2022年线性代数试卷及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数 A 试题（ A 卷）试卷类别： 闭卷考试时间： 120 分钟考 试 科 目 ： 线 性 代 数考 试 时 间 ：学 号 ：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一单项挑选题（每道题 3 分,共 30 分）1设 A经过初等行变换变为 B ,就（B ）.下面的 r A , r B 分别表示矩阵 A B 的秩 ； A r A r B ； B r A r B ； C r A r B ； D 无法判定 r A 与 r B 之间的关系；2设 A 为 n n 2 阶方阵且 | A | 0,就（C ）； A A 中有一行元素全为零； B A 有两行（

2、列）元素对应成比例； C A 中必有一行为其余行的线性组合； D A 的任一行为其余行的线性组合；3. 设 A B 是 n 阶矩阵 n 2 , AB O ,就以下结论肯定正确选项 : D A O 或 B O ; B的每个行向量都是齐次线性方程组 AX =O 的解 . C BA O ; D R A R B n .4以下 不是 n 维向量组 1 , 2 ,., s线性无关的充分必要条件是（A ） A 存在一组不全为零的数 k k 2 ,., k 使得 k 1 1 k 2 2 . k s s O ；第 1 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 -

3、- - - - - - - - B不存在一组不全为零的数k k2,.,k 使得k 11k22.kssO C1,2,.,s的秩等于 s ；）；D1,2,.,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示1aa.aa1a.a5设 n 阶矩阵 n3A.,如矩阵 A 的秩为n1,就 a 必为（.aaa.1A1；B11n；C1；Dn11. a100b 16四阶行列式0a2b 20的值等于（）；30ba30b 400a4Aa a a a4b b b b ；Ba a a a4bb b b ；Ca a 2b b 2a a 4b b 4；Da a 3b b 3a a 4bb 4. 7设 A 为四阶矩阵且Ab ,就 A

4、 的相伴矩阵* A 的行列式为（C ）；Ab ；B 2 b ；C3 b ；Db48设 A 为 n 阶矩阵满意A23AInO ,nI 为 n 阶单位矩阵 ,就A1（C）A I ；BA3 n；CA3In；D3AIn9设 A , B 是两个相像的矩阵,就以下结论不正确选项（C ）；AA 与 B 的秩相同； A 与 B 的特点值相同；CA 与 B 的特点矩阵相同；DA 与 B 的行列式相同；第2 页共6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10设 A 为 n 阶矩阵 ,就 A 以 0为特点值是A0的（D）； A 充分非必要条

5、件； B 必要非充分条件； C 既非充分又非必要条件； D 充分必要条件；二填空题（每道题 3 分,共 18 分）0 0 0 40 0 4 31运算行列式；0 4 3 24 3 2 11 0 0 1 2 3 1 0 02. 0 1 0 4 5 6 0 0 1 _ ；0 0 1 7 8 9 0 1 03二次型 f x x 2 , x 3 x x 2 x x 3 x x 对应的对称矩阵为；4已知 1 0,0,1 ,2 2 2 , 2 2 ,0 ,3 2 2 , 2 2 ,0 是欧氏空间 . 3的一组标准正交基,就向量 1,1,1在这组基下的坐标为；7 4 15已知矩阵 A 4 7 1 的特点值为

6、1 3 二重 , 2 12, 就 x _；4 4 x6设 1 , 2 , 3 均为 3 维列向量,记矩阵 A 1 , 2 , 3,B 1 2 3 , 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3 ；假如 | A | 1,就 | B |；2 3 1 2 1三 8 分 A 1 2 0 , B 1 0 , AX B , 求 X ；1 0 3 3 1第 3 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四（10 分）设向量组11,1,2,3T ,21, 1,1,1 T ,31,3,3,5T ,44,2,5,6T ,5 3, 1

7、, 5, 7T；试求它的秩及一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示；x 1x 2px 32五（12 分）争论线性方程组x 1px 2x 31解的情形, 并在有无穷多解时求其解；px 1x 2x 316 页第4 页共名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 124六（14 分）设 A 2 2 2,（1）、求出 A 的全部特点值和特点向量； （2）、求 正交 矩阵 T ,4 2 1使得 T 1 AT为对角矩阵；七（8 分）对任意的矩阵 A ,证明：1 AT A 为对称矩阵 , AT A 为反对称矩阵；2 A 可表示为

8、一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；线性代数 A参考答案（ A 卷）一、单项挑选题（每道题3 分,共 30 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A B D C C C D 二、填空题（每道题3 分,共 18 分）名师归纳总结 第5 页共6 页第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13201 21 21、 256；2、465；3、1 201 2；798X1101 A B ,224、 1,2,0 ；5、 4；6、 2 ；1 A B .为了求三 解：由于矩阵 A 的行列式不为零,就 A 可逆 ,因此可利用以下初等行变换的

9、方法：23121212010812001 081201023121011411 0331103310232110271002710270114101 0144010144001103001103001103（ 6 分）名师归纳总结 278第 6 页,共 9 页所以X1 A B144.（ 8 分）103四解：对向量组1,2,3,4,5作如下的初等行变换可得：11143111431,2,3,4,511321022622135501131315670226211143102120113101131（ 5 分）00000000000000000000从 而1,2,3,4,5的 一 个 极 大 线 性

10、无 关 组 为1,2, 故 秩1,2,3,4,5 2（8 分）第6 页共6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 且3212,4132,5212（ 10 分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：11p22111p121p11pp242p1p110p11p30p1p3p11101p1p22p00221p12p4 分01p1300pp42p1 当p10,且2pp10 时 即p1, 且p2 时 系数矩阵与增广矩阵的秩均为 3,此时方程组有唯独解 .（ 5 分）2 当 p 1 时 系 数 矩 阵 的 秩 为 1, 增 广 矩 阵 的 秩 为 2, 此 时

11、 方 程 组 无解.（ 6 分）3 当p2 时 此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为112211221122,令12110333011121110333000010110111（ 分）80000故原方程组与以下方程组同解: x 1x 31x 2x 31令x 30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解0 1, 1,0T; 它对应的齐次线性方程组x 1x 2x 3x 300的基础解系含有一个元素第7 页共6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 31,可得1T 1,1,1为该齐次线性方程组的一个

12、解,它构成该齐次线性方程组的基础解系 . 此时原方程组的通解为 k 0 0 k 1 1 , 这里 k 0 , k 1 为任意常数 .（ 12 分）六解：（1）由 于 A 的 特 征 多 项 式1 2 42| I A | 2 2 2 3 64 2 1故 A 的特点值为 1 3 （二重特点值） ,3 6 ；（ 3 分）4 2 4 x 1 0当 1 3 时,由 1 I A X O ,即：2 1 2 x 2 0 得4 2 4 x 3 0基础解系为 1 1,2,0 , T2 1,0,1 T ,故属于特点值 1 3 的全部特点向量为 k 1 1 k 2 2 , k k 2 不全为零的任意常数；（ 6 分）

13、5 2 4 x 1 0当 3 6 时,由 3 I A X O ,即：2 8 2 x 2 0 得基4 2 5 x 3 0础解系为 3 2,1,2 T ,故属于特点值 2 6 的全部特点向量为 k 3 3 , k 3为非零的任意常数；-8分1,21正交2化2可,1得：2,1T2将1T 1,2,0 ,214 5,1,15；名师归纳总结 再将其第单共位化得：第 8 页,共 9 页8 页6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 115 2 5 ,5 5,0T,224 5,2 5,5T1215153将3单位化得：32 1 2 , ,3 3 3T；（ 12 分）征向量

14、, 令就1,2,3是A的一 组单位正交的特T1,2,35452251535251 351505 32 33就 T 是一个正交矩阵,且T1AT3；（ 14 分）6七证明：1 由于 AATTT AT ATAA , 因此AT A为对称矩阵；（ 2 分）T T T T T T T同 理 , 因 为 A A A A A A A A , 因 此TA A 为反对称矩阵；（4 分）1 T 1 T2 由于 A A A A A ,（ 6 分）2 2而由 1 知1 A A T 为对称矩阵 , 1 A A T 为反对称矩阵 ,因此任何2 2矩阵 A 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（8分）第9 页共6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页