2022年经典《极坐标与参数方程》综合测试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 极坐标与参数方程综合测试题1在极坐标系中,已知曲线C： =2cos,将曲线 C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原先的 2 倍,得到曲线 C1,又已知直线 l 过点P（1,0）,倾斜角为,且直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点3（1）求曲线 C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线；（2）求+（ 为参数）,以 O 为极2在直角坐标系xOy中,圆 C 的参数方程点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2 sin（+）=3,射线 OM： =与圆 C 的交点为 O、P,与

2、直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ的长名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为： 2=4（cos+sin ） 6如以极点 O为原点,极轴所在直线为（）求圆 C的参数方程；（）在直角坐标系中,点x 轴建立平面直角坐标系P（x,y）是圆 C上动点,试求 x+y 的最大值,并求出此时点 P 的直角坐标4如以直角坐标系 xOy的 O 为极点, Ox 为极轴, 挑选相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C的极坐标方程是 =（1）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线；名师

3、归纳总结 （2）如直线 l 的参数方程为2（t 为参数）,P3,0,当直线 l 与曲线 C第 2 页,共 18 页2相交于 A,B 两点,求AB PA.PB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1的参数方程为 x 3cos 为参数）,曲线 C2 的极坐标方y 2sin程为（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1 上一点, Q 曲线 C2 上一点,求 | PQ| 的最小值及此时 P 点极坐标6在极坐标系中,曲线C的方程

4、为 2=,点 R（2,）（）以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标；（）设 P 为曲线 C上一动点,以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS周长的最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7已知平面直角坐标系中,曲线C1 的参数方程为（ 为参数）,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, =2cos曲线 C2 的极坐标方程为（）求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；（）如直线 =（R）与

5、曲线 C1交于 P,Q 两点,求 | PQ| 的长度8在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系, 己知直线 l 的极坐标方程为 cos sin =2,曲线 C的极坐标方程为 sin 2 =2pcos（p0）（1）设 t 为参数,如 x= 2+t,求直线 l 的参数方程；（2） 已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q,设 M（ 2, 4）,且| PQ|2=| MP| .| MQ| ,求实数 p 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9在极坐标系中,射线l： =与圆C： =2交于点

6、A,椭圆 的方程为2=,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy（）求点 A 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（）如 E为椭圆 的下顶点, F为椭圆 上任意一点,求 . 的取值范畴10已知在直角坐标系中,曲线的 C 参数方程为（ 为参数）,现以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =（1）求曲线 C的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C上是否存在一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小？如存在, 求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学

7、习资料 - - - - - - - - - 11已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数）,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为（ I）求曲线 C2 的直角坐标系方程；（ II）设 M 1 是曲线 C1上的点, M2是曲线 C2 上的点,求 | M1M 2| 的最小值12设点 A 为曲线 C： =2cos在极轴 Ox 上方的一点,且 0,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy,（1）求曲线 C的参数方程；（2）以 A 为直角顶点, AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方）,求 B 点轨迹的极坐标方程名

8、师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13在平面直角坐标系xOy中,曲线 C1：（ 为参数,实数 a0）,曲线 C2：（ 为参数,实数 b0）在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l： =（0,0）与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两点当 =0时, | OA| =1；当 = 时, | OB| =2（）求 a,b 的值；（）求 2| OA|2+| OA| .| OB| 的最大值14在平面直角坐标系中, 曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后,曲线为 C2,以坐标原点为极点, x

9、轴正半轴为极轴建极坐标系（）求 C2的极坐标方程；（）设曲线 C3 的极坐标方程为 sin（P,Q 两点,求 | PQ| 的值 ）=1,且曲线 C3 与曲线 C2 相交于名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15已知半圆 C 的参数方程为,a 为参数, a , （）在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆 C的极坐标方程；（）在（ ）的条件下,设T 是半圆 C 上一点,且 OT=,试写出 T 点的极坐标16已知曲线C1 的参数方程为（t 为参数）,以坐标原点为极点, x轴的

10、正半轴为极轴建立极坐标系,曲线（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；C2 的极坐标方程为 =2sin （）求 C1与 C2交点的极坐标（ 0,02）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 极坐标与参数方程综合测试题答案一解答题（共 16 小题）1在极坐标系中,已知曲线C： =2cos,将曲线 C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原先的 2 倍,得到曲线 C1,又已知直线 l 过点 P（1,0）,倾斜角为,且直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点3（1）求曲线 C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线；

11、（2）求+【解答】 解：（1）曲线 C的直角坐标方程为： x2+y2 2x=0即（ x 1）2+y2=1曲线 C1 的直角坐标方程为 =1,曲线 C表示焦点坐标为（,0）,（,0）,长轴长为 4 的椭圆（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C的方程 =1中,得 13 t 24 t 12 0设 A、B 两点对应的参数分别为 t 1,t 2,+ = 2 1032在直角坐标系 xOy中,圆 C 的参数方程（ 为参数）,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2 sin（+）=3,射线 OM： =与圆 C 的交点为 O、P,与直线

12、l 的交点为 Q,求线段 PQ的长【解答】解：（I）利用 cos2+sin2 =1,把圆 C 的参数方程 为参数）化为（ x 1）2+y2=1,名师归纳总结 2 2 cos =0,即 =2cos,解得第 9 页,共 18 页（II）设（ 1,1）为点 P 的极坐标,由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设（2,2）为点 Q 的极坐标,由,解得1=2,| PQ| =| 1 2| =2| PQ| =23在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为： 2=4（cos+sin ） 6如以极点 O为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（）求圆 C的参数方程；（）在

13、直角坐标系中,点 出此时点 P 的直角坐标P（x,y）是圆 C上动点,试求 x+y 的最大值,并求【解答】（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 解：（）由于 2=4（cos+sin ） 6,所以 x2+y2=4x+4y 6,所以 x2+y2 4x 4y+6=0,即（ x 2）2+（y 2）2=2 为圆 C的一般方程 （4 分）所以所求的圆 C 的参数方程为（ 为参数）（6 分）（）由（ ）可得,（7 分）当 时,即点 P 的直角坐标为 （3,3）时,（9 分）x+y 取到最大值为 6（10 分）4如以直角坐标系 xOy的 O 为极点, Ox 为极轴, 挑选相同的长度单位建立极

14、坐标系,得曲线 C 的极坐标方程是 =（1）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线；名师归纳总结 （2）如直线 l 的参数方程为2（t 为参数）,P3,0,当直线 l 与曲线 C第 10 页,共 18 页2相交于 A,B 两点,求AB PAPB.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解答】 解：（1） =, 2sin2 =6 cos曲线 C的直角坐标方程为y2=6x曲线为以（,0）为焦点,开口向右的抛物线（2）直线 l 的参数方程可化为解得 t 1= 2,t2=6,代入 y2=6x得 t2 4t 12=0| =| t1 t2| =8

15、AB22PAPB35在平面直角坐标系xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C1 的参数方程为x3cos为参数）,曲线 C2 的极坐标方程为y2sin（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1 上一点, Q 曲线 C2 上一点,求 | PQ| 的最小值及此时 P 点极坐标【解答】解：（1）由消去参数 ,得曲线 C1的一般方程为由得,曲线 C2 的直角坐标方程为（2）设 P（2cos,2sin ）,就离为点P到曲线C2的距当时, d 有最小值,所以 | PQ| 的最小值为）6在极坐标系中,曲线C的方程为 2=,点 R

16、（2,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标；（）设 P 为曲线 C上一动点,以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS周长的最小值【解答】 解：（）由于 x= cos,y= sin ,就：曲线 C的方程为 2=,转化成点 R的极坐标转化成直角坐标为：R（2,2）（）设 P（）依据题意,得到 Q（2,sin ）,就： | PQ| =,| QR| =2 sin ,所以： |

17、PQ|+| QR| =当 时,（| PQ|+| QR| ）min=2,矩形的最小周长为 47已知平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为（ 为参数）,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 =2cos（）求曲线 C1 的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（）如直线 =（R）与曲线 C1交于 P,Q 两点,求 | PQ| 的长度【解答】 解：（I）曲线 C1的参数方程为（ 为参数）,利用平方关系消去 可得：+（y+1）2=9,绽开为： x2+y2 2 x+2y 5=0,可得极坐标方程： cos+2 sin 5=0曲线 C2 的极坐标方程为 =2cos,即

18、 2=2 cos,可得直角坐标方程： x2+y2=2x（II）把直线 =（R）代入 cos+2 sin 5=0,整理可得： 2 2 5=0,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1+2=2,1.2= 5,| PQ| =| 1 2| =28在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,己知直线 l 的极坐标方程为 cos sin =2,曲线 C的极坐标方程为 sin 2 =2pcos（p0）（1）设 t 为参数,如 x= 2+t,求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C

19、交于 P、Q,设 M（ 2, 4）,且| PQ|2=| MP| .| MQ| ,求实数 p 的值【解答】 解：（1）直线 l 的极坐标方程为 cos sin =2,化为直角坐标方程： x y 2=0x= 2+t,y=x 2= 4+t ,直线 l 的参数方程为：（t 为参数）（2）曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 =2pcos（p0）,即为 2sin2 =2p cos（p0）,可得直角坐标方程： y2=2px把直线 l 的参数方程代入可得： t2 （ 8+2p）t+8p+32=0t1+t 2=（8+2p）,t1t2=8p+32不妨设 | MP| =t1,| MQ| =t2| PQ| =| t

20、 1 t2| =| PQ|2=| MP| .| MQ| ,8p2+32p=8p+32,化为： p2+3p 4=0,解得 p=19在极坐标系中,射线l： =与圆C： =2交于点A,椭圆 的方程为名师归纳总结 2=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）求点 A 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（）如 E为椭圆 的下顶点, F为椭圆 上任意一点,求 . 的取值范畴【解答】 解：（）射线 l： = 与圆 C： =2交于点 A（2,）,点 A 的直角坐标（,1）；椭圆 的方程为 2

21、=,直角坐标方程为 +y2=1,参数方程为（ 为参数）；（）设 F（cos,sin ）,E（0, 1）,=（, 2）,=（cos,sin 1）,. = 3cos+3 2（sin 1）= sin（+）+5,. 的取值范畴是 5,5+ 10已知在直角坐标系中,曲线的 C 参数方程为（ 为参数）,现以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =（1）求曲线 C的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C上是否存在一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小？如存在, 求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；如不存在,请说明理由【解答】 解：（1）曲线的 C 参数方

22、程为（x 1）2+（y 1）2=4,（ 为参数）,一般方程为名师归纳总结 直线 l 的极坐标方程为 =,直角坐标方程为x y 4=0；第 14 页,共 18 页（2）点 P 到直线 l 的距离 d=,=2k,即 =2k（kZ）,距离的最小值为2 2,点 P 的直角坐标（ 1+,1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数）,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为（ I）求曲线 C2 的直角坐标系方程；（ II）设 M 1 是曲线 C1上的点, M2是曲线 C2 上的点,求

23、 | M1M 2| 的最小值【解答】 解：（I）由（）曲线 C1 的参数方程为可得 =x 2,2=（x 2）2,即 y2=4（x 1）；（t 为参数）,消去 t 得：2x+y+4=0曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y+4=0M1是曲线 C1 上的点, M 2 是曲线 C2 上的点,| M1M 2| 的最小值等于 M 2 到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值设 M 2（r2 1,2r）,M2 到直线 2x+y+4=0 的距离为 d,就 d= =| M1M 2| 的最小值为12设点 A 为曲线 C： =2cos在极轴 Ox 上方的一点,且 0,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角

24、坐标系 xOy,（1）求曲线 C的参数方程；（2）以 A 为直角顶点, AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方）,求点 B 轨迹的极坐标方程【解答】（1）x1 cos 0sin2, 为参数）y（2）：设 A（0,0）,且满意 0=2cos0,B（,）,名师归纳总结 依题意,即,第 15 页,共 18 页代入 0=2cos0 并整理得,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以点 B 的轨迹方程为,13在平面直角坐标系xOy中,曲线 C1：（ 为参数,实数 a0）,曲线 C2：（ 为参数,实数 b0）在以 O 为极点, x 轴的正半

25、轴为极轴的极坐标系中,射线 l： =（0,0）与 C1交于 O、A 两点,与 C2交于 O、B 两点当 =0时, | OA| =1；当 =（）求 a,b 的值；（）求 2| OA|2+| OA| .| OB| 的最大值时, | OB| =2【解答】 解：（）由曲线 C1：（ 为参数,实数 a0）,化为一般方程为（ x a）2+y2=a2,绽开为： x2+y2 2ax=0,其极坐标方程为2=2a cos,即 =2acos,由题意可得当 =0时, | OA| = =1,a= 曲线 C2：（ 为参数,实数 b0）,化为一般方程为 x2+（y b）2=b2,绽开可得极坐标方程为 =2bsin ,由题意

26、可得当 时, | OB| = =2, b=1（）由（ I）可得 C1,C2的方程分别为 =cos, =2sin 2| OA|2+| OA| .| OB| =2cos2+2sin cos =sin2 +cos2+1=+1,+1,2+,+1 的最大值为当 2+=时, =时取到最大值14在平面直角坐标系中, 曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 C2,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C2的极坐标方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）设曲线 C3 的极坐标方程为 sin（P,Q

27、 两点,求 | PQ| 的值【解答】 解：（）C2 的参数方程为 1）2+y2=1,C2 的极坐标方程为 =2cos； ）=1,且曲线 C3 与曲线 C2 相交于（ 为参数）,一般方程为（ x（）C2是以（ 1,0）为圆心,2 为半径的圆,曲线 C3 的极坐标方程为 sin（ ）=1,直角坐标方程为xy 2=0, 圆心到直线的距离d=,| PQ| =2=,a 为参数, a 15已知半圆 C 的参数方程为（）在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系,求半圆 C的极坐标方程；（）在（ ）的条件下,设T 是半圆 C 上一点,且 OT=,试写出 T 点的极坐标【

28、解答】解：（）由半圆 C的参数方程为,a 为参数,a , ,就圆的一般方程为x2+（y 1）2=1（0x1）,由 x= cos,y= sin ,x2+y2=2,可得半圆 C的极坐标方程为 =2sin , 0, ；（）由题意可得半圆C的直径为 2,设半圆的直径为OA,就 sinTAO=,由于 TAO 0, ,就 TAO=,由于 TAO=TOX,名师归纳总结 所以 TOX=,）第 17 页,共 18 页T 点的极坐标为（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16已知曲线 C1 的参数方程为 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线（t 为参数）,以坐标原点为极点, x

29、轴的 C2 的极坐标方程为 =2sin （）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（ 0,02）【解答】 解：（）曲线 C1 的参数方程式（t 为参数）,得（ x 4）2+（y 5）2=25 即为圆 C1的一般方程,即 x2+y2 8x 10y+16=0将 x= cos,y= sin 代入上式,得2 8 cos 10 sin +16=0,此即为 C1的极坐标方程；（）曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin 化为直角坐标方程为： x2+y2 2y=0,名师归纳总结 由,解得或）第 18 页,共 18 页C1 与 C2 交点的极坐标分别为（,）,（2,- - - - - - -