2022年绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载肯定值不等式的解法与肯定值的三角不等式规律方法指导1、解肯定值不等式的基本思路解肯定值不等式的基本思路是去掉肯定值符号,因此如何去掉肯定值符号是解决这类问题的关键；常利用绝对值的代数意义和几何意义；2、解肯定值不等式常用的同解变形 |fx|gx| f 2xg 2x |fx|gx fxgx 或 fx-gx |fx|gx-gxfxgx 含有两个或两个以上肯定值符号的不等式可用“ 按零点分区间” 争论的方法来脱去肯定值符号去求解；也可以用函数图像法来解决；3、肯定值三角不等式取等号等号成立的条件：取等号取等号取等号经典例题透析类型一

2、：含有一个肯定值符号的肯定值不等式的解法1、解以下不等式（ 1）；（ 2）；（3）解析：（ 1）由原不等式可得,得,得；, 原不等式的解集是（ 2）原不等式可化为或整理得,或或；原不等式的解集是（ 3）由原不等式可得整理得或原不等式的解集是集为总结升华： 不等式的解集为；不等式的解. 举一反三：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【变式】（ 2022 山东, 4）不等式 |x-5|+|x+3|10 的解集是（ A） -5,7 B-4,6C- ,-57, + （D）-, -46,+ 【答案】D2、解不

3、等式|x2+4x-1|4 解析： 原不等式-4x2+4x-14 -5x-3 或-1x4. 【答案】 原不等式的解集是（-,-5） -3,-1 1, +）3、解不等式 1 |2x-1|5. 解析：法一： 原不等式等价于 或 解得： 1x3 ；解得： -2 x 0. a|x|bax原不等式的解集为x | -2 x 0 或 1x3 法二： 原不等式等价于12x-15 或 52x-1-1 即 22x6 或 42x0. 解得 1x3 或 2x0. 原不等式的解集为x|-2x0 或 1x2x+1. 思路点拨： 关键是去掉肯定值符号；解析：法一： 依据肯定值的定义去掉肯定值符号原不等式等价于,即, x2 或

4、 x2 或 x2x+14x-32x+1 或 4x-32 或 x2 或 x2x. 2-2x-30 【答案】 原不等式x2-32xx2+2x-30 或 x-3x1 或 x3x3. 即原不等式的解集（-, 1）（ 3,+） . 【变式 2】|4x-3|2x+1. 名师归纳总结 【答案】 原不等式-2x+14x-32x+1x2 第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 原不等式的解集为x|学习必备欢迎下载x2. 类型二：含有二个及以上不等式符号的肯定值不等式的解法5、解不等式 .解析：法一：分类争论法由、得零点：和等价于（ I）；（ II）；（

5、 III ）. 原不等式的解集为 . 法二：图象法将原不等式转化为构造函数,即作出函数的图象：它是分段函数,函数的零点是-3,2从图象可知,当时,有 y 0,即所以原不等式的解集是法三：几何解法如图,设数轴上与-2,1 对应的点分别是A ,B,那么 A、B 两点的距离是3,因此区间 一 2,1上的数都不是原不等式的解名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5 的点将点A 向左移动1 个单位到为了求出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B 的距离之和为点,这时有；同理,将点 B 向右移动 1 个单位到点,

6、这时也有从数轴上可以看到,点 与 之间的任何点到点 A,B 的距离之和都小于 5；点 的左边或点 的右边的任何点到点 A ,B 的距离之和都大于 5所以,原不等式的解集是总结升华： 利用、的解,将数轴分为三个区间,然后在这三个区间上将原不等式转化为不含肯定值的不等式而解之,表达了分类争论思想从中可以发觉,以肯定值的“ 零点 为分界点,将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个肯定值中的多项式的符号,进而去掉肯定值符号（ 1）方法一为了去掉肯定值符号,第一利用、的解,将数轴分为三个区间,一 2,1,在这三个区间上,肯定值不等式可以转化为不含肯定值的不等式,先分别在这三个区间上争论不等式的解的情形,然

7、后求它们的解集的并集即可,表达了分类争论的思想 .这种方法通常叫做分类争论法或零点分段法,一般步骤为：令每个肯定值符号里的一次式为0,求出相应的根（找零点）；把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为如干个区间（分区间）在所分区间上,依据肯定值的定义去掉肯定值符号,争论所得不等式在这个区间上的解集；把各个区间上的解集并在一起（即求它们的并集）,就得到原不等式的解集；（ 2）方法二第一构造函数,然后画出函数 的图象,由函数 的零点求出不等式的解集利用了函数 图象,方程 的根与不等式解集之间的关系,充分表达了函数、方程与不等式结合的思想；（ 3）方法三第一找到两式、的零点 和 ,在数轴上标出与一 2、

8、1 对应的点 A、B,那么不等式的解就是数轴上到 A ,B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数所以,我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解这种解法利用肯定值不等式的几何意义,再给肯定值不等式以精确的几何说明,得出不等式的解,表达了数形结合思想注： 分类争论的方法具有普遍性,但较麻烦,几何法和图象法直观,但只适用于数据较简洁的情形,三种方法各有千秋,都应娴熟把握；举一反三：【变式 1】【答案】 由、得零点：和将不等式等价转化为三个不等式组（I）；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （

9、II）学习必备；欢迎下载（III ）. 原不等式的解集为即. 【变式 2】 解不等式： |x-3|-|x+1|1. 【答案】方法一： 零点分段争论法（利用肯定值的代数定义）原不等式等价于或或,解的解集为 ,的解集为 x|x. 方法二： 数形结合从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|. 6、解不等式 |2x1|2x3|解析：法一：零点分段争论法（略）法二：数形结合把 2x 当作数轴上的动坐标,就 |2x1|2x3|表示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离,就 2x 应当在 2 的右边,从而 2x2 即 x1所以原不等式的解集为 x|x 1 法三：两边同时平方法原不等式同解于 2

10、x1 22x3 2,即 4x 24x14x 212x 9,即 8x 8,得 x1所以原不等式的解集为 x|x 1 总结升华： 解形如 |ax+b|-|cx+d|0 的不等式,适合于用移项后两边平方脱去肯定值符号的方法；但对其他含多项肯定值的情形,采纳此法一般较繁,不行取；举一反三：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【变式 1】解不等式 |x+2|-|x-1|0；【答案】 原不等式同解于|x+2|x-1|x+22x-12；故原不等式的解集为【变式 2】求解关于 x 的不等式：【答案】法一：,将之视为

11、多肯定值问题,将数轴按 0,分成三段：（ 1）, （ 2）, （ 3）, 原不等式解集：. 法二：当时, ,不等式两边同乘,得两边平方得即,解得：或 二次不等式解集即原不等式解集为：. 类型三：利用肯定值不等式求最值名师归纳总结 7、求的最小值第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路点拨： 依据肯定值的几何意义求最小值,学习必备欢迎下载,或转化为函数,或利用肯定值不等式性质然后利用函数图象求解. 解析：法一：依据肯定值的意义就是数轴上表示 的点 P 和表示 -2 的点 A 的距离与点 P 和表示 1 的点 B 的距离之和；易知,表

12、示 -2 的点 A 与表示 1 的点 B 的距离是 3,当表示 的点 P 在 B 点的右侧或在 A 点的左侧时, P、A距离与 P、B 的距离之和大于 A、B 的距离；当点 P 落在线段 AB 的内部（包括端点）时,P、A 的距离与 P、B的距离之和恰好等于 A 、B 的距离；对数轴上任意一点 P 总有 PA+PBAB ,当 P 在线段 AB 内部（包括端点）时取等号；的最小值是 3（当且仅当 时）. 法二：依据肯定值不等式性质（当且仅当的最小值是即时）3. 法三：利用函数图象将原不等式转化为构造函数,即作出函数的图象 如图 ,它是分段函数,从图象可知,当时,的最小值为3 3. 故当时,的最小

13、值为总结升华：1. 方法一和方法二的应用较形象、直接、简洁,但只能在肯定值符号里的字母系数相同时才能使用；当肯定值符号里的字母系数不相同时,一般使用方法三；2方法二在应用性质时,要保证中为常数 . 举一反三：名师归纳总结 【变式】求的最值,第 8 页,共 15 页【答案】 由得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的最小值为,最大值为3. 类型四：含有参数的肯定值不等式8、已知 a0,b0,解不等式 |ax-b|x；解析： 明显 x0,故原不等式等价于当 时,就得由于,所以；当时,就得,所以；当 时,就得由于,所以综上所述,当时,原不等

14、式的解集为；当 时,其解集为总结升华： 含肯定值的不等式中,如含有参数,就先去掉肯定值符号并化简,再依据详细情形对参数进行分类争论；举一反三：【变式】解关于 的不等式 . 【答案】 原不等式化为：, 当 a+1 0 即 a-1 时,由于任何实数的肯定值非负,解集为 . 当 a+10 即 a -1 时, - a+12x+3 x . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上得：学习必备欢迎下载. 9、已知关于x 的不等式 |x2|x3|a 的解集是非空集合,就实数a 的取值范畴是 _思路点拨： 可以依据对 |x2|x3|

15、的意义的不同懂得,获得多种方法解析：法一：当 x 2 时,不等式化为x 2x3a 即 2x1a 有解,而 2x 15, a5当 2x3 时,不等式化为 x2x 3a 即 a5当 x3 时,不等式化为 x2x3 a 即 2x1a 有解,而 2x1 5, a5综上所述： a5 时不等式有解,从而解集非空法二：|x2|x3|表示数轴上的点到表示2 和 3 的两点的距离之和,明显最小值为3 25故可求 a 的取值范畴为a5法三：利用 |m|n|m n|得 |x 2|x3|x2x3|5所以 a 5 时不等式有解举一反三：【变式 1】不等式对,恒成立,就实数的取值范畴是；【答案】 设,就对恒成立,；,的最

16、小值为实数的取值范畴是. 恒成立,就常数的取值范畴是【变式 2】不等式对【答案】 设,就对恒成立,画出的图象,可以得到,所以. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基础达标1、不等式 8-3x 0 的解集是（）A. B.R C.1,-1 D.2、设 A= x| |x-2|3 ,B= x| |x-1|1 ,就 AB 等于（）A. x|-1x 5 B. x|x或 x2 C. x|-1 x0 D. x|-1x0 或 2x5 3、设集合,就 中的元素个数是（）A.11 B.10 C.16 D.15 4、已

17、知集合 M= ,集合 N= ,就 MN=（ ）A. B. C. D.5、实数 a,b 满意 ab0,那么（）A|ab|a|b| B|ab|ab| C|ab|ab| D|ab|a|b| 6、设不等式 |x a| b 的解集为 x| 1x2 ,就 a,b 的值为（）Aa1,b3 Ba 1,b3 Ca 1,b 3 7、（2022 江西, 4）如 就0 的解集为AB. C. D. 8、不等式 的解集是 _；不等式 的解集是 _；不等式 |x+2| |x|的解集是 _；不等式 的解集是 _；9、依据数轴表示 a,b,c 三数的点的位置,化简 |a+b|+|a+c|-|b-c|=_. 10、解以下不等式（

18、 1）4|13x|7 （ 2）2 5-3x 9 （ 3）|x1|2x（ 4）|3x4| 1+2x. （ 5） |x+7|-|x-2|4. （ 7）（8） x-a b才能提升：11、不等式（B）的解集是（）（D）（ A）（C）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载12、对于任意实数 x,不等式 |x+1|+|x2|a 恒成立,就 a 的取值范畴是 _. 13、已知关于 x 的不等式 |x+2|+|x3|a 的解集是非空集合,求实数 a 的取值范畴 . 14、的最小值是 _；15、的最大值是 _,最小值

19、是 _；16、解以下不等式（ 1）|log3x|+|log 33-x| 1（2）x 2 - 2 x-30 （ 3）（4） x-5 -2x+3 1 （ 5） x -2x+1 1 17、解以下关于 x 的不等式：（1）x2+mx-6m20 （ 2）（3）|2x 1|2m1mR 综合探究：名师归纳总结 18、解关于的不等式：第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案：基础达标：1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、D； 7、 C；8、；x0x4；9、0 10、解以下不等式：（ 1）（ 2）（ 3）解

20、法一：对 2x 的取值分类争论解之 原不等式等价于：由得 x2 解法二：利用肯定值的定义对 |x1|进行分类争论解之原不等式等价于：（ 4）（ 5）-,-1 （ 6）x | x1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 7）. 原不等式的解集为 . （ 8）当 b0 时,解集为 R；当 b=0 时,解集为 xxR 且 x a；当 b0 时,解集为 xx a-b 或 xa+b. 才能提升：11、D 12、a5；14、12 ；15、 -2 , 2 16、解以下不等式（1）（0,3）；提示：第一求定义

21、域（0,3）,其次求出二零点1、2,分三个区间（0,1,（1,2 ,（2, 3）解即可 . （ 2）（3）（ 4）（ 5）17、解以下关于 x 的不等式：（ 1）当 m0 时,原不等式的解集是 x|-3mx2m；当 m=0 时,原不等式的解集是；当 m0 时,原不等式的解集是 x|2mx-3m. （ 2）由当时,解集是R；当时,解集是（3）综合探究：名师归纳总结 18、方法一： 分段去肯定值号,原不等式等价于I,II,III的并集；第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载I当时,解集. ；时解为IIIII时,. . 时,综上原不等式解为：时,解集为；时,解集为：方法二：设,就与 的图象如右图；,时不等式解集为：, 时不等式解集为：. 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页