2022年线性代数测试试卷及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数（ A 卷）一挑选题 每道题 3 分,共 15 分 1. 设 A B 是任意 n 阶方阵 , 那么以下等式必成立的是 ABBA A ABBA BAB2A B C 2 2AB2A22ABB D 22. 假如 n 元齐次线性方程组AX0有基础解系并且基础解系含有s sn 个解向量 , 那么矩阵 A的秩为 A n B s C n s D 以上答案都不正确3. 假如三阶方阵 A a ij 3 3 的特点值为 1,2,5 , 那么 a 11 a 22 a 33 及 A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8 D 10, 84.

2、设实二次型 f x x 2 x x 2 2 2 x 1的矩阵为 A , 那么 4 1 x 22 3 2 2 2 1 1 0 A A B A C A D A3 1 4 1 2 1 0 15. 如方阵 A的行列式 A 0,就 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关二填空题 每道题 3 分,共 30 分 BA 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关 DA 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关1 假如行列式 D 有两列的元对应成比例 ,那么该行列式等于；1002. 设A210,* A 是 A 的相伴矩阵,就* A13413. 设,是非齐次线性方程组AXb

3、的解,如也是它的解 , 那么4. 设向量1, 1,1 T 与向量2,5, T正交,就 t；5. 设 A 为正交矩阵 ,就 A；1116. 设a b c 是互不相同的三个数 ,就行列式abca2b2c2；7. 要使向量组1T 1, ,1 ,2T 1,2,3 ,31,0,1 T 线性相关,就8. 三阶可逆矩阵 A的特点值分别为1, 2, 3 , 那么1 A 的特点值分别为第1页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 如二次型f x x2,x 3x21x225x232 t x x 2- 2x x 34x x 是

4、正定的,就 t 的取值范畴为；.10. 设 A为 n 阶方阵 , 且满意A22A4I0, 这里 I 为 n 阶单位矩阵 , 那么A1三运算题（每道题9 分,共 27 分）2101 01. 已知A121,B0 1,求矩阵 X 使之满意 AXXB .0120 012342. 求行列式2341的值. 341241233 求向量组11,0,1,0,2 2,1,3, 7,33, 1,0,3,44,3,1, 3, 的一个最大无关组和秩 . 四10 分设有齐次线性方程组x 1 1 x 2 x 3 0, 1 x 1 x 2 x 3 0,x 1 x 2 1 x 3 0.问当 取何值时 , 上述方程组 1有唯独的

5、零解2有无穷多个解 ,并求出这些解 . 五12 分求一个正交变换 X PY ,把以下二次型化成标准形 : 2 2 2f x x 2 , x 3 x 1 x 2 x 3 4 x x 2 4 x x 3 4 x x . 六6 分已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1:ax2 by3 ca0,c0.l2:bx2 cy3 a0,l3:cx2 ay3 b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为b线性代数（ A 卷）答案一 1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 二 1. 0 2. * A1A 3. 1 4. 3 5. 14t0或 -1 1A1I6. cacbba 7. 0 8. 1,1,

6、1 9. 10. 23542三 1. 解 由 AXXB得XAI1B . 2分 第2页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 下面求AI1. 由于AI110 4分 111011而AI1011. 7分 111110所以2. 解1234XAI1B0111 001. 9分 1110 1111100 0111023412342341101341101 1341 4分 3412104124124123101231123234100113 4 8分 160 9 分 . 00400043. 解 由于123412341234 3

7、 12 24分 0113r uuuuur r 10113r 35 r 201113010533r uuuuuuur 7 r 2002073307330041234r uuuuuuur 2 r 30113 6 分 002120000故向量组的秩是 3 ,1,2,3是它的一个最大无关组；9 分 四解方程组的系数行列式111A11112 2 2111第3页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当A1220, 即1且2 时, 方程组有唯独的零解; 4分 当1时, A1213220, 方程组的系数矩阵为n3, 故方程组

8、有无穷多个解. 对 A 施它有一个二阶子式0121 A211 , 112 , 因此秩 A 2n 这里21行初等行变换 , 可得到方程组的一般解为当2 时, A13x 1x 3,x 2x 3,其中x 可取任意数 ; 7分 x 3x 3,220, 方程组的系数矩阵为明显 , 秩 A 1n 这里n11 1 A11 1 , 11 1 , 所以方程组也有无穷多个解. 对 A 施行初等行变换可得方程组的一般解为x 1x2x3,其中x 2,x 可取任意数 . 10分 x 2x 2,x 3x 3,五 解 二次型的矩阵为A122 , 2分 212 221 由于特点多项式为IA21222 2 1 5, 12 所以

9、特点值是1 二重 和 5 . 4分 221 0,IA X0得把特点值1代入齐次线性方程组x 12x22x 3解此方程组可得矩阵A 的对应于特点值2x 12x22x 30,2x 12x22x 30,1的特点向量为第4页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1T 1,0, 1 ,20,1, 1 T . 利用施密特正交化方法将1 ,2正交化 : 分 分 111,0, 1 T , 21,1,1 T , 22再将1,2单位化得12,0,2 T ,26,6,6T , 822636把特点值5 代入齐次线性方程组IA X0得

10、4x 12 x22x30,2x 14x22x 30,2x 12x24x 30,解此方程组可得矩阵A的对应于特点值5的特点向量为31,1,1 T . 再将3单位化得33,3,3T . 10333令就 P 是一个正交矩阵263分 263P1 ,2,306333263263, 且满意所以 , 正交变换 X100P1APT P AP010. 005PY 为所求 , 它把二次型化成标准形f x x 2,x3y2 1y2 25y2 3. 12六证明 : 必要性由l l2,l 交于一点得方程组第5页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -

11、 - - - ax2by3 c0bx2cy3 a0cx2ay3 b0有解 , 可知a2 b3 c1bc 2分 分 R A R Ab2c3a0abc 1ca0c2a3 b1abc0 31bcac2 0, 所以ab由于1ca1 2ba2cb21abcc2 0充分性：abc0baa2 b2acb22acac2 a2c2 ab2ca2b3 cabc1bc0又由于b2c3a6bca6abc 1cac2a3 bcab1abR A R A2, 5分 因此方程组3c0ax2 bybx2cy3a0cx2ay3 b0有唯独解,即l l2,l 交于一点 . 6分 第6页共 4 页名师归纳总结 - - - - - -

12、 -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数习题和答案一、单项挑选题（本大题共第一部分挑选题共 28 分 14 小题,每道题2 分,共 28 分）在每道题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内；错选或未选均无分；1.设行列式a11a12=m,a13a11=n,就行列式a11a12a13等于（）s=0a21a22a23a21a21a22a23A. m+n B. - m+n C. n- m D. m- n 1002.设矩阵 A =020,就 A- 1等于（）003A. 100B. 10 103100002 02010103C.

13、 100D. 10023 0110 1003 0000123123.设矩阵 A =101,A*是 A 的相伴矩阵,就A *中位于（ 1,2）的元素是（）214A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,就必有（）A. A =0B. BC 时 A =0C. A0 时 B=CD. |A |0 时 B=C5.已知 3 4 矩阵 A 的行向量组线性无关,就秩（AT）等于（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组 1,2, , s和 1,2, , s均线性相关,就（）A.有不全为 0 的数1,2, ,s使11+22+ +ss=0 和11+2

14、 2+ s s=0 B.有不全为 0 的数1,2, ,s使1（1+ 1）+2（2+ 2）+ +s（s+ s）=0 C.有不全为 0 的数1,2, ,s使1（1- 1）+2（2- 2）+ +s（s- s）=0 D.有不全为 0 的数1,2, ,s 和不全为 0 的数1,2, ,s使11+22+ +s和1 1+2 2+ +s s=0 7.设矩阵 A 的秩为 r,就 A 中（）第7页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.全部 r- 1 阶子式都不为0 B. 全部 r- 1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式

15、不等于0 D. 全部 r 阶子式都不为0 ）8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组,1,2 是其任意 2 个解,就以下结论错误选项（A.1+2 是 Ax=0 的一个解B.1 21+1 22 是 Ax=b 的一个解C.1-2 是 Ax=0 的一个解D.21-2 是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不行逆,就必有（）A.秩A n B.秩A =n- 1 C.A=0D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n3阶方阵,以下陈述中正确选项（）A.如存在数 和向量 使 A = ,就 是 A 的属于特点值 的特点向量B.如存在数 和非零向量 ,使 E- A =0,就 是 A 的特点值C.

16、A 的 2 个不同的特点值可以有同一个特点向量D.如1,2,3 是 A 的 3 个互不相同的特点值,1,2, 3依次是 A 的属于1,2,3 的特点向量,就 1, 2,3 有可能线性相关k,就必有11.设0 是矩阵A 的特点方程的3 重根, A 的属于0 的线性无关的特点向量的个数为（）A. k 3 B. k3 12.设 A 是正交矩阵,就以下结论错误选项（A.|A|2 必为 1 ）B.|A |必为 1 C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B=CTAC .就（）A.A 与 B 相像B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相

17、同的特点值D. A 与 B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为（）2 3 3 4A. B.3 4 2 61 0 0 1 1 1C. 0 2 3 D. 1 2 00 3 5 1 0 2其次部分 非挑选题（共 72 分）二、填空题（本大题共 10 小题,每道题 2 分,共 20 分）不写解答过程,将正确的答案写在每道题的空格内；错填或不填均无分；11111,B=. 123.就 A+2B= . 15.3563692516.设 A=1111124第8页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 设A=aij33 ,

18、 |A|=2 , A ij表 示 |A| 中 元 素aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 就a11A 21+a12A 22+a13A 232+a21A 21+a22A 22+a23A 23 2+a31A 21+a32A 22+a33A 232= . . 18.设向量（ 2,-3,5）与向量（ -4,6, a）线性相关,就a= . 19.设 A 是 3 4 矩阵,其秩为3,如 1, 2 为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解,就它的通解为. 20.设 A 是 m n 矩阵, A 的秩为rn ,就齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为. 21.设向量

19、 、 的长度依次为2 和 3,就向量 + 与 - 的内积（ + , - ） = . 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A |=8,已知 A 有 2 个特点值 - 1 和 4,就另一特点值为. 0106223.设矩阵 A =133,已知 =1是它的一个特点向量,就 所对应的特点值为2108224.设实二次型fx 1,x2,x3,x4,x5的秩为 4,正惯性指数为3,就其规范形为. 三、运算题（本大题共7 小题,每道题6 分,共 42 分）25.设 A=120,B=231.求（ 1）ABT；（2）|4A|. 340240121311226.试运算行列式5134. 2011153342327.设

20、矩阵 A =110,求矩阵 B 使其满意矩阵方程AB =A+2B. 123213028.给定向量组 1=1,2=3, 3=0,4=1. 02243419试判定 4 是否为 1,2,3 的线性组合；如是,就求出组合系数；1210229.设矩阵 A =2 24266. 102333334求：（1）秩（ A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组；30.设矩阵 A=022的全部特点值为1,1 和- 8.求正交矩阵T 和对角矩阵D,使 T- 1AT=D. 23424331.试用配方法化以下二次型为标准形fx 1,x2,x3=x2 12x2 23x2 34x x24x x34x x3,第9页共 4

21、 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 并写出所用的满秩线性变换；四、证明题（本大题共2 小题,每道题5 分,共 10 分）32.设方阵 A 满意 A3=0,试证明 E- A 可逆,且（ E- A）- 1=E+A+A2. 33.设0 是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解, 1,2 是其导出组Ax=0 的一个基础解系.试证明（ 1）1=0+1,2=0+2 均是 Ax=b 的解；（2）0,1,2 线性无关；答案：一、单项挑选题（本大题共 14 小题,每道题 2 分,共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C

22、6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分）15. 6 16. 33713717. 4 18. 10 19. 1+c2- 1（或 2+c2- 1）,c 为任意常数20. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 2 24. z 1z2 2z2 3z2 427 小题,每道题6 分,共 42 分）三、运算题（本大题共102225.解（1）ABT=340341211086=1810. 310（2）|4A|=43|A |=64|A|,而|A |=1202. 340121所以 |4A |=64 （- 2

23、）=- 128 26.解311251115134111312011001015335530第 10页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 51127.解28.解一解二29.解=1111550=51162301040.62055550AB =A+2B 即（ A - 2E）B=A,而2231143（ A- 2E）- 1=110153.121164143423所以B=A - 2E- 1A =153110164123386=296.212921300532130113010224011234190131121035

24、10350112011200880011001414000010020101,00110000所以 4=21+2+3,组合系数为（2,1, 1）. 考虑 4=x 11+x 22+x 33,2x1x23 x30即x123x2312x2x43 x14 x2x39.方程组有唯独解（2,1,1）T,组合系数为（2,1, 1）. 对矩阵 A 施行初等行变换12102A000620328209632第11页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12102121020328303283=B. 00062000310002

25、1700000（ 1）秩（ B） =3,所以秩（ A ）=秩（ B）=3. （ 2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形, B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组,故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性 无关组；（A 的第 1、2、 5 列或 1、3、4 列,或 1、3、5 列也是）30.解A 的属于特点值=1 的 2 个线性无关的特点向量为. 1=（2, - 1,0）T,2=（2,0,1）T. 2 5 52 5 15经正交标准化,得1=5 5,2=4 5 1505 3 =-8 的一个特点向量为31.解11 33=2,经单位

26、化得 3=2/3.22 32 5 52 15 151 3所求正交矩阵为T=5 54 5 152 3. 05 32 3100对角矩阵D=010.0082 5 52 15 151 3（也可取 T =05 32 3.）5 54 5 152 3fx 1,x 2,x 3=（x 1+2x 2- 2x3）2- 2x22+4x 2x 3- 7x32=（x 1+2x 2- 2x 3）2- 2（x2-x 3）2- 5x 32. y1x12 x22 x3x1y12y2设y2x2x3,即x2y2y3,y3x3x3y3120因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩；001经此变换即得fx 1,x 2, x3的标准形

27、y 12- 2y22- 5y32 . 四、证明题（本大题共2 小题,每道题5 分,共 10 分）第 12页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32.证 由于（ E- A）（E+A +A2）=E- A 3=E,所以 E- A 可逆,且（ E- A ）- 1= E+A+A2 . 33.证由假设 A0=b,A1=0, A2=0. 2= b,（ 1）A1=A （0+1）=A0+A 1=b,同理 A 所以 1,2 是 Ax =b 的 2 个解；（ 2）考虑 l 00+l11+l 22=0,即（l0+l 1+l2）0+l 11+l22=0. 就 l 0+l1+l2=0,否就 l11+l22=0. 0 将是 Ax =0 的解,冲突；所以又由假设, 1,2 线性无关,所以l 1=0,l 2=0,从而l 0=0 . 所以 0,1,2 线性无关；第 13页共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页