CS + 1R

17、1/R2G(s)=(b)RC电路构成的惯性环节电路构成的惯性环节1RCS+ 1G(s)=2惯性环节惯性环节r(t)RCc(t)惯性环节的微分方程惯性环节的微分方程: + c (t) = Kr(t)dc(t)dtT比例常数比例常数时间系数时间系数式中式中KT拉氏变换：拉氏变换：TsC(s)+ C(s)=KR (s)惯性环节的传递函数惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs+1=惯性环节方框图惯性环节方框图R(S)C(S)1+TsK单位阶跃信号作用下的响应单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs+11sC(s)=拉氏反变换得拉氏反变换得:c(t)=K (1e )tT-单位阶跃响应

18、曲线单位阶跃响应曲线特点特点:输出量不能瞬时完成与输入量输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化完全一致的变化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632R(s)C(s)G(s)=1TsTTsC(s)=R(s) = r (t)dc(t)dtT微分方程：微分方程：积分时间常数积分时间常数3积分环节积分环节传递函数：传递函数：拉氏变换：拉氏变换：积分环节方框图积分环节方框图R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1SC(s)=1TS2=R(s)=1S积分环节的单位阶跃响应：积分环节的单位阶跃响应：单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线输出量与输入量对时间的积分成输出量与输入量对时间的积分成正

19、比，具有滞后作用和记忆功能正比，具有滞后作用和记忆功能.特点特点:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T积分环节实例积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节由运算放大器构成的积分环节-+R0ucCur1RCSG(s)=(b)电机构成的积分环节电机构成的积分环节+-UdMSKG(s)=4微分环节微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：理想微分环节数学模型：微分时间常数微分时间常数微分环节方框图微分环节方框图单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数：c (t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)= TsC(t)=T(t)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的

20、，实理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。际的物理装置中常用近似理想微分环节。r(t)t0c(t)c(t)r(t)G(s)=RC s(a)近似理想微分环节实例近似理想微分环节实例-+RucCur运算放大器构成的微分环节运算放大器构成的微分环节+-uc+-CRur(b)RC电路构成的微分环节电路构成的微分环节RCsRCS + 1 G(s)=TsTs + 1=T = RC 1G(s)Ts实用微分环节的单位阶跃响应实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃单位阶跃响应曲线响应曲线 C(s)TsTs + 1=1s=1s+1/T c(t)=e tT-特点特点:输出量反映了输入量的

21、变化率，输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小而不反映输入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)1采用运算放大器构成的比例微分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+ 由于微分环节的输出只能反映输入由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。大小，故常采用比例微分环节。传递函数：传递函数：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t) = KT(t) +K = K T(t) + 1R(s)C(s)G(s)=K (Ts +1)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)

22、r(t)t0c(t)5.振荡环节振荡环节微分方程：微分方程： + c (t) = r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2时间常数时间常数阻尼比阻尼比T传递函数：传递函数：1T2S2 + 2T S+ 1=R(s)C(s)G(s)=G(s)=T 21T 21T 2S2 +S+n2n2nS2+2S+=T1n =无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率振荡环节方框图振荡环节方框图S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1 m s2 + f s + k=F

23、(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：常见振荡环节的实例：（1 1）弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器组成的阻尼器组成的 机械位移系统机械位移系统（2 2）他激直流电动机他激直流电动机（3 3）RLCRLC电路电路1 LCs2 + RCs + 1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2 + Tms + 1=Ua(s)N(s)G(s)=R(s)C(s)G(s)=e -s =es1c(t)=r (t ) 1(t )R(S)C(S)e-as6时滞环节时滞环节延时时间延时时间数学模型：数学模型：时滞环节方框图时滞环节方框图传递函数：传递函数：时滞环节作近似处理得时滞环节作近似处理得1+s1G(s)=e s1=1+S +2!2S2 + 1阶跃响应曲线阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)