2022年《实变函数》可测函数 .pdf

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1、第 1 页（共 15 页）第四章可测函数（总授课时数 14 学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性 . 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点可测函数与简单函数的关系. 授课时数4学时1 可测函数定义定义： 设( )f x是可测集E上的实函数 ( 可取) ，若,faaR E可测，则称( )f x是E上的可测函数 . 2 可测函数的性质性质 1零集上的任

2、何函数都是可测函数。注： 称外测度为0 的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质 2 简单函数是可测函数若1niiEE (iE可测且两两不交） ，( )fx在每个iE上取常值ic，则称( )fx是E上的简单函数；1( )( )iniEif xcx其中1( )0iiEixExxEE注： Dirichlet函数是简单函数性质 3 可测集E上的连续函数( )f x必为可测函数设( )f x为E上有限实函数，称( )f x在0 xE处连续00(, )(), )0,0,()xfxf OEO若使得对比：设( )f x为, a b上有限实函数，0( )( , )f xxa b在处连续00lim(

3、 )()xxf xf x若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 2 页（共 15 页）000,0,|( )() |xxf xf x即当时，有00(,)(), )0,0,( )xfxxOf xO即当时，有00(,)(), )0,0,()xfxf OO即使得( )f x在0 , xa b处连续 ( 对闭区间端点则用左或右连续) 证明： 任取xE fa, 则fxa, 由连续性假设知，对( ),0,xf xa使得( ,)

4、( ), )()( ,)xxfxf OEOa即( ,)xxfaOEE. 令( ,)xfaxx EGO则 G为开集，当然为可测集，且另外( ,)( ,)()()xxfafaxxfax Ex EGEOEOEE所以( ,)()xfafaxx EEOEGE，故faEGE为可测集性质 4 R中的可测子集E上的单调函数( )f x必为可测函数。证明： 不妨设f单调增，对任意aR令inf|( )aIxf xa. 由f单调增知下面的集合为可测集,)|( )(,)|( )aafaaaEIIxf xaEEIIxf xa当当可测函数的等价描述定义： 设( )f x是可测集E上的实函数，则( )f x在E上可测（即（

5、 1）,faaR E可测）(2),faaR E可测(3),faaR E可测(4),faaR E可测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 3 页（共 15 页）(5),afba bR ab E可测（充分性要求|( ) |f x）证明： 利用（ 1）与（ 4） ， （2）与（ 3）互为余集，以及11fanfanEE，1()faafanfnEEE，11fanfanEE，afbfafbEEE对前面等式的说明1111()f

6、annfafannEEE，1111 ,)(,)(,)nnaaann1111( ,),)(,) )nnaaann，1111()fannfafannEEE 可测函数的性质 可测函数关于子集、并集的性质若( )f x是E上的可测函数 , 11,EE E可测，则( )f x限制在1E上也是可测函数；反之，若1nnEE , ( )fx限制在nE上是可测函数，则fx在E上也是可测函数。111fafafan fanEEEEE注： 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：设( )( )f xg x. .a e（almost everywhere）于E，( )f x在E上可测，则( )g x在E上也可

7、测若0fgm E, 则称( )( )fxg x在E上几乎处处成立, 记作( )( )fxg x. .a e于E. 证明： 令12,fgfgEEEE，则10mE，从而( )g x在1E上可测，另外( )f x在2E上可测，从而( )g x在2E上也可测，进一步g x在12EEE上也可测 . 注： 用到了可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于四则运算封闭名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 4 页（共 15 页

8、）若( ),( )f xg x是E上的可测函数 , 则( )( ),f xg x( )( ),f xg x( )( ),f xg x( )/( )f xg x仍为E上的可测函数 . 证明：只要证,fg afa gaR EE可测，任取fa gxE，则f xag x从而,rQ使( )( ),f xrag x即()frga rrQxEE从而()fagfrga rrQEEE，反之()frga rfagrQEEE也成立，从而()fa gfrga rr QEEE可测类似可证：设,fxg x是E上可测函数，则fgE为可测集 . 若,fxg x是E上的可测函数 , 则fxg x仍为E上的可测函数. 证明： 首

9、先2fx在E上可测，因为对任意aR200fafafaEaEEEa再利用2214fx g xfxg xfxg x即可作业： 若,fxg x是E上的可测函数 , 则fxg x, /fxg x为E上的可测函数可测函数类关于确界运算和极限运算封闭. 若nfx是E上的可测函数 , 则下列函数仍为E上的可测函数. ( )sup( )( )inf( )nnxfxxfxlimsup( )inf sup( )nmnnm nfxfxliminf( )supinf( )nmnm nnfxfx11nnafaafannEEEE推论： 可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数） 。对上式的说

10、明：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 5 页（共 15 页）( )inf( )nxfx，1nafanEE比较：1111fannfafannEEE例：1R上的可微函数fx的导函数fx是可测函数证明： 由于1()( )()( )( )limlim1xonf xf xf xxf xnfxxn从而fx是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故fx是可测函数 .利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数. 例设nf是可测函

11、数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 证明： 发散点全体为limlimnnnnEff；收敛点全体为limlimnnnnEff再利用limnnf和limnnf是可测函数即可注意： 函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同 可测函数与简单函数的关系可测函数( )f x总可表示成一列简单函数的极限若( )f x是E上的可测函数 , 则( )f x总可表示成一列简单函数( )nx的极限( )lim( )nnf xx，而且还可办到12|( ) | |( ) |xx1220,1,2,212( )nkknnnkfknnfnxExnxE注： 当( )f x是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛作业：P98

12、3, 4, 6 练习题1 任何点集E上的常值函数( ),f xc xE是可测函数，对吗？2 已知“若( )f x在E上可测，则1,aR E fa可测” ，反之，若1,aR E fa可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 6 页（共 15 页）测，能断定( )f x在E上可测吗？3 从函数2( )fx或( )f x可测能否推出( )f x在E上可测？4 由( )( )f xg x可否推出( )f x、( )g x都

13、可测？5 能否断定“零集上任何函数均可测”？2 叶果洛夫定理教学目的1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）等概念，弄清它们之间的区别与联系.2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明. 教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容. 本节难点叶果洛夫定理的证明. 授课时数3学时在数学分析中， 我们已经知道， 即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛. 例： 函数列( ),1,2,nnfxxn在(0,1)上处处收敛到( )0f x, 但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0 越收敛速

14、度慢， 只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但去掉一小测度集合1,1,在留下的集合上一致收敛。著名的俄国数学家叶果落夫（）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立. 引理： 设mE，nf，f在E上几乎处处有限且可测，若. .nff a e于E ，则0,有|lim()0nffNnNmE证明：由于*| |1()nffnEEE为零测度集， 故不妨令,nff在E上处处有限，从而有：1|11. .0()0nnknffffkNn Nff aeEmEmE于1|11()0()nkffNn NmEk|1()0()nffNnNmE从而当mE时，0有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

15、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 7 页（共 15 页）|1lim()(lim)()0nnnffffffNn NNnNNn NmEmEmE（）定理 1 ( )设mE，,nff在E上几乎处处有限且可测，若. .nff ae于E，则. .nff au于E（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）. .nff ae于E，即0nffmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛. .nff auE于即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛证明： 由引理知0有|

16、lim()0nffNnNmE，从而有10,0,0,kNk1|()2nkkkffn NmE令1|1()nkkffkn NeE，则e可测，eE，1|11()2nkkkffknNkmemE而1|1()nkcffkn NkEEeEeE故1kkNnNxEk，有1|( )( ) |nfxf xk即( )nfx在E上一致收敛到( )f x注：叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE或mE，即：若. .nff au于E，则. .nff ae于E证明： 由条件知1n, 存在可测集nEE，使1()nm EEn，且nfx在nE上一致收敛于( )f x，当然nfx在nE上点点收敛于fx，令1nnEE，则1()()0()nm

17、 EEm EEnn，从而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 8 页（共 15 页）()0m EE另外显然nfx在1nnEE上点点收敛于( )f x所以nfx在E上. .a e收敛于( )f x. 注:叶果洛夫定理中条件mE不可少 . 例1(0, ( )0( ,)nxnfxxn在R上处处收敛于( )f x=1 , 但nfx不几乎一致收敛于( )f x于R. 几乎一致收敛 :去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合

18、上一致收敛0,可测子集,0,0,eE meN,nNxEe有|( )( ) |nfxf x不几乎一致收敛：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛0,任意可测子集,0,0,eE meN,nNxEe有|( )( ) |nfxf x1,2任意可测子集1,0,2eRmeN,nNN()( ,1),xRen n使得|( )( ) | 1nfxf x注： 叶果洛夫定理中的结论me不能加强到0me. 设,0,1nnfxxx, 则nfx处处收敛于 f(x)=0 ，但nfx不一致收敛于( )f x，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上nfx仍不一致收敛于fx. 说明：去掉任意一个零测度集e， 留下

19、的集合0,1e仍然以 1为聚点从而可找到Ee中一点列nx, 使得()nnx收敛到 1，故：1,0,2nNnNNxEe有|()( ) | ()nnnnfxf xx从而Ee上nfx不一致收敛于( )f x.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 9 页（共 15 页）作业：P99 7 练习题1 叶果洛夫定理的条件“mE”是否可以取消？2 叶果洛夫定理的结论能否改为“,0eE me，使nfx在Ee上一致收敛于( )f x

20、”？3 叶果洛夫定理的逆定理是否成立？3 可测函数的构造教学目的本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin定理 , 它表明 Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近.这个结果在有些情况下是很有用的 .本节要点一方面 ,L可测集上的连续函数是可测的, 另一方面 , Lusin 定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外 , 作为准备定理 Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果. 本节难点Lusin 定理的证明 . 授课时数3学时可测集E上的连续函数定为可测函数，但可测函数不一定连续. 本节讨论

21、可测函数和连续函数之间的关系，从而揭示可测函数的结构. 我们已经知道可测函数Dirichlit 函数在0,1上处处间断， 这是否意味着这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上， 它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。这就是著名的鲁津（ ）定理鲁津（ ）定理： 设( )f x为E上几乎处处有限的可测函数，则0,闭集FE使得m EF且fx在F上连续 . （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数. 证明： 由于|0mEf，故不妨令( )f x为有限函数(1) 当( )f x为简单函数时，令1( )( )iniEif xcx（其中1,niiiEE E可测且两两不交

22、）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 10 页（共 15 页）0,对每个iE，作iE中的闭子集iF，使()(1,2, )iim EFinn当ixE时，( )if xc，所以( )f x在iF上连续，而iF为两两不交闭集，故( )f x在1niiFF上连续显然F为闭集，且有11()()nniiiim EFm EFn(2) 当( )f x为有界可测函数时，存在简单函数列( )nx在E上一致收敛于( )f x，利用

23、(1) 的结果知0,及每个(nx)，存在闭集nFE，使()2nnm EF且( )nx在nF上连续 . 令1nnFF，则FE且11()()2nnnnm EFm EF由( )nx在F连续及一致收敛于fx，易知fx在闭集F上连续 . (3) 当( )f x为一般可测函数时，作变换( )( )( )( )1|( ) |1 |( ) |f xg xg xfxfxg x则( )g x为有界可测函数，应用(2) 即得我们的结果. （连续函数类关于四则运算封闭）注： 对( )f x在F连续的说明：若( )f x在iF上连续，而iF为两两不交闭集，则( )f x在1niiFF上连续证明： 任取1niixFF则存

24、在0i，使得0ixF，0( )if xc，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 11 页（共 15 页）又iF为两两不交闭集，从而x在开集0()ciiiF中所以存在0, 使得0( ,)()ciiiO xF从而01( , )( , )()( , )niiiO xFO xFO xF故对任意( ,)xO xF，有|()( ) | 0f xf x，故f连续条件iF为两两不交闭集必不可少，如：1( )0 xQD xxRQ

25、函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续. 说明： 取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取ixF足够小的邻域不含其他iF中的点 . 注 鲁津定理推论：若( )f x为ER上几乎处处有限的可测函数，则0,FE闭集，及R上 的 连 续 函 数( )g x使 得 在F上( )( )g xf x且()m EF（对n维空间也成立）（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）鲁津定理的第二形式：若( )f x在E上的几乎处处有限的可测函数，则对0，存在闭集FE及整个直线上的连续函数( )g

26、 x（F及( )g x依赖于）使在F上( )( )g xfx，且()m EF证明略其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一定是可测函数，证明留作习题。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们：尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿莱布尼兹公式计算积分仍为主渠道。作业：P99 8 练习题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 12 页（共 15 页）1 鲁

27、津定理结论中的能 否取 为0，即结论是否能表述为： “闭集FE，使()0m EF，且f在F上连续 .”？2 当mE时鲁津定理是否依然成立？3 鲁津定理的逆定理是否成立？鲁津定理能否改为： “f为E上几乎处处有限的可测函数，则0，存在闭集FE，使()m EF，且f在F上可表为多项式”？4 试作0,1E上的可测函数( )f x，使对任何连续函数( )g x都有0mE fg，此结果与鲁津定理有无矛盾？4 依测度收敛教学目的可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛 . 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关

28、系有一个较全面的了解. 教学要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁 . 本节难点依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系. 授课时数4学时改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R) 积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“( )nfx在E上一致收敛于( )f x”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收敛”是一种思

29、路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。从集合论的角度讲：“( )nfx在E上一致收敛于( )f x”是指0，00N，当0nN时，|( )( )|nEfxf x，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于它要求|( )( ) |nEfxf x从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足|( )( ) |0()nmEfxf xn呢？这就导致了一个新的收敛概念的产生. 一、依测度收敛名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 -

30、 - - - - - - - - 第 13 页（共 15 页）1 定义：( )nfx是qER上的一列. .a e有限的可测函数.若有E上. .ae有限的可测函数( )f x满足下列关系：对0,有|lim0nffnmE，则称函数列( )nfx依测度收敛于( )f x.度量收敛到( )f x，记为：nff. ()N语言：,0,( ,)0,N当( ,)nN时，|nffmE. 2测度收敛的性质 （唯一性和四则运算）定理 1 令mE，nff于E，ngg于E，则(1) 若又有nfh于E, 则( )( )fxh xa.e. 于E. (2)nnfgfg于E(3)nnfgfg于E(4) |nff于E注： (1)

31、,(2),(4)当mE时, 也成立；条件mE对(3) 来说不可少 . 3依测度收敛与几乎处处收敛的关系依测度收敛与处处收敛或几乎处处收敛的概念是有很大区别的. 例 1 依测度收敛，但处处不收敛的函数列. 12(,22( )( )( )kkkniiifxfxx处处不收敛但子列121(0,2( )( )( )kkknfxfxx处处收敛于( )0,f x例 2 不依测度测度收敛但收敛的函数列：1(0, ( )0( ,)nxnfxxn1, 2 , 3n尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但下面定理反映出他们还是有密切联系的 . 定理 2（Riesz ）若nffE于, 则必有nf的子列kn

32、f，使得. .knff a e于E证明： 由nff于,E可知,0,kkkNnN11|212nkkffmE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 14 页（共 15 页）从而可取得12knnn，使得11|21(1,2,3,)2nkkkffmEk故对0，当12N时, 有|1|2()()nknkkffkNkNffmEmE11|211()22nkkkNffk NkNm E从而|lim()0nkffNkNmE(*) 故.

33、.knff a e于E注：其实从证明中的(*) 式我们可看出. .knff au于E.定理 3（Lebesgue）mE，nf，f在E上几乎处处有限且可测，若. .nff a e于E，则nff于E二、函数列几种收敛之间的关系先归纳一下几种收敛的定义. 1函数列的几种收敛定义点点收敛 : 记作nff于E,0,0,xxxENnN有|( )( ) |nfxf x一致收敛 : 0,0,NnNxE有|( )( ) |nfxf x注： 近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制. 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制例：函数列( ),1,2,nnfxxn在(0,1)上处处收敛到( )0f x,

34、但不一致收敛， 但去掉一小测度集合(1- ,1), 在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛:记作. .nff a e于E（almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎一致收敛: 记作. .nff a u于E (almost uniformly) 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛. 0,存在可测子集,eE me使得nf在EEe上一致收敛于f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - -

35、 - - - - 第 15 页（共 15 页）0,存在可测子集,eE me0,0,NnNxEe有|( )( ) |nfxf x（5）依测度收敛 : nff于E0,有|lim0nffnmE2 数列几种收敛之间的关系作业：P99 9， 10， 11， 12 练习题1 勒贝格定理中的条件mE能否改为mE？2 在数学分析里， 函数列的极限具有唯一性，那么对于. .nff a eE于及nffE于又无类似的结果？3 几乎处处有限的可测函数列( )nfx依测度收敛的充要条件是：,0,( ,)0,N当,nN mN时，|nmffmEnffE于. .nff a uE于. .nff aeE于子列Riesz定理叶果洛夫定理mE+叶果洛夫逆定理Lebesgue定理mE+子列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -