2022年考研数学知识点总结2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 考研数学考点与题型归类分析总结1 高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向：1. 利用等价无穷小；2. 利用洛必达法就0型和型直接用洛必达法就03. 利用重要极限,包括0、0、110 型先转化为 0型或e、型,再使用洛比达法就；limxx、lim1x1lim11xe；xsinx4. 夹逼定理；1.2 高数其次章导数与微分、第三章不定积分 、第四章定积分第三章不定积分提示：不定积分 f x dx F x C 中的积分常数 C 简洁被忽视 ,而考试时如果在答案中少写这个 C 会失一分；所以可以这样加深印象：定积分 f x

2、dx 的结果可以写为 Fx+1 ,1指的就是那一分,把它折弯后就是 f x dx F x C 中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1 分；第四章定积分及广义积分解题的关键除了 运用各种积分方法 以外仍要留意 定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中第一可能在积分上下限上做文章：对于affxdx型定积分,如fx 是奇函数就有afxdx=0 ；aa对于2xafx dx=2afx dx；如 fx 为偶函数就有a0dx型积分, fx 一般含三角函数,此时用t2x的代换是常用方法；0所以解这一部分题的思路应当是先看是否能从积分上下限中入手,对于对称区间上的积分要同时考虑到利1 名师归纳总结 - -

3、 - - - - -第 1 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用变量替换x=-u和利用性质a a奇函数0、a偶函数2a偶函数；在处理完积分上下限的问题后就a0使用第三章不定积分的套路化方法求解；这种思路对于 证明定积分等式的题目 也同样有效；1.3 高数第五章中值定理的证明技巧用以下规律公式来 作模型： 假如有 规律推导公式 A E、A B C、C D E F,由这样一组规律关系可以构造出如干难易程度不等的证明题,其中一个可以是这样的：条件给出 A、B、D,求证 F；为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手,我们把从条件入手证明称之为正方向,把从结论入手证

4、明称之为反方向；正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的规律推导公式太多,难以从中找出有用的一个；如对于证明 F 成立必备规律公式中的 A E就可能有 A H、A I K、A B M 等等公式同时存在,有的规律公式看起来最有可能用到,如 A B M ,由于其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个,但这恰恰走不通；2. 对于解题必需的关键规律推导关系不清晰,在该用到的时候想不起来或者弄错；如对于模型中的 A B C,假如不知道或弄错就肯定无法得出结论；反方向入手证明时也会遇到同样的问题；通过对这个模型的分析可以看出,对可用学问点把握的不坚固、不娴熟和无法有效地从众多解题思路中找出答案

5、是我们解决不了证明题的两大缘由；so,解证明题时其一要敏捷,在一条思路走不通时必需快速转换思路 ,而不应当再从头开头反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地猎取信息；“ 尽可能多地从条件中猎取信息” 是最明显的一条解题思路,同时出题老师也正是这样支配的,但从题目的“ 欲证结论” 中猎取信息有时也特别有效；如在上面提到的模型中,假如做题时一开头就想到了公式CDE F 再倒推测到AB C、 AE 就可以证明白；假如把主要靠分析条件入手的证明题叫做“ 条件启示型” 的证明题,那么主要靠“ 倒推结论” 入手的“ 结论启示型” 证明题在中值定理证明问题中有很典型

6、的表现；其中的规律性很明显,甚至可以以表格的形式表示出来；下表列出了中值定理证明问题的几种类型：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条件欲证结论可用定理A 关于闭区间上的连续函数,存在一个满介值定理（结论部分为：存在一个使得f0k）B 常常是只有 连续性已知足某个式子满零值定理（结论部分为：存在一个使得f0）费马定理（结论部分为：fx 00）存在一个条件包括函数在闭区间上足f n 0罗尔定理（结论部分为：存在一个使得f）拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得ffb fa）C 连续、在开区间上可导存在一个满ba

7、使得柯西中值定理（结论部分为：存在一个足fnkff bfa）gg bg a另仍常用构造帮助函数法,转化为费马或罗尔定理；面对这一部分的题目时,假如把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较,会比从题目条件上挖掘信息更简洁找到入手处so 要“ 牢记定理的结论部分”；综上所述, 针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应当是“ 尽一切可能挖掘题目的信息,不仅仅要从条件上充分考虑,也要重视题目欲证结论的提示作用,正推和倒推相结合；同时保持清醒理智,降低出错的可能”；不过仅仅弄明白这些离实战要求仍差得很远,由于在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的

8、就是靠足量、高效的练习来透彻把握定理性质及娴熟运用各种变形转换技巧,最大的技巧就是不依靠技巧,做题的问题必需要靠做题来解决；1.4高数第六章常微分方程也常常以大题的形式显现,一般是历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题显现的,通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情形和大纲要求来看,高阶部分不太可能考大题,而且考察到的类型一般都不是很复杂；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解题套路：“ 辨明类型套用对应方法求解”先争论一阶方程部分；这一部分结构清晰,对于各种方程的通式必需牢记

9、,仍要能够对易混淆的题目做出精确判定； 各种类型的方法最终的目的都是统一的,就是把以各种形式显现的方程都化为 fxdx=fydy的形式,再积分得到答案；对于可分别变量型方程0qx变形为f1xdx=-g2ydy,再积分求解f1x g1y dxf2x g2y dyf2xg 1y齐次方程yfy xy做变量替换uy,就 y 化为uxduxdx原方程就化为关于u和x的可分别变量方程, 变形积分即可解对于一阶线性方程ypx y Ce p x dx（ e p x dx q x dx+C ）全微分方程Mx,ydx+Nx,ydy 由于其有条件M yN x,而且解题时直接套用通解公式xMx,y0 dxyNx ,y

10、dyC. x 0y 0所以,对于一阶方程的解法有规律可循,不用死记硬背步骤和最终结果公式；对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律；对于dxynfx型方程,就是先把yn1当作未知函数 Z,就ynZ原方程就化为dzfx的一阶方程形式, 积分即得；再对y n2、yn3依次做上述处理即可求解；y f x , y 叫不显含 y 的二阶方程,解法是通过变量替换 y p、y p p 为 x 的函数 将原方程化为一阶方程；y f y , y 叫不显含 x 的二阶方程,变量替换也是令 y p（但此中的 pdp dy dp为 y 的函数）,就 y dy dx p dy p p,也可化为一阶形式；y所以就像在前面解

11、一阶方程部分记“ 求解齐次方程就用变量替换 x u” ,“ 求解贝努利方程y p x y q x y 就用变量替换n z y 1 n” 一样,在这里也要记住“ 求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换 y p、y p” 、“ 求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换 y p、y p p” ；大纲对于高阶方程部分的要求不高,只需记住相应的公式即可；其中二阶线性微分方程解的结构定理4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与线性代数中线性方程组解的结构定理特别相像,可以对比记忆：如 y 1x 、y 2x 是齐次方程 如齐次方程

12、组 Ax=0 的基础解系有 n-r 个线性无y p x y q x y 0 的两个线性无关的特解,关的解向量,就齐次方程组的通解为就该齐次方程的通解为 x c 1 y 1 x c 2 y 2 x x k 1 y 1 k 2 y 2 k n r y n r非齐次方程 y p x y q x y f x 的通 非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 Ax=b 的一解为 y c 1 y 1 x c 2 y 2 x y 1 x ,其中 y 1x 个特解与其导出组齐次方程 Ax=0 的通解之和是非齐次方程的一个特解,c 1 y 1 x c 2 y 2 x 是对应齐次方程 y p x y q x y 0

13、的通解如非齐次方程有两个特解 y 1x y 2x ,就对应齐 如 1r、2r 是方程组 Ax=b 的两个特解,就次方程的一个解为 y x y 1 x y 2 x 1r-2r 是其对应齐次方程组 Ax=0 的解可以说本章难就难在记忆量大上；1.5高数第七章一元微积分的应用其中导数应用在大题中显现较少,而且一般不是题目的考察本章包括导数应用与定积分应用两部分,重点；而定积分的应用在历年真题的大题中常常显现,常与常微分方程结合；典型的构题方式是利用变区x间上的面积、体积引出积分方程,一般需要把积分方程中的变上限积分a f t dt 单独分别到方程的一端形x成“a f t dt” 的形式,在两边求导得

14、到微分方程后套用相关方程的对应解法求解；对于导数应用,有以下一些小学问点：1. 利用导数判定函数的单调性和争论极、最值；其中判定函数增减性可用定义法或求导判定,判定极、最值时就须留意以下两点：A. 极值的定义是： 对于x 的邻域内异于 0x 的任一点都有 0fxfx 0或fxfx 0,留意是或 而不是或；B. 极值点包括图1、图 2 两种可能,5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以只有在f x 在x 处可导且在x 处取极值时才有fx 0；争论方程根的情形；这一部分常用定理有零点定理（结论部分为 f 0）、罗尔定

15、理（结论部分为f 0）；常用到构造帮助函数法；在作题时,画帮助图会起到很好的作用,特别是对于争论方程根个数的题目,结合函数图象会比较简洁判定；2.懂得区分函数图形的凸凹性和极大微小值的不同判定条件：fx0为极大值, 当fx00A.如函数fx 在 区间 I 上的fx 0,就fx 在 I 上是凸的；如fx在 I 上的fx 0,就fx在 I 上是凹的；B.如fx 在点x 处有f x0且f0x0,就当fx00时时fx 0为微小值；f x 的变化率,f x 是fx其中, A 是判定函数凸凹性的充要条件,依据导数定义,fx是的变化率；f x 0可以说明函数是增函数；fx0可以说明函数fx的变化率在区间I

16、上是递减的,包括以下两种可能：同样,fx 0也只有两种对应图像：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,当fx 0时,对应或的函数图像,是凸的；f0x当fx0时,对应或的函数图像,是凹的；f x0且,当相比之下,判定函数极大微小值的充分条件 比判定函数凸凹性的充要条件多了“0” ,这从图像上也很简洁懂得：满意fx0的图像必是凸的,即或f x0且fx 00时不就肯定是的情形吗；对于定积分的应用部分,第一需要对微元法娴熟把握；关于定积分的应用,以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积求旋转体体积 （可

17、用sbfxdxVx2bf2x dx,a绕 x 轴旋转体的体积a微元法也可用公式）绕 y 轴旋转体得体积Vy2bxfx dxa绕 x 轴旋转体的体积Vxbf2 2x f12x dx,a绕 y 轴旋转体得体积Vybx f2x f1xdxa已知平行截面面积求立体体积Vbsx dxa求平面曲线的弧长lb1y2dxa7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.6 高数第八章无穷级数本章在考研真题中最频繁显现的题型包括“ 判定级数敛散性”、“ 级数求和函数” 和“ 函数的幂级数展开” ；其中判敛是大、小题都常考的,在大题中一般作

18、为第一问显现,求和与绽开就都是大题；对于级数判敛部分,主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四就运算性质；其中比较判敛法有一般形式和极限形式,使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：| an|1. 已知级数a2 收敛,判定级数| an|的敛散性；其判敛过程的核心是找到不等式n 21 2a2 nn1,再应用比较法的一般形式即可判明；其实这种“ 知一判一” 式的题目是有局限性的n 22如已知级数收敛,就所要求判敛的级数只能也是收敛的,由于只有“ 小于收敛级数的级数必收敛” 这一条规章可用, 如待判敛级数大于已知收敛级数,就结果无法判定；所以考研真题中一般只会出成挑选题“ 已知某级数收敛,就以下级数

19、中收敛的是（）” ；2 上一种题型是“ 知一判一”,下面的例子就是给出级数某些性质要求判定敛散性,方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系,再应用比较法一般形式判定；举例如下：已知单调递减数列a 满意lim x 0ana,a0,判定级数1 an1n的敛散性；关键步骤是：由1 an11 a11得到1 an1n1 a1n,再利用比较判敛法的一般形式即得；对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“ 知一判一” 和“ 知性质判敛” 这两种形式；幂级数求和函数与函数的幂级数绽开问题是重点内容,也是每年都有的必考题；在复习过程中对于具有“ 浅看复杂、深究简洁、思路奇妙、出法敏捷” 的学问

20、点要倍加留意,对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“ 求和、绽开” 这样必出大题的学问点,更是要紧抓不放；由于这种学问点对“ 复习时间投入量”的要求接近于一个定值,认仔细真搞明白以后,只要接着做适量的题目巩固就行了,有点“ 一次投入,终生受益” 的意思,花时间来把握很划算；另外,“ 求和与绽开” 的简洁之处仍在于：达到娴熟做题程度以后会发觉其大有规律可循；这种规律是建立在对6 个关键的函数绽开式“ 熟之又熟” 的把握上的；对此6 个绽开式的把握必需像把握重要定理8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一样,对条件、等

21、式的左端和右端都要牢牢记住,不但要一见到三者中的任意一个就能马上写出其他两部分,而且要能够区分相像公式,将出错概率降到最小；公式如下：1. 1 1u 1 u u 2u nu n（-1 ,1）n 02. 1 1u 1 u u 2u 3 1 nu n 1 nu n（-1 ,1）n 03. ln 1 u u 12 u 2 13 u 3 1 n un n1 1 1 n un n1 1 , n 04. e u1 u 2 1. u 2n 1. u n un n. , n 05. sin u u .3 1 u 2 1 n 2 1n 1 . u 2 n 1 1 n u2 2n n1 1. , n 06. co

22、s u 1 2 1. u 24 1. u 4 1 n 2 1n . u 2 n 1 n u2 2n n. , n 0这六个公式可以分为两个部分,前 3 个相互关联,后 3 个相互关联；1 式是第一部分式子的基础；1 u u 2 u n不就是一个无穷等比数列吗,在 | u | 1 时的求和公式 s 1 1 正是函数绽开式的左端；所以这个式子最好记,以此为动身点看式子 u 2：1 式左端是 1 1u,2 式左端是 1 1u； 1 式右端是 u,2 式右端也仅仅是变成了交叉级数 1 n u n ,故可以通过这种比较来n 0 n 0记忆式子 2 ；对于 3 式来说,公式左端的 ln 1 u 与 2 式

23、左端的 1 1u 存在着关系“ln 1 u 1 1u” ,故由 1 1u 的绽开式可以推导出 ln 1 u 的绽开式为 1 n un n1 1；这三个式子中的 u 1,1,相互之间存在n 0着上述的清晰联系；后 3 个式子的 u,相互之间的联系主要在于公式右端绽开式形式上的相像性；这一部分的基本式是公式4：u eu nn .与之相比,sinu的绽开式是1nu 22n1,cos u的绽开式是n1 .n0n01 nu 22n；一个可看成是将u e 绽开式中的奇数项变成交叉级数得到的,一个可看成是将eu绽开式中n.n09 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料

24、- - - - - - - - - 的偶数项变成交叉级数而得到；像这样从“ 形似” 上把握不费脑子,但要冒记混淆的危急,但此处恰好都是比较顺的搭配：sin u、cos u 习惯上说 “ 正余弦” ,先正后余； 而 sin u 的绽开式对应的是奇数项,cos u的绽开式对应的是偶数项,习惯上也是说“ 奇偶性”,先奇后偶；在已知幂级数求和函数时,正确途径是依据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分 前 3 式的展1开式都不带阶乘,其中只有 1 u 的绽开式不是交叉级数；其次部分（后 3 式）的绽开式都带阶乘,其中只u有 e 的绽开式不是交叉级数；由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了,比如

25、给出的幂级数带阶乘而不是交叉级数,就应当用公式 4 ,由于幂级数的变形变不掉阶乘和 1 n；如题目给出的幂级数不带阶乘而且是交叉级数,就必从 2、3 两式中挑选公式,其它情形也类似；对于函数的幂级数绽开题目,就是从已知条件与各公式左端的相像性上入手,相对来说更为简洁；在判定出所用公式以后一般要使用以下变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数绽开） 、四就运算（用于绽开、求和）、逐项微积分（用于绽开、求和）；对于数项级数求和的题目,主要方法是构造幂级数法,即利用变换n 0 a n limx 1 n 0 a n x n 求得幂级数a nx n的和函数 s x 以后代入极

26、限式即可； 其中的关键步骤是挑选适当的 x ,一般情形下假如 n n 、 n 1 n 0这样的项在分子中,就应当先用逐项积分再用逐项求导,此时的 x 应为 n x 1的形式,如 x n 1、x n 1 1,以便利先积分；如题目有 2 n 11、 3 n 11 这样的项,就 x 应为 nx 的形式,如 x n 1 、x n 1,便于先求导；这些体会在做肯定量的题目后就会得到；1.7 高数第十章多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各学问点与一元函数对应部分作对比,这样做即可以将相像学问点区分开以防止混淆,又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的懂得；极限二元函数的极限要求点x二

27、元函数x0y 0时均有相像一元函数即可判定；x,y以任何方向、任何路径趋向P 一元函数的极限与路径无关,fx ,yA（0x、yy0）；假如沿不同路径的lim x x 0fx,y不同由等价式lim x x 0fxAfx0fx 0Ayy 010 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x x 0fx ,y 连续性不相等,就可肯定yy 0不存在；相像一元函数yfx 在点x0处连续性判定条二元函数zfx ,y 在点Px0y 0处连续性判定条件为：lim x x0fx ,y 存在且等于fx 0y 0件为lim x x 0

28、fx且等于fx0（偏）yy 0相像一元函数yfx的导数定义：二元函数zfx ,y 的偏导数定义：lim x 0zlim x 0fx0x,y 0fx 0,y0lim x 0ylim x 0fx 0xfx 0xx导数xx全微分分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相像分段函数在分界点处求导数需要用导数定义简化定义为： 对于函数zfx ,y ,如其在点Px 0y0处的增量z简化定义为： 如函数yfx 在点 x 处的增可表示为zAxByo,其中o为的高阶无量y可表示为yAxd,其中 d 是可微、穷小,就函数fx ,y在P x 0y0处可微,全微分为AxBy,不同x的高阶无穷小,就函数在该点可微,即

29、dyAx,一般有dyfx dx一般有dzz xdxz ydy连续可导连续可导可导、连续可微可微一元函数没有“ 全导数” 这个概念,但是左边多元全导数设zf u,v,w ,ufgt,vh t,wkt且都可导,不同函数的全导数其实可以从“ 一元复合函数”的角度懂得；一元复合函数是指yfu、ugx 时就 z 对 t 的全导数dz dtdufdvfdw有dydydu；与左边的多元函数全导数公式比较udtvdtwdtdxdudx就可以将二式统一起来；复合函链式求导yZx ,y的偏导数,可用公式：相像一元复合函数求导公式如上格所示,与多元复合函数微分数求导公式相像,只需分清式子中dz 与z 的不dxx法求

30、由方程Fx ,y,z0确定的隐含数Z不仅同即可一元复合函数、参数方程微分法隐函数zFxx ,y,z,zF yx ,y ,zy x 、zz x 可套用“ 形对一元隐函数求导常采纳两种方法：似” ,xFzx ,y,z yF zx,y ,z1.公式dyFxx ,y 且在对于由方程组Fx ,y,z0确定的隐含数dxFyx ,y 微分法相当2.将 y 视为 x 的函数,在方程两边同时对x 求导G x ,y ,z 0大程方程组FxFydyF zdz0一元参数方程微分法：如有xxt就dyy t度上dx dydx dzyy tdxxt极值GxGyGz00的邻域内有定义, 且对于其中相通极值定义：函数yfx 在

31、点0x 的邻域内有定义dxdx极值定义： 函数zfx ,y 在点P x 0y相像异于 P 点的任一点Qx ,y ,恒有fx ,y fx 0y0或且对于其中异于该点的任一点恒有11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx,y fx 0y0,就称fx0y 0为fx,y的微小 / 大值,方程fx f0x或fxfx0,就称f0x取极值组fxx ,y 0的解称为函数的驻点；相像为yfx的微小 / 大值,方程fx 0的fyx ,y0解称为函数的驻点；函数zfx ,y在点Px 0y0的邻域内有连续二阶偏导,且满意函数yfx在点

32、x的邻域内可导,且满意f xx 0y 00、f yx0y00、fxyx0,y02fxx 0,y0fyx 0,y00,fx0、fx0,就：的充分如f xx 0y00或f yx 0 y00就Px0y0为微小值点；如f x0,就f0x为微小值；条件如f xx 0 y00或f yx0y00就Px0y 0为极大值点；大纲对于多元函数条件极值的要求为“ 会用拉格朗日乘数法求条件极值”,是如fx0,就f0x为微小值一种比较简洁而且程式化的方法；一元函数就无对应的内容；1.8 高数第十章重积分大纲对于本章的要求只有两句：1. 懂得二重积分的概念,明白重积分的性质,明白二重积分的中值定理； 2.把握二重积分的运

33、算方法（直角坐标、极坐标）在做二重积分的题常常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧2 线性代数部分2.1线代这门课的特点特点之一是学问点比较细碎；如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系,线性代数与高数和概率相比,记忆量大而且简洁混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于学问点间的联系性很强；这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关学问,更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法就之间有着相互推导和前后印证的关系；所以我们在复习线代的策略中,有必要考虑一下怎样才能做到“ 融会贯穿”；“ 融会” 可以懂得为设法找到不同学问点之间的内在相通之处；“ 贯穿” 可以懂得为把握前后学问点之间的顺承关系；这样做的目的就在于当看到题目的条件和结论、估量出其中涉及到的学问点时马上就能想到与之有关联的其他学问点队列,从而大大提高解题效率、增加得分胜算；12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - -