2022年考研日历高数公式大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考研数学三公式汇总高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：和差角公式：sin和差化积公式：sinc o s 2sinsincoscoss i ns i n2 s i n 2coscoscossinsintan1tantansinsin2cos22tantancotcotcot1coscoscos2cos22cotcotsh sh chch shcoscos2sin2sin2chch chsh sh积化和差公式：名师归纳总结 sincos1 2sinsin第 1 页,共 39 页cossin1 2sin

2、sincoscos1 2coscossinsin1 2coscos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载倍角公式：sin 22sincossin2x ;cos22cos2112sin2cos2tan22 tansec 21tan2cot 2cot212cotsh 22 sh chch212sh22ch21ch2sh2sin2cos 21;tan 2x1cot2x12 csc2 x ch x2 sh x1半角公式：sin21cos2 x1）2cos21cos2tan21cos1cossin1cossin1coscot21cos1cossin

3、1cossin1cos双曲正弦:shxx eex；反双曲正弦:arshxlnx2双曲余弦:chxx eex；反双曲余弦:archxlnx2 x12双曲正切:thxshxx eex；反双曲正切:arthx1ln1xchxx eex21xa3b3aba2abb2,2 12 22 nn n12 n163 13 2n32 nn2 142、极限名师归纳总结 常用极限：q1,lim nn q,0;a1,lim nna1; lim nnn1f ln1f f elimf x g x 如f x 0,g x 就lim1f x g x lim eln11/g x 第 2 页,共 39 页- - - - - - -精

4、选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载两个重要极限lim x 0sinx1,lim xsinx0;lim1 x1xelim1 x 0x111x ;xxxxx常用等价无穷小:x arcsinxn arctan ; 1x1cosx1x2;x sin2nax1 xlnx a ex1;1xa 1ax;ln1 x3、连续：定义：lim x 0y0; lim x x 0f x f x 0 f x 0f x0极限存在f x 或lim x x 0f x lim x x 0其次章导数与微分1、 基本导数公式：fx0lim x0ylim x0f x0xf x 0x lim x 0f x

5、 f x 0tanx 2 cscx ;xxxx 0导数存在f_x 0f+x 0C0; xaaxa1; sinxcos ; cos sinx; tanx 2 secx ; cotsec secxtan ; csc cscx ctgx; axaxlna;exex;2;logaxx1a; lnx1; arcsinx11x2; arccos 11xlnxarctanx112; arccotx112; shxhx;chxshx ;xxthx1; arshx11x2; archxx11;arthxx112 ch x222、高阶导数：名师归纳总结 xn nn.xnkaxnnn.; ax 1axlnnaax

6、e x e第 3 页,共 39 页k1 1nn.; 1n 1nn.1; ax n.1xn x1xxanx n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin kx nknsin kxn2学习必备 欢迎下载n2; coskx kncos kxlnax n 11n1.ln 1n1n 11nx1.axnxn牛顿- 莱布尼兹公式：uv nk C un kv 1un2vn n1knk1un k vkuv u vk0n1vn nnu2.3、微分：yfxxf x dyox;dy fx0xf x dx;左导=右导连续；连续极限存在收敛有界 ;可微可导不连续不行导第三章微分中值

7、 定理与微分的应用1、基本定理拉格朗日中值定理：f b f a f ba, , 柯西中值定理：f b f a f , , F b F a F当F x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；2、名师归纳总结 泰勒公式: f x 0fx 0xx 0fx 0xx 02f x 0xx 0nR x 第 4 页,共 39 页2.n .o xx 0n 余项:R x n fn1 1.xx 0n1fn1x 0xx 0xx 0n 1; x 0, ,0,1 nn1.弧微分公式：ds1y2dxx t y t 2dt22d平均曲率：Ks.:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量；s :MM弧长 M点的曲率：Klim s 0

8、sd1yy23= 2 2 3 . ds2直线的曲率：K0;半径为R 的圆的曲率：K1.R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线在点M处的曲率半径:=1学习必备yy2欢迎下载13K第四章 不定积分1、常用不定积分公式：f x dxF x C; f x dx f x ; F x dxF x C;x dxx1C1;1dxlnxC;1xx a dxaxC;x e dxx eC;lnasinxdxcosxC;cosxdxsinxC;tanxdxln cosxC;cotxdxln sinxC;secxdxln secxtanxC;cscxdxln cscxcotx

9、Cln tanxCln cscxcotxC22 secxdxdxxtanxC;csc2xdxdxxcotxC;cos2sin2secxtanxdxsecxC;cscxcotxdxcscxC;shxdxchxC;chxdxshxC;dxarcsinx Carccos xC ;dx2 xarcsinxC ;12 x2 aa1dx2arctan x CarccotxC;a2dx21arctanxC;xxaax2dx1lnxaC ;2 adx21lnaxC ;2 a2 axax2 aaxxdx2 alnx2 xa2C ; 2x22 a dxxx2a2a2lnxx2a2C;22a22 x dxxa22

10、xa2arcsinxC22a2、常用凑微分公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - dx2 dx;dxd ; 1xdx学习必备欢迎下载dlnx ;xx2xxdxxd 12 x; 11 dxd x11x22 xxdxdln tan ;cos sin3、有特殊技巧的积分1asinxdxcosx11dxcosxCba2b2sinx2csinxdcosx dx xAxBlnasinxbasinxbcos3x21 dx1x11 22d x1x42xx第五章定积分1、基本概念bf x dxlim 0infix ilim n 0i

11、nfi 1n nF b F a F x b , F f x a11a连续可积 ; 有界 +有限个间断点可积 ;可积有界 ; 连续原函数存在 xf t dt f ad f t dtf f dx u x v x a bv x du x a bf x dxf t dt,au x dv x b2、常用定积分公式：名师归纳总结 a af x dxaf x fx dx ；f x 为奇函数,af x dx0fsinx dx第 6 页,共 39 页0f x 为偶函数,af x dx2af x dx；a0a2fsin x dx22fcos x dx；2xfsinx dx22fsinx dx0T0000f x d

12、xTf x dx；aaTf x dxn Tf x dxnTf x dx2 Ta0a02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Wallis公学习必备欢迎下载式：In2sinnxdx2cosnxdxnn1In21 3nn33nnn1,n 为正偶数2 2 4n2002 4n1,n 为正奇数3 5n2无穷限积分：+f x dxb lim +bf x dxF+F a ;F+Faabf x dxa lim-b af x dxF-F a ;f x dxb lim +b af x dxa lim-bf x dxa瑕积分：bf x dxlim t atbf x dxF b

13、lim t aF t ;pn1 收敛,p1 发散abf x dxlim t btf x dxlim t bF t F a ;aabf x dxcf x dxbf x dxaac+1dx p1 收敛,p1 发散 ；1 1dx ,0axpaxp 0x e xn1 dxn1., n1n .; 11;1 20ex2dx2第六章定积分应用1、平面图形的面积：直角坐标情形：A1bf x dx ；Abf x g x dx ；Ad y dyaac参数方程情形：A t d t dt;a;b极坐标情形：A2 d22、空间立体的体积：名师归纳总结 由截面面积：VbA x dx2f2 x dx Vbf2 g2 x d

14、x x 为积分变量第 7 页,共 39 页aV 旋转体：绕 x 轴旋转：Vb a d cay y dy Vd2y y dy y 为积分变量c- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 绕 y 轴旋转：Vb2学习必备欢迎下载x 为积分变量x f x dxb2x f x g x dx ;aaVd2 2 y dy y 为积分变量c3、平面曲线的弧长：s2 2 t dtb1f2 x dx2 2 da总结求极限方法：1、 极限定义； 2、函数的连续性； 3、极限存在的充要条件； 4、两个准就；5、两个重要极限； 6、等价无穷小； 7、导数定义； 8 利用微分中值定理；9、

15、洛必达法就； 10、麦克劳林公式绽开；求导法：1、导数的定义（求极限） ；2、导数存在的充要条件； 3、基本求导公式；4、导数四就运算及反函数求导；5、复合函数求导； 6、参数方程确定的函数求 导；7、隐函数求导法； 8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式 等式与不等式的证明：/常用的高阶导数）；1、利用微粉中值定理； 2、利用泰勒公式绽开； 3、函数的单调性；4、最大最小值； 5、曲线的凸凹性第七章 多元函数微分法及其应用一、定义：fx 0,y 0lim x 0f xx y , f x y , d f x y 0dxx x 0fxx 0,y 0fx , x 0,y 0xx二、 微分：lim 0zf

16、x , x yxfy , y0可微 ,偏导连续可微连续 +偏导存在 ,全微分：dzfx , x y dxfy , x y dy三、 隐函数求导 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 oF x y）0yf x 且d y学习必备欢迎下载F x.d xFy2oF x y z）0zf x y , 且zF x ,zF yxF zyF z四、曲线的切线和法平面x , 切 线 ：xtx 0yy 0zz 0, 法 平 面 ：1 、 曲 线 方 程L:y 0t0t0z t0 xx 0 t 0 yy0 t 0 z0yy0zz 0,

17、 法 平 面 ：2 、 曲 线 方 程L:yy x , 切 线 ：x1x 0zz x y x 0z x0xxy0 x y0yz0 x z0z0Fy,FzM0Gx,Gy,GzM0,切线：3、曲线方程L:F x y z0,切向量TFx,G x y z0xx 0yy 0zz 0FyFzFzFxFxF yGyGzM0GzGxM0GxGyM0四、曲面的切平面和法线名师归纳总结 1、曲面方程：F x y z , , 0,法向量：nF x,Fy,F zM0,切平,面 :F xx0,y0,z 0xx 0Fyx0,y 0,z 0yy0Fzx0,y 0,z 0zz 00, 法 线 ：xxy0 yz0zz切F xx

18、,y,zF0 x,0 y,0 zF 0x,0y, 0平面2、曲面方程：zf x y, zzfxx0yzx0xfy, x0yzyy0,法线：fxxx0x0fyx 0y00zz 0,y 0y,y1cosfzM0cos第 9 页,共 39 页五、方向导数：fM0fxM0cosfyM0l- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 梯度：graduM0fx,fy,fzM0学习必备欢迎下载第八章：重积分一、 二重积分：Df x y dDf x y dxdyb adx12 ff x y dyddy2 f x y dxc1 1 Dfcos ,sinddd2 cos ,sind

19、二、重积分的应用：1、体积：Vd d d x y zz2 , z x y 1 , d d x yfy2 , d d x yDxy2、曲面：zfSDxy1fx2 , , x y面积：3、质量：M , d或M（x y z）dvD第九章 无穷级数名师归纳总结 一、常数项级数n1un第 10 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、常用级数：等比级数/学习必备qn欢迎下载q1几何级数：收11-qP 级数：11收0PP1；交叉 1n01发1q10PP11P级数：n 1收敛肯定收敛np发np条件收敛nnS n2、正项级数：u n0基本定理：收敛部分和

20、有上届比较审敛法：大收小收,小发大发比较审敛法的极限形式：同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发比值 根值审敛法：lim nu n1lim nu n1,收敛n1un发散,发散1,发散u n1,失效3、交叉级数：（1）n-1unu n0r nun1n1莱布尼茨审敛法：un1un级数收敛,Su 1,lim nu n0肯定收敛：un收敛un收敛,条件收敛:u n收敛而n1n1n1收敛04、任意项级数：.利用定义：部分和有极限lim nS nS,收敛；,发散.利用收敛的必要条件：lim nun0发散；.利用正项级数（比值/根植）审敛法：lim nun1lim nnun1,肯定收敛1,肯定值发散发散un

21、1,失效二、幂级数：anxx0n1/, 0n01、收敛半径：lim na nn1lim nnunR0,a,2、常用等式：名师归纳总结 n0xn11xx1,n1xn1xxx1,n0 1nxn11xx1第 11 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n1xnln1x 1x1,学习必备1欢迎下载x 1x1n 1xnln1nnn1n0n1xnn1nxn1112 x1 x11；x,xn0211x2n1n111x2n11ln1xn2 n21xarctan x=n0n 1x2n1x12n1,exn0xn1x2 xxn；xn.2.n.sinxn1n 11x

22、2n1xx35 xn 11x2n2n1.3.5.2n1.；xcosxn0n 1x2n1x2x4n 1x2n,2 .2.4.2 .ln1xn1 1n1xnxx2x3n 11xn；x 1, 1n23n1x 1n112 n1xn；x 1, 1n.n1xn1x2.1x21 n.3、泰勒绽开：f x n0anxx0n ,an1f x 0,R n fn1 xx0n1,x0, n.n1.lim nR n 0第十章微分方程名师归纳总结 一、基本类型的一阶微分方程: 第 12 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、可分别变量方程:dy学习必备欢迎下载dy

23、f x dxf x g y ,分别变量,两边积分dxg y 名师归纳总结 2、一阶线性微分方程:dyP x yQ x ydy 1Q x dxQ x 0 齐次:通解：yeP x dx,Q x 0 非齐次:通解：yeP x dxQ x eP x dxdxC3、全微分方程:P x y , dxQ x y , dy0其中P yQx通解：（u x y）C. 1、分项组合法；2、特殊路径法：u x y , xP x y0dxyQ x y , dyC. x 0y 03、偏积分法；P x y=uux,y=Px,ydx +cyyux,y=Px,ydx +xQ x y=uc y=Q-yPx,ydx x二、可化为基

24、本类型的一阶微分方程: （）齐次方程：1dyfy 或dyfa xb y,令uydxxdxa xb yx（ ）准齐次方程：2dyfa xb yc 1dxa xb yc2如a 1b 10,令xXh, kh k 由a xb yc 10解得 a 2b 2yYa x 2b y 2c 2P x zdYfa X 1bY 1,再令uY；dXa Xb YX如a 1b 10,d yd xk a xb y c 1f a xb y . 令 ua xb y；a 2b 2a x 1b y 1c 23dyf axbyc 令uaxbyc；dx4伯努利方程：dyP x yQ x y0,1,令zy1dz1dxdy（ ）P x y dxQ x y dy0 其中P yQxdyP x y , dxQ x y）第 13 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）关于 的线性方程/学习必备欢迎下载伯努利方程：dxP y xQ y ；dxP y xQ y x,令zx 1dydy（ ）P x y dxQ x y dy0 其中P yQ x