2022年线性代数知识点框架及习题解读.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线性代数学问点框架及习题解读线性代数的学习切入点：线性方程组；换言之,可以把线性代数看作是在争论线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科；线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式,方程组的数目s 和未知数的个数 n 可以相同,也可以不同；关于线性方程组的解,有三个问题值得争论：（1）、方程组是否有解,即解的存在性问题； （2）、方程组如何求解,有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时,这些不同的解之间有无内在联系,即解的结构问题；高斯消元法,最基础和最直接的求解线性方程组的方法,其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个

2、方程的k 倍加到另外一个方程上去； （2）、交换某两个方程的位置； （3）、用某个常数 k 乘以某个方程；我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换；任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组；由详细例子可看出,化为阶梯形方程组后,就可以依次解出每个未知数的值,从而求得方程组的解；对方程组的解起打算性作用的是未知数的系数及其相对位置,所以可以把方程组的全部系数及常数项按原先的位置提取出来,形成一张表, 通过争论这张表, 就可以判定解的情形； 我们把这样一张由如干个数按某种方式构成的表称为矩阵；可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组,这至少在书写和表达上都更加简洁；系数矩阵和增广矩阵；高斯

3、消元法中对线性方程组的初等变换,就对应的是矩阵的初等行变换； 阶梯形方程组, 对应的是阶梯形矩阵； 换言之,任意的线性方程组,都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵,求得解；阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零,每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元；对不同的线性方程组的详细求解结果进行归纳总结（有唯独解、无解、有无穷多解）,再经过严格证明,可得到关于线性方程组解的判别定理：第一是通过初等变换将方程组化为阶梯形,如得到的阶梯形方程组中显现 0=d 这一项,就方程组无解,如未显现 0=d一项,就方程组有解；在方程组有解的情形下,如阶梯形的非零行数目 r 等于未知量数目 n,方程组有唯

4、独解,如 rn,就方程组有无穷多解；在利用初等变换得到阶梯型后,仍可进一步得到最简形,使用最简形,最简形的特点是主元上方的元素也全为零,这对于求解未知量的值更加便利,但代价是之前需要经过更多的初等变换；在求解过程中,挑选阶梯形仍是最简形,取决于个人习惯；常数项全为零的线性方程称为齐次方程组,齐次方程组必有零解；齐次方程组的方程组个数如小于未知量个数,就方程组肯定有非零解；利用高斯消元法和解的判别定理,以及能够回答前述的基本问题（线性方程组为动身点建立起来的最基本理论；1）解的存在性问题和（ 2）如何求解的问题,这是以名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料

5、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载对于 n 个方程 n 个未知数的特殊情形,我们发觉可以利用系数的某种组合来表示其解,这种按特定规章表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式；行列式的特点：有 n.项,每项的符号由角标排列的逆序数打算,是一个数；通过对行列式进行争论,得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行绽开等等）,这些性质都有助于我们更便利的运算行列式；用系数行列式可以判定 n 个方程的 n 元线性方程组的解的情形,这就是克莱姆法就；总而言之,可把行列式看作是为了争论方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容；

6、在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中,涉及到一种重要的运算,即把某一行的倍数加到另一行上,也就是说,为了争论从线性方程组的系数和常数项判定它有没有解,有多少解的问题,需要定义这样的运算,这提示我们可以把问题转为直接争论这种对 n 元有序数组的数量乘法和加法运算；数域上的 n 元有序数组称为 n 维向量；设向量 a=a1,a2,.,an,称 ai 是 a 的第 i 个重量；n 元有序数组写成一行,称为行向量,同时它也可以写为一列,称为列向量；要留意的是,行向量和列向量没有本质区别,只是元素的写法不同；矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系；对给定的向量组,可以定义它的一个线性组合；线性表出定义

7、的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系；利用矩阵的列向量组,我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题；同时要留意这个结论的双向作用；从简洁例子（如几何空间中的三个向量）可以看到,假如一个向量a1 能由另外两个向量a2、a3 线性表出,就这三个向量共面,反之就不共面；为了争论向量个数更多时的类似情形,我们把上述两种对向量组的描述进行推广,便可得到线性相关和线性无关的定义；通过一些简洁例子体会线性相关和线性无关（零向量肯定线性无关、 单个非零向量线性无关、 单位向量组线性无关等等） ；从多个角度（线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性

8、相关和线性无关的本质；部分组线性相关,整个向量组线性相关；向量组线性无关,延长组线性无关；回到线性方程组的解的问题,即一个向量b 在什么情形下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？假如这个向量组本身是线性无关的,可通过分析立刻得到答案：讨；b, a1, a2, ., an线性相关； 假如这个向量组本身是线性相关的,就需进一步探任意一个向量组,都可以通过依次削减这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组,这个部分组的特点是：本身线性 无关,从向量组的其余向量中任取一个进去,得到的新的向量组都线性相关,我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组；名师归纳总结 - - - - - - -第

9、 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载假如一个向量组 A 中的每个向量都能被另一个向量组 称 A 和 B 等价；B线性表出,就称 A 能被 B线性表出；假如 A 和 B 能相互线性表出,一个向量组可能又不止一个极大线性无关组,但可以确定的是,向量组和它的极大线性无关组等价,同时由等价的传递性可知,任意两个极大线性无关组等价；留意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出；这是不难懂得的,例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不行能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出；一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量

10、个数相等,我们将这个数目 r 称为向量组的秩；向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目；等价的向量组有相同的秩；有了秩的概念以后,我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉,从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：如系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等,就有解,如不等,就无解；向量组的秩是一个自然数,由这个自然数就可以判定向量组是线性相关仍是线性无关,由此可见,秩是一个特别深刻而重要的概念,故有必要进一步争论向量组的秩的运算方法；为了求向量组的秩,我们来考虑矩阵；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩,行向量组的秩称为行秩；对阶梯形矩阵进行考察,发觉阶梯形矩阵

11、的行秩等于列秩,并且都等于阶梯形的非零行的数目,并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组；矩阵的初等行变换不会转变矩阵的行秩,也不会转变矩阵的列秩；任取一个矩阵 A,通过初等行变换将其化成阶梯形 来说,其行秩和列秩相等,我们统称为矩阵的秩；J,就有： A 的行秩 =J的行秩 =J的列秩 =A 的列秩,即对任意一个矩阵通过初等行变换化矩阵为阶梯形,即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法；考虑到 A 的行秩和 A 的转置的列秩的等同性,就初等列变换也不会转变矩阵的秩；总而言之,初等变换不会转变矩阵的秩；因此假如只需要求矩阵A 的秩,而不需要求 A 的列向量组的极大无关组时,可以对A

12、既作初等行变换,又作初等列变换,这会给运算带来便利；矩阵的秩,同时又可定义为不为零的子式的最高阶数；满秩矩阵的行列式不等于零；非满秩矩阵的行列式必为零；既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同,就可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简洁的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；另外,有唯独解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩 r 等于未知量数目 n,有唯一解, rn,有无穷多解；齐次线性方程组的解的结构问题,可以用基础解系来表示；当齐次线性方程组有非零解时,基础解系所含向量个数等于名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - -

13、 - - 学习必备 欢迎下载n-r,用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解；通过对详细实例进行分析,可以看到求基础解系的方法仍是在于用初等行变换化阶梯形；非齐次线性方程组的解的结构,是由对应的齐次通解加上一个特解；在之前争论线性方程组的解的过程当中,留意到矩阵及其秩有着重要的位置和应用,故仍有必要对矩阵及其运算进行专门探讨；矩阵的加法和数乘,与向量的运算类同；矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）述；即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表矩阵的乘法,反映的是线性变换的叠加；如矩阵A 对应的是旋转一个角度a,矩阵 B 对应的是旋转一个角度b,就矩阵AB对应的是旋转一个

14、角度a+b；矩阵乘法的特点：如 C=AB,就 C的第 i 行、第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的元素对应乘积之和； A 的列数要和B 的行数相同； C 的行数是 A的行数,列数是 B的列数；需要主义的是矩阵乘法不满意交换律,满意结合律；利用矩阵乘积的写法,线性方程组可更简洁的表示为：Ax=b；对于 C=AB,仍可作如下分析：将左边的矩阵 A 写成列向量组的形式,即意味着 C的列向量组能由 A 的列向量组表示,从而推知 C的列秩小于等于 A 的列秩；将右边的矩阵 B 写成行向量组的形式, 即意味着 C的行向量组能由 B 的行向量组表示,从而推知 C的行秩小于等于 B 的行

15、秩,再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩,最终可得到结论,C的秩小于等于 A 的秩,也小于等于 B 的秩,即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩；关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积；一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵；特殊要留意,初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵；每一个初等矩阵对应一个初等变换,由于左乘的形式为 PA（P 为初等矩阵）,将 A 写成行向量组的形式, PA意味着对 A做了一次初等行变换；同理,AP意味着对 A 做了一次初等列变换,故左乘对应行变换,右乘对应列变换；如 AB=E,就称 A 为可逆矩阵, B 是 A 的逆阵,同样,

16、这时的 B也是可逆矩阵,留意可逆矩阵肯定是方阵；第一种求逆阵的方法：相伴阵；这种方法的理论依据是行列式的按行（列）绽开；矩阵可逆,行列式不为零,行（列）向量组线性无关,满秩,要留意这些结论之间的充分必要性；单位阵和初等矩阵都是可逆的；如矩阵可逆,就肯定可以通过初等变换化为单位阵,这是不难懂得的,由于初等矩阵满秩,故最终化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数, 主元数目等于列数, 这即是单位阵； 进一步,既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载而初等变换对应的是

17、初等矩阵,即意味着：可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵,换言之可逆矩阵 可看作是一系列初等矩阵的乘积,由于单位阵在乘积中可略去；可逆矩阵作为因子不会转变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩；由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积,可以想象,同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上,结果是将这个 单位阵变为原先矩阵的逆阵,由此引出求逆阵的其次种方法：初等变换；需要留意的是这个过程中不能混用行列变换,且同样是左乘对应行变换,右乘对应列变换；矩阵分块,即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体,对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵,运算法就仍 然适用；将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的

18、形式,实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式；接下来是习题解读同济五版线性代数习题解读（一）1、利用对角线法就运算行列式,可以通过几道小题熟识一下把行列式化成上（下）三角的过程,基此题；2、3 题涉及排列以及行列式的绽开准就,不是太重要,明白即可；4、5、6 题是一些运算行列式的练习,不同特点的行列式通常有不同的方法,常见的就是化为上（下）三角,按行（列）绽开,某一行（列）是和的形式可进行拆分,基此题,要通过这些练习来娴熟行列式的运算这一块；5 题虽然是以方程 形式给出,但考察点仍是运算；7、行列式性质的应用,比较重要的题型,重在对思维的训练,而且该题的结论很常用,最好把握；8、一些难度较

19、高的行列式的运算题,涉及到不少技巧,而这些技巧通常初学者是想不到的,这时候可以看看答案,体 会一下答案的做法,对这块内容的要求和不定积分是类似的；9、设计奇妙的题目,隐含考点是行列式按行绽开的性质：如是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和,结果 是行列式的值；如是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和,结果为 0；留意此题要求的结果是第三行的代数 余子式的某种组合,而依据代数余子式的定义可知,这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的,那就可以依据需要 把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数,这样问题就简化为求一个新的行列式,而无需烦琐的进行四次求 代数余子式的运算；此题技巧性

20、较强,但这个构思方法值得把握；10、克兰姆法就的应用,归根结底仍是运算行列式；11、12 题是通过行列式来判定齐次方程组的解的情形,基此题,在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做；总的来说,第一章的习题大都特别基本,集中于运算层面的考察,没有懂得上的难度；同济五版线性代数习题解读（二）名师归纳总结 1 、矩阵乘法的基本练习,简洁题,但运算很简洁出错,不行轻视,（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型；第 5 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、直接考察矩阵相关运算,基此题；3、矩阵的乘法实际上是

21、表示一个线性变换,题目给出了从y 到 x 的变换,仍给出了从z 到 y 的变换,要求 z 到 x 的变换；既然一个矩阵可以表示一个线性变换,两个矩阵的乘积即可懂得为两个变换的叠加,这也是供应了一个侧面去懂得 矩阵相乘的意义；4、5 题实际上都是通过一些详细的例子来加深对矩阵运算的懂得,比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子,等等,这些例子是比较重要的,由于有时能在考场上派上用场,需要熟识；6、7 题是求矩阵乘方的题目,基此题,但要留意些适当的技巧,比如拆成两个特殊矩阵的和,能简化运算；8、9 是关于对称阵概念的考查,不难但重要,由于这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义动身证明；所

22、以从 这两道题得到的启示是要把线代上的每个学问点都抠得足够细,了然于心；10、11、12 都是矩阵求逆的运算题,只不过表达方式不同,10 题是直接提出要求, 11 题是以矩阵方程的形式来示意求 逆, 12 题就从线性方程组的角度来示意求逆；求逆是错误率很高的一类题目,所以需要重点练习；13、和 3 题类似,矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换,题目给出了从 y 到 x 的变换可以用一个矩阵表示,反过 来求 x 到 y 的变换,求逆阵即可；此题的另外一个示意：要能够娴熟的把握从方程组到矩阵的写法,即矩阵方程 x=Ay 代表一个线性方程组,或者说一个线性变换,对这两种写法都要能够看到一个立刻反应到另

23、一个；14、考察矩阵和其逆阵、相伴阵的关系,同时把行列式加进来,综合性较强的重要题型；15、16 解简洁的矩阵方程,留意先对已知等式做一些适当的变形,基此题；14、15 证明矩阵可逆,从定义动身即可,留意从题目中体会思路；16、考察矩阵和其逆阵、相伴阵的关系,同时把行列式加进来,综合性较强的重要题型；17、18 略微复杂一些的矩阵方程,由于其中涉及到相伴阵,但也不难,利用好相伴阵和逆阵的关系即可简化,此二题的 难度接近考研中的填空题；19、20 是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方） 运算,在复习完一遍线代后再看发觉这其实就是特点值特点向量（对角化）的一个应用,实际上特点值问题原来就可以懂得为是为

24、了查找矩阵乘方运算的捷径而进展起来的,只不过后来发觉特点 值仍有很多其它很好的用处；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载21、22 证明矩阵可逆,从可逆的定义动身即可,即如能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵,那么已知矩阵确定可逆,留意从这两道题目中体会这种常用的思路；23、24 题本身的证明是从定义动身,更重要的是这两道题可以作为结论记的,线代的考研题目常涉及这两个命题；在线代的学习中,把握好一些不是课本上正面给出（如显现于习题中）的命题是很有好处的；25、26、27、28 都是对分块矩阵运算的

25、考查,作为适当的练习,是必要的；在分块矩阵这部分学问点特殊要留意的是：要能够依据问题的需要实行适当的分块方式,典型的如行分块和列分块,一个线性方程组可以用矩阵 Ax=b来表示,一个矩阵方程 AX=B就可看作是如干个线性方程组 Ax1 x2 . xn=b1 b2 . bn 同时成立的结果,当然这只是一个典型的里子,其它仍有很多类似的点也要娴熟到能够在头脑中随时切换,以适应不同的解题或懂得需要；和第一章类似,其次章的学习也主要集中在运算层面上,我们可以这样来懂得,前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规章,就如我们以前学数的加减乘除一样,这些规章当然是认为规定的,但是又是在解决某些实际

26、问题的过程中会大量用到的,所以有必要先统一进行明白和学习,比如求行列式可以帮忙我们解方程,求矩阵的乘积可以帮忙我们进行坐标变换,等等；同济五版线性代数习题解读（三）1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形,基本运算的练习,实际上也可以化为阶梯行而不肯定非要最简,这类运算要多加练习,需娴熟把握；2、3 表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵,实际上是考察初等矩阵,由于化为行最简形的过程就是初等变换过程,对应的是一系列初等矩阵的乘积,把这一过程搞清晰了,要求的矩阵也就相应清晰了；要知道一个初等矩阵对应一个初等变换,其逆阵也是,从这个意义上去懂得可以有效解决很多问题；4、求矩阵的逆阵的其次种方

27、法（第一种是相伴阵）,基此题,同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清晰（书上相应章节有说明）,即为什么可以通过这两种方法求逆阵；5、6 是解矩阵方程,关键仍是求逆,复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了,挑选自己习惯的做法即可；7、考察矩阵秩的概念,所以矩阵的秩肯定要搞清晰：是不为零的子式的最高阶数；所以秩为 r 的话只需要有一个不为零的 r 阶子式,但全部的 r+1 阶子式都为零；至于 是 r-1 而不是 r 了；r-1 阶子式,也是有可能为零的,但不行能全部的都为零,否就秩就8、仍是涉及矩阵的秩, 矩阵削减一行, 秩最多减 1,也可能不减, 不难懂得, 但自己肯定要在头脑中把这个过程想清晰

28、；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系,实际上它们是一样的,由于已经知道的两个向量是线性无关的,这样此题就转化为一个简洁问题： 在找两个行向量, 与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关,最终由于要求方阵,所以仍要找一个向量,与前面四个向量组和在一起就线性相关,最简洁想到的就是 0 向量了；10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念,它能够反映一个矩阵的最主要信息,所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题；矩阵的初等行（列）变换都不会转变其秩,所以可以混用行

29、、列变化把矩阵化为最简形来求出秩；11 题是一个重要命题,常常可以直接拿来用,至于它本身的证明,可以从等价的定义动身：等价是指两个矩阵可以经过初等变换相互得到,而初等变换是不转变矩阵的秩的,所以等价就秩必相等；实际上 常常认为秩相等才是等价的定义,不过既然是充分必要条件,这样懂得也并无不行；12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩,方法不止一种,题目不难但比较典型；13、14 题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习,务必娴熟把握；11 题由于太过常用,以至于我们15、线性方程组的逆问题,即已知解要求写出方程,把矩阵的系数看做未知数来反推即可,由于基础解系中自由未知量 的个数和有效方程正好是对应的,个

30、人感觉这类题不太重要；16、17、18 题是线性方程组的一类典型题,考研常见题型,争论不同参数取值时解的情形,要娴熟把握这类题目；19、证明本身不是很重要,重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵 其秩肯定是 1；这实际上也不难懂得,矩阵的秩是 1 意味着每行（或每列）都对应成比例,即可以写成某一列向量乘行 向量的形式,列向量的元素就是每行的比例系数,反过来也一样,这个大家可自行写一些详细的例子验证,加深印象；另外值得留意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵,而行向量乘列向量生成的是数；20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响,抓住 RAB=minRA,RB

31、这个关键命题即可；或者从同解方程组角度出 发,即要证明两个矩阵秩相等,可证其方程组同解；21、留意 A 是否可逆未知,故不能用求逆的方法证明,这是易犯的错误之一；实际上该题考察的仍是方程组只有零解的 条件：满秩；关键一步在于把条件改写为 AX-Y=0 前两章的习题以锤炼运算才能为主,从第三章开头懂得层面的内容逐步增多,很多概念要引起重视；同济五版线性代数习题解读（四）第一说一下,第四章的精华就在于勾画出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系,它们共同形成一个线性代数的学问 网络,习题四中的证明题基本上都是对思维的锤炼,做好这些证明题有助于加深对线代学问点相互关系的懂得,要重点 对待；名师归纳总结

32、 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、涉及一个重要的学问转换,即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题,同时,一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题,所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小； 由于我们知道一个重要的事实： 一个向量组不行能由比它秩更小的向量组来线性表出,例如,三维空间里的向量（秩是3）永久不行能由平面上的向量（秩是2）来表出；2、考察向量组的等价,搞清晰何为向量组等价,直接验证即可,基此题；另外可以发散一下思维,

33、向量组等价和矩阵等价有何不同？哪个命题的结论更强？实际上向量组等价就对应矩阵肯定等价,反之未必；3、与线性表出有关的命题,一般用反证法,这类题目可以有效的锤炼解题思路,假如不会要重点体会答案给出的方法和思路；4、5 题涉及线性相关和线性无关的判定,实际上仍是转化为方程组有解无解的问题,基此题；6 题考察对两个向量线性相关的懂得,实际上就是对应成比例,但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量,此题不是太有代表性,明白一下即可；7、8 涉及到一些相关和无关的命题判定,重点在于懂得题干的意思,如 8（1）的错误在于放大了线性相关的结论,因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示,而不肯定能确

34、定究竟是哪个向量能用其余向量表示,类似的去理解清晰其余几个说法要表达的意思,这是第一要务；至于反例倒在其次,可以通过参考书的答案看看,明白下有这样的反例即可；9、10 题是证明线性相关线性无关的经典题,可先假设其线性组合为零,然后推证系数的情形,如系数可不全为零就线性相关,如系数必需全为零就线性无关,重点题型；11、12 考察如何求一个向量组的秩和最大无关组,留意求向量组的秩只能用一种变换（一般用行变化）,化为阶梯形即一目了然,基此题型的练习,要娴熟把握；13、通过秩来确定参数,基此题,只不过这里是以向量组的形式给出条件,和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区分；14、15 是向量组的命题

35、,留意单位坐标向量的特殊性：线性无关；另外 14 题就是 15 题的特殊情形；16、用反证法,此题的奇妙之处在于要逐步递推,这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目（大多习题都是结论常用所以显得更重要） ,留意认真体会证明过程；17、就是习题三的 20 题,只不过是以向量组的说法给出；18、应当从今题中体会到的是：两个向量组等价,就其关系矩阵肯定是满秩的,缘由可用矩阵的语言来说明：两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化,关系矩阵就是这些所全部初等变换对应的初等矩阵的乘积,初等矩阵全部都是满秩的；19、题目本身不难,直接代入已知条件再作适当的变形即可,但复习过一遍线代的同学应当留意到,

36、特点值与特点向量的一些概念在此题中已经初现端倪,要把思路拓宽,看看从特点向量的角度来看是否能对题目有新的体会；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20、齐次线性方程组的练习,基此题型,必需的练习,特殊是（更高,留意不要出错；21、实际上转化为线性方程组的题目,也是基此题型；22、就是习题三的 15 题,两者无本质区分；3）这类系数由通式给出的方程,在考研中显现的概率23、基此题,求方程组的基础解系,另外留意公共解实际上就是方程组联立后的结果；24、题目涉及的重要命题有两个,一是：如 AB=0,就 R

37、A+RB=RA+B；至于证明本身,只是这两个命题在某种特殊情形下的综合应用,解答过程给我们的提示相对来说是更重要的；25、与相伴阵的秩有关的闻名命题,常用结论,肯定要把握；证明过程很多参考资料都给出了；26、非齐次线性方程组的练习,基此题型；27、考察线性方程组的解的结构,较好的融合了该部分的相关学问点,通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解；28、争论参数取值对方程组的解的影响,基此题,以向量组的语言给出而已；29、把线性方程组和空间解析几何的学问点相结合的一道题目,可以作为一个提高练习,不强求把握；30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题,考研典型题之一,解决此题需要综合应用线性方

38、程组和向量组的如干知识点,重点把握和懂得的对象；31、32、33 都是涉及解的结构的证明题,其中对基础解系的懂得要清晰：基础解系是线性无关的,同时全部的解都可由基础解系表示,由此可见基础解系本身就给出了很多强有力的信息,这个在题目中肯定要多加利用；同时仍有一些解的结构的命题,如非次方程解的差即齐次方程解,等等,也可以通过这几道练习中来加强懂得和把握；34 及以后的向量空间的题目都不作要求,最多是 详述；40 题的过渡矩阵明白一下即可,详细解法可参与书上例题,这里不再通过三、四章的学习和练习,我们体会到,要学好线代,需要建立起良好的思维习惯,即面对线性代数的学问点,常常 需要从不同的角度（方程组

39、角度、向量组角度和矩阵角度）去懂得同一个数学事实或数学命题,并且它们通常仍是可以互推的,所以在线代里,“见一反三 ”特别重要,一旦抓住了整个学问网络,线代就会成为考研数学里最简洁的一环；同济五版线性代数习题解读（五）1、涉及与正交相关的条件的基本运算题,可作为运算方面的练习；2、施密特正交化的运算,很重要的基此题,要留意的是施密特正交化的运算公式难于记忆,最好是把正交化的整个过名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载程搞清晰,也就是说：给你一组向量,你要把它们化成正交的,怎么做？可以先考虑简洁情形,两

40、个向量怎么正交化？很简洁,只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了；那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化,然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了；依次类推,就不难懂得施密特正交化中每个公式的意义了；3、判定矩阵是不是正交阵,按定义即可,基此题；4、5 是简洁的涉及正交矩阵概念的证明题,从定义动身,都不难得到结论；6、求特点值和特点向量的基此题型,需要练习娴熟；7、证明特点值相同,按特点值定义即可,此命题可作为结论用；8、较难的一道题,把线代里几个重要的学问点都综合在一起考察,关键在于问题的转化：有公共的特点向量问题即两个方程组有公共解的问题,然后用与方程组的基础解系有关的学问点

41、解决,要重点体会解题思路；9、10、11 都是与特点值有关的一些命题,从定义动身不难证明,线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们,把它们懂得好；其中 10 题是一个常用的结论；12、13 是特点值性质的应用,即特点值与矩阵特有的对应关系,比如矩阵作多项式运算,就其特点值也就该多项式规律变化,基此题,也是常见题型；14、考察相像的概念,仍旧是要把握好定义,何为相像？15、16 题涉及到相像对角化,这就要求把相像对角化的条件搞清晰,那么什么样的矩阵可相像对角化？条件是特点向量线性无关,从这点动身就可以解决问题；至于 16（1）就是特点值特点向量定义的直接考察；17、18 涉及到求矩阵的乘方,实际上

42、特点值特点向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的,这里自然是化为对角阵以后运算, 18 题是应用题形式；19、20 题涉及正交的相像变换矩阵,基此题,运算量较大且简洁出错,是值得重视的练习；21、22、23 题就是特点值问题的反问题,实际上把已知的对角矩阵看作动身点即可；值得留意的是：对一般矩阵来说,不同的特点值对应的特点向量是线性无关的；对对称矩阵来说,不同的特点值对应的特点向量不仅线性无关,仍是正交的,这明显是个更有用的结果；名师归纳总结 24 是一个重要命题,它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特点值问题；实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是1,而且第 11 页,共 19 页- - -

43、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是对称的,所以必可对角化, 故 0 是其 n-1 重特点值, 至于非零特点值, 也不难求出, 就是这个列向量转置后生成的数；此题的结论很常用,要重点把握；25 题涉及求矩阵的多项式运算,不外乎就是乘方运算,与 17、18 题类同；26、27 题考察二次型的概念,基此题,要求娴熟写出一个二次型所对应的矩阵,反过来也一样；28、29 题考察用正交变换化二次型为标准型,实际上就是一个对角化的问题,但由于是对称矩阵,所以既可正交又可相 似对角化；同时要留意二次型的几何意义：是一个二次曲面；曲面的外形在不同的坐标系下都是

44、一样的,所以对于一个 复杂的二次型,如不能直接看出它是什么曲面,可以通过化为主坐标系下的二次型（即标准型）来进行观看；30、综合性较强的一道题,转化为多元函数的条件极值问题即可；31、用配方法化二次型的练习,基此题,留意运算不要出错；32、33 都是判定二次型的正定性,对于详细给出的二次型,用次序主子式的符号即可判定,这个是其中一个充分必要条 件；34、实际给出了正定的另一个充分必要条件,证明过程涉及一个抽象矩阵,故只能从最基本的正定的定义动身,此命题 是一个有用的结论,要求把握；最终是一些 线性代数核心学问点的相关思维训练学好线代的最关键要点在于“ 见一反三” ,即面对同一个数学事实,都要能

45、够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表 述和懂得它,以便于依据解决问题的需要挑选合适的切入点；现将一些个人觉得比较锤炼思维的习题汇总如下,信任通 过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深化摸索,会有助于更进一步把握好线代的学问体系；1、任何一个向量 =（a1, a2, ., an）都能由单位向量 1=（1, 0, ., 0）、 2=（0, 1, ., 0）、 、 n=（0, 0, ., 1）线性表出,且表示方式唯独；2、向量组 1, 2, , n 中任一个向量 i 可以由这个向量组线性表出；3、判定以下说法正确性：（1）“ 向量组 1, 2, , n,假如有全为零的数k1, k2, ., kn使得kn,k1* 1+k2* 2+ +kn* n=0,就 1, 2, , n 线性无关；” （ 2）“ 假如有一组不全为零的数k1, k2, ., 使得 k1* 1+k2* 2+ +kn* n 0,就 1, 2, , n 线性无关；” （ 3）“ 如向量组 1, 2, , n（n2）线性相关,就其中每一个向量都可以由其余向量线性表出；”名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - -