2022年考研数学三真题和详解2.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1996年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上. , 就系数应满意1 设方程xy y 确定 y 是 x的函数 , 就 dy_. 2 设x f x dxarcsinxC , 就1dx_. f x 3 设x y 0是抛物线y2 axbxc上的一点 , 如在该点的切线过原点的关系是 _. 4 设 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 1111x 11a 1a 2a3a nx21A2 a 12 a 2a

2、22 a n,Xx 3,B1, 3n a 11n a 21an1n a n1xn13其中a iaj ij i j1,2, n . 就线性方程组T A XB 的解是 _. 5 设由来自正态总体XN2 ,0.9 容量为9 的简洁随机样本, 得样本均值X5, 就未知参数的置信度为0.95 的置信区间为 _. 二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.1 累次积分2dcosf r cos , sinrdr可以写成 00A 1dy0yy 2f x y dxB 1dy01y2f x y dx0

3、0C 11f x y dyD 1dx0x x2f x y dy0dx002 下述各选项正确选项 A 如2 u和v2都收敛 , 就unvn2收敛nn1n1n1B u v n n收敛 , 就2 u与 n2 v都收敛 nn1n1n1C 如正项级数n1un发散 , 就un1n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -D 如级数n1u收敛 , 且u nv n1,2, 就级数n1v也收敛3 设 n 阶矩阵 A 非奇特 n2, A 是矩阵 A 的相伴矩阵 , 就 1,m4 A A

4、An1A B AAn1AC AAn2A D AAn2A设有任意两个n 维向量组1,m和1,m, 如存在两组不全为零的数和k 1,km, 使1k 11mk mm1k 11mk mm0, 就 5 A 1,m和1,m都线性相关 B 1,m和1,m都线性无关C 11,mm,11,mm线性无关D 11,mm,11,mm线性相关已知 0P B 1且P A 1A 2BP A BP A B , 就以下选项成立的是A P A 1A 2BP A BP A BB P A B 1A B 2P A B 1P A B 2C P A 1A 2P A B 1 P A B 2 D P BP A P B A 1P A P B A

5、 2三、 此题满分 6 分 设f x g x ex,x0,其中g x 有二阶连续导数, 且g01,g01. x1 求f0,x0, x ； 上的连续性 . f x 在 2 争论四、 此题满分 6 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设函数zf u , 方程u xp t dt确定u是,x y 的函数 , 其中f u , u 可y微；p t , u 连续 , 且 1. 求p y zp x z. xy

6、五、 此题满分 6 分 运算01xex2dx. ex六、 此题满分 5 分 f设f x 在区间 0,1 上可微 , 且满意条件f121xf x dx. 试证 : 存在0,1 使20 f 0.七、 此题满分 6 分 设某种商品的单价为p 时, 售出的商品数量Q 可以表示成Qpabc, 其中 a、 、c 均为正数 , 且a bc . 1 求 p 在何范畴变化时, 使相应销售额增加或削减. . 2 要使销售额最大, 商品单价 p 应取何值 .最大销售额是多少八、 此题满分 6 分 求微分方程dyyx22 y的通解 . dxx九、 此题满分 8 分 0 1 0 0设矩阵 A 1 0 0 0 . 0 0

7、 y 10 0 1 21 已知 A 的一个特点值为 3, 试求 y ；2 求矩阵 P , 使 AP TAP 为对角矩阵 . 十、 此题满分 8 分 细心整理归纳 精选学习资料 设向量1,2,t是齐次线性方程组AX0的一个基础解系, 向量不是方程组 第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AX0的解 , 即A0. 试证明 : 向量组,1,2,t线性无关 . 十一、 此题满分 7 分 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,

8、机器发生故障时全天停止工作 , 如一周 5个工作日里无故障 , 可获利润 10 万元； 发生一次故障仍可获得利润 5 万元； 发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元 . 求一周内期望利润是多少 . 十二、 此题满分 6 分 考虑一元二次方程x2BxC0, 其中 B、C分别是将一枚色子 骰子 接连掷两次p 和有重根的概率q . 先后显现的点数. 求该方程有实根的概率十三、 此题满分 6 分 假设X 1,X2,X 是来自总体 nX 的简洁随机样本；已知EXka k k1,2,3,4. 第 4 页,共 19 页 证明：当 n 充分大时 , 随机变量Zn1inX2近似听

9、从正态分布, 并指出其分布参数. 1in细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1996 年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上. 第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - 1 【答案】x1dxyln【解析】 方法 1：方程xy y 两边取对数得 lnxlnyyylny , 再两边求微分 , 1dxlny1dyd

10、yxln11dxxlny10. xy方法 2： 把xy y 变形得xeylny, 然后两边求微分得dxy elnyd ylnyyy1lny dyx1lny dy, 由此可得dyx11ydx .ln2 【答案】11x23C3【解析】由x f x dxarcsinxC , 两边求导数有xf arcsinx11x21x1x2, f x 于是有1dxx12 x dx112 x dx2f x 2112 x d1x2211x23C . 33 【答案】c0 或2 ax 0c , b 任意a【解析】对y2 axbxc两边求导得y2axb,yx 02 ax 0b,所以过x ,y 00的切线方程为yy 02ax

11、0bxx 0, 即y2 ax 0bx0c2ax 0bxx0.又题设知切线过原点0 0, 把xy0代入上式 , 得2 ax 0bx 0c22 ax 0bx ,即 02 ax 0c.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于系数a0, 所以 , 系数应满意的关系为c0 或2 ax 0c , b 任意 . a4 【答案】1 0 0 , , ,0Ta 知Aa iajT. 0. 依据解与系数矩阵【解析】由于 A 是范德蒙行列式, 由a i秩的关系 , 所以方程组T A X

12、B 有唯独解 . n a 11x 11, 依据克莱姆法就, 对于1a 12 a 11a2a2an1x 21221a3a2an1x 31331ana2an1x n1,0nn易见D 1A ,D2D 3Dn0 .x n0, 即 1 0 0 , , ,所以T A XB 的解为x 11 ,x2x 3【相关学问点】克莱姆法就：如线性非齐次方程组或简记为a x 1a x2ia xnb 1,a x 21 1a x2a2nx nb 2,a x 1an2x 2a x nb n.njb ,1 2 , ,na xj1其系数行列式Da 11a 12a 1n0, a21a22a2nan 1a n2ann就方程组有唯独解其

13、中D 是用常数项b ,b , 1 2xjDj,j1 2 , ,n., 即 第 6 页,共 19 页 D,b 替换 D 中第 j 列所成的行列式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a 11a 1, j1b 1a 1 ,j1a 1 nDja 21a 2,j1b 2a2,j1a2n. a n1a n, j1bnan, j1ann5 【答案】 4.412,5.588【解析】可以用两种方法求解：1 已知方差22 0.9 , 对正态总

14、体的数学期望进行估量 , 可依据. 因XN2 ,0.9 , 设有 n 个样本 , 样本均值X1inXi, n1有XN,0.92, 将其标准化 , 由公式XE X D X nN0,1得：nXnN1,01由正态分布分为点的定义PXnu21可确定临界值u2, 1进而确定相应的置信区间xu2n,xu2n. 2 此题是在单个正态总体方差已知条件下, 求期望值的置信区间问题由教材上已经求出的置信区间xu2n,xu2n, 其中PUu1, UN0,1, 可以直接得出答案. 2方法 1：由题设 ,10 .95, 可见0.05.查标准正态分布表知分位点u.1 96 .本2题n9, X5, 因此 , 依据P X.1

15、96 .095 , 有, 第 7 页,共 19 页 1n细心整理归纳 精选学习资料 P 591.960.95, 即P 4.4125.5880.951 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故的置信度为0.95 的置信区间是4.412,5.588 . 查得方法 2：由题设 ,120.95, Uu22 u210.95, u20.975P UuP uu.1 96 .2220.9 , n 9 , X 5 代入 x u , x u 得置信区间 4.412,5.5

16、88 . 2 n 2 n二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 . 1 【答案】 D 【解析】 方法 1：由题设知 , 积分区域在极坐标系xrcos ,yyrsin1中是xDr,| 02,0rcos,1 即是由x122 y1与 x 轴在第一象限所围成的241平面图形 , 如右图 . 2由于 D 的最左边点的横坐标是0 , 最右点的横坐标是1, O下边界方程是y0, 上边界的方程是yxx2, 从而D2的直角坐标表示是Dx, y |0x1 0yx2 x,故D 正确 . 方法 2：实

17、行逐步剔除法 . 由于 A 中二重积分的积分区域的极坐标表示为D 1 r , | 0 ,0 r sin ,2而B 中的积分区域是单位圆在第一象限的部分 , C 中的积分区域是正方形 x,y | 0 x 1 0 y 1 ,所以 , 他们都是不正确的 . 故应选 D. 2 【答案】 A 细心整理归纳 精选学习资料 【解析】由于级数n12 u和n1v2都收敛 , 可见级数n12 u nv2收敛 . 由不等式 第 8 页,共 19 页 nn2 u v nu22 v nn - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

18、- - - - - - - - - - - - -及比较判别法知级数n12 u vn收敛 , 从而n12 u v收敛 . 2 2 2 2又由于 u n v n u n v n 2 u v ,即级数 u n v n 收敛 , 故应选 A. n 1设 u n 12 ,v n 1 n 1 2 , , , 可知 B 不正确 . n设 u n 1 12 n 1 2 , , , 可知 C 不正确 . n nn 1设 u n 1,v n 1 n 1 2 , , , 可知 D 不正确 . n n注： 在此题中命题 D “ 如级数 u收敛 , 且 u n v n 1,2, , 就级数 v也收敛 . ”n 1 n

19、 1不正确 , 这说明：比较判别法适用于正项级数收敛 或级数肯定收敛 的判别 , 但对任意项级数一般是不适用的 . 这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区分 . 3 【答案】 C 【解析】相伴矩阵的基本关系式为AAA AA E , 2A .现将 A 视为关系式中的矩阵A , 就有AAAE . 方法一 ：由AAn1及A1A, 可得An1AAAnAAA1A故应选 C. 方法二 ：由AAAE , 左乘 A 得n1A , 即A EAAn1A . AAAA故应选 C. 4 【答案】 D 【解析】此题考查对向量组线性相关、线性无关概念的懂得 . 如向量组 1 , 2 , , s线性无关 , 即如

20、 x 1 1 x 2 2 x s s 0 , 必有 x 1 0, x 2 0, , x s 0 . 既然 1, , m与 k 1, , k m 不全为零 , 由此推不出某向量组线性无关 , 故应排除 B 、C. 一般情形下 , 对于细心整理归纳 精选学习资料 k 11k 22k ssl11lss0, 第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -不能保证必有k 11k 22kss0,及l 11lss0,故 A 不正确 . 由已知条件

21、,有又1,11,1mm1m1,k 111,1k m,mm0, m与k 1,k 不全为零 , 故,mm1,mm线性相关 . 应选 D. 5 【答案】 B 【解析】依题意P A 1 A 2 B P A B P A B P A B A B P A B P A B, .P B P B P B P B P B 因 P B 0 , 故有 P AB 1 A B 2 P AB 1 P A B . 因此应选 B. 2注：有些考生错误地挑选 D. 他们认为 D 是全概率公式 , 对任何大事 B 都成立 , 但是忽视了全概率公式中要求作为条件的大事 A A 应满意 1 2 P A 1 0, P A 2 0 , 且

22、A A 是对立事 1 2件. 【相关学问点】条件概率公式：P B A P AB. P A三、 此题满分 6 分 【解析】1 由于g x 有二阶连续导数, 故当x0时 ,f x 也具有二阶连续导数, 此 第 10 页,共 19 页 时,f x 可直接运算 , 且f x 连续；当x0时, 需用导数的定义求f0. 当x0时, f x g x exg x exxg g x x1 ex.x2x2当x0时, 由导数定义及洛必达法就, 有f0lim x 0g x 2ex洛lim x 0g x xex洛lim x 0g exg01. x222所以f xg g x x1 ex,x0,x2g01,x0.22 f

23、x 在x0点的连续性要用定义来判定. 由于在x0处, 有lim x 0f lim x 0xg g x x1 ex2 x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -lim x 0g x xg g x exx1 ex2x而f x 在x0lim x 0g exg01f0. 22处是连续函数 , 所以f x 在 , 上为连续函数 . 四、 此题满分 6 分 【解析】由zf u 可得zf u,zf u.f 0. xxyy在方程u xp t

24、dt 两边分别对,x y 求偏导数 , 得yu up x ,u up y .所以xxyyu1p x ,u1p y . x y 于是p y zp x zp x p y p x p yxy1 1 五、 此题满分 6 分 【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘, 应当用分部积分法. 【解析】 方法 1: 由于所以xex2dxxd11x分部积分1xx1dx1ex 第 11 页,共 19 页 1exeeexxex1x1exdx1xx11xdx eexeexln1exC,1exln 2.x xeln1x e2dxlim x01ex1x e而lim xx xeln1x elim xx xe

25、lnx e1ex1x e1x e细心整理归纳 精选学习资料 lim xx xexln1ex1x e - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故原式ln 2 . lim x1xx00, e方法 2: 01xex2dx01xe x2dx10xd1x001exdxex1x e1x e0dxxdxx e0x e01x eex01xd1exln1eln 2.1e六、 此题满分 5 分 【分析】由结论可知, 如令 xf x , 就 f x xf x . 因此 , 只

26、需证明 x 在 第 12 页,共 19 页 - - - - - - - - - 0,1 内某一区间上满意罗尔定理的条件. 【解析】令 xf x , 由积分中值定理可知, 存在0,1, 使21xf x dx1 x dx1 , 22002由已知条件 , 有f121xf x dx21 ,于是2021f1 ,且 x 在 ,1上可导 , 故由罗尔定理可知, 存在 ,10,1, 使得 0, 即f f 0.【相关学问点】 1. 积分中值定理：假如函数f x 在积分区间 , a b 上连续 , 就在 , a b 上至少存在一个点, 使下式成立：b af x dxf baab. 这个公式叫做积分中值公式. 2.

27、 罗尔定理：假如函数f x 满意1 在闭区间 , a b 上连续；2 在开区间a,b 内可导；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 在区间端点处的函数值相等, 即f a f b , 那么在a,b 内至少有一点 ab, 使得f0. 七、 此题满分 6 分 【分析】利用函数的单调性的判定, 假如在 x 的某个区间上导函数fx0, 就函数 fx单调递增 , 反之递减 . 【解析】 1 设售出商品的销售额为 R , 就2a ab c p bR pQ p c , R

28、2 .p b p b令 R 0, 得 p 0 ab b b a bc 0 . c c当 0 p b a bc 时, R 0 , 所以随单价 p 的增加 , 相应销售额 R 也将增加 . c当 p b a bc 时, 有 R 0 , 所以随单价 p 的增加 , 相应销售额 R 将削减 . c2 由1 可知 , 当 p b a bc 时, 销售额 R 取得最大值 , 最大销售额为cR max abb ac a bc 2. c abc八、 此题满分 6 分 【解析】令zy, 就dy dxzxdz. dz2 z2dx, 其通解为2. 第 13 页,共 19 页 xdx当x0时, 原方程化为zxdzz1

29、z2, 即dx1z2xlnz12 zlnxC 1或z1C. xyt2y代回原变量 , 得通解yx2y2C x0. 当x0时, 原方程的解与x0时相同 , 理由如下 : 2 xy令 tx , 于是t0, 而且dydy dxdyy2 xy2yxtdtdx dtdxx细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -从而有通解yt2y2C t0, 即yx2y2C x0. 综合得 , 方程的通解为yx2y2C . zy后得注： 由于未给定自变量x 的取值范畴 , 因而在此题求解过程中, 引入新未知函数xx2y2x12 z , 从而 , 应当分别对x0和x0求解 , 在类似的问题中, 这一点应当牢记. 九、 此题满分 8 分 【分析】此题的 1 是考查特点值的基本概念 , 而2 是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成